- 1.19 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.i(2+3i)=( )
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
解析:选D
2.已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
解析:选C
3.函数f(x)= 的图像大致为 ( )
解析:选B f(x)为奇函数,排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B
4.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
解析:选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
解析:选D 5人选2人有10种选法,3人选2人有3中选法。
6.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
解析:选A e= c2=3a2 b=a
7.在ΔABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )
A.4 B. C. D.2
解析:选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4
8.为计算S=1- + - +……+ - ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4
解析:选B
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
解析:选C 即AE与AB所成角,设AB=2,则BE=,故选C
10.若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
解析:选C f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
11.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=600,则C的离心率为( )
A.1- B.2- C. D.-1
解析:选D 依题设| PF1|=c,| PF2|=c,由| PF1|+| PF2|=2a可得
12.已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数,满足f(1-x)= f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
解析:选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________.
解析:y=2x-2
14.若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为__________.
解析:9
15.已知tan(α- )=,则tanα=__________.
解析:由两角差的正切公式展开可得tanα=
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为300,若ΔSAB的面积为8,则该圆锥的体积为__________.
解析:设母线为2a,则圆锥高为a,底面半径为a,依题×2a×2a=8,∴a=2 ∴V=×π×(2)×2=8π
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为−16.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5 (亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.
连结OB.因为AB=BC=AC,所以ΔABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
(2)解:作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC=AC =2,CM=BC=,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
※也可用等积法求
20.(12分)
设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
21.(12分)
已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)只有一个零点.
解:
(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3),f ′(x)=x2-6x-3.
令f ′(x)=0解得x=3-2或x=3+2.
当x∈(–∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(3-2,3+2)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.
(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于 - 3a=0.
设g(x)= - 3a,则g ′(x)= ≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=-6a+2a- =-6(a- )2- <0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα,
当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得2cosα+sinα=0,,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时, 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.得a≤-6或aα2,
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A
7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.C
二、填空题
13.y=2x–2 14.9 15. 16.8π
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①
得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.学科@网
19.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
20.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
21.解:
(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(,+∞)单调递增,在(,)单调递减.
(2)由于,所以等价于.
设=,则g ′(x)=≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.学·科网
又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
22.解:
(1)曲线的直角坐标方程为.
当时,的直角坐标方程为,
当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.
又由①得,故,于是直线的斜率.
23.解:
(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
相关文档
- 2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大2021-05-1320页
- 高考化学一轮复习第14讲原子结构作2021-05-1310页
- 2020版高考化学一轮复习 第十二章 2021-05-139页
- 高考地理一轮全程复习方略阶段滚动2021-05-1314页
- 2019高考语文一轮复习单元金卷AB卷2021-05-134页
- 2020高考地理 选考 区域地理 第6课2021-05-132页
- 全国高考语文真题专题分类汇编含详2021-05-13198页
- 安徽专用版高考化学 阶段滚动检测2021-05-1312页
- 高考地理一轮复习第五单元地表形态2021-05-1317页
- 江苏高考解析几何压轴题30题2021-05-1325页