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- 2021-05-13 发布
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2.3 互斥事件
课后篇巩固提升
A组
1.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球(所有的球除颜色外都相同),则互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.至少有1个白球,都是白球
B.至少有1个白球,至少有1个红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是红球
答案C
2.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案C
3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛,甲、乙两队夺取冠军的概率分别是,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为( )
A. B. C. D.
解析设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件A+B发生.于是P(A+B)=P(A)+P(B)=.
答案D
4.从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高大于等于160 cm小于等于175 cm的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
答案B
5.在一次随机试验中,其中3个事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是( )
A.A1+A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.A1+A2与A3是必然事件
C.P(A2+A3)=0.8
D.P(A1+A2)≤0.5
解析由题意,A1,A2,A3间不一定彼此互斥,这时随机试验的结果不只是A1,A2,A3,还可能有其他结果,故A,B,C均错,只有D正确.
答案D
6.某班派出甲、乙两名同学参加学校举行的数学竞赛,甲、乙两名同学夺得第一名的概率分别是,则该班同学夺得第一名的概率为 .
答案
7.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25,则不命中靶的概率是 .
解析射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A、B、C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
4
答案0.10
8.已知6名同学中恰有两名女同学,从这6名同学中任选两人参加某项活动,则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是 .
解析从6名同学中任选两人,用列举法易知共有15种选法.如果从中选2人,全是男生,共有6种选法.故全是男生的概率是.
从而至少有1名女生的概率是1-.
答案
9.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位(单位:m)在各个范围内的概率如下表:
年最高水
位/m
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.10
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内,河流此处的年最高水位在下列范围内的概率:(1)[10,16)m;(2)[8,12)m;(3)[14,18)m.
解记此河流某处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)m分别为事件A,B,C,D,E.
(1)P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.
(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.10+0.28=0.38.
(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.
所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)m的概率分别为0.82,0.38,0.24.
10.导学号36424068一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?
解从9张票中任取2张,有
(1,2),(1,3),…,(1,9);
(2,3),(2,4),…,(2,9);
(3,4),(3,5),…,(3,9);
…
(7,8),(7,9);
(8,9),共计36种取法.
记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数”为事件C,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.
所以P(C)=,由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=1-.
B组
1.下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件,其中错误命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案D
2.从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:
(1)事件A={三个数字中不含1和5};
(2)事件B={三个数字中含1或5}.
4
解这个试验的基本事件为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以基本事件总数n=10.
(1)因为事件A={(2,3,4)},
所以事件A包含的事件数m=1.
所以P(A)=.
(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2, 5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},
所以事件B包含的基本事件数m=9.
所以P(B)=.
3.掷一枚质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A+发生的概率为 .
答案
4.某战士射击一次中靶的概率为0.95,中靶环数大于5的概率为0.75,则中靶环数大于0且小于6的概率为 (只考虑整数环数).
解析因为某战士射击一次“中靶的环数大于5”(事件A)与“中靶的环数大于0且小于6”(事件B)是互斥事件,P(A+B)=0.95,所以P(A)+P(B)=0.95,所以P(B)=0.95-0.75=0.2.
答案0.2
5.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为 .
解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x,则所有矩形面积之和为1,即(0.02+0.04+0.06+x+0.03)×5=1,解得x=0.05.产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45.
答案0.45
6.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(所有的球除颜色外都相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:
(1)3只球颜色全相同的概率;
(2)3只球颜色不全相同的概率.
解(1)3只球颜色全相同包括3只球全是红球(记为事件A), 3只球全是黄球(记为事件B),3只球全是白球(记为事件C),且它们彼此互斥,故3只球颜色全相同这个事件可记为A+B+C.
又P(A)=P(B)=P(C)=,
故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”.
又P()=P(A+B+C) =,
所以P(D)=1-P()=1-,故3只球颜色不全相同的概率为.
7.导学号36424069甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);
4
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解(1)如表所示:
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
由表可知:基本事件的总数为5×5=25(个),事件A包含的基本事件数共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),由此得到P(A)=.
(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知,和为偶数的基本事件数共13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).
所以甲赢的概率为,乙赢的概率为,因此这种游戏规则不公平,对甲有利.
4