• 5.17 MB
  • 2021-05-13 发布

江苏高考解析几何压轴题30题

  • 25页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
B A O x y l P C ‎1.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ 解:(1)由题意得, ,且 ,解得 则,‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎(2)当轴时,,又,不合题意.‎ 当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,‎ 将的方程代入椭圆方程,得,‎ 则,的坐标为,且 ‎.‎ 若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.‎ 从而,故直线的方程为,‎ 则点的坐标为,从而.‎ 因为,所以,解得.‎ 此时直线方程为或.‎ ‎2.已知椭圆的离心率为,一个交点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为为半焦距)直线与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A、B.‎ ‎(1)求椭圆方程和直线方程;‎ ‎(2)试在圆N上求一点P,使。‎ ‎3.如图,已知椭圆O:+y2=1的右焦点为F,点B,C分别是椭圆O的上、下顶点,点P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆于另一点M.‎ ‎(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积; ‎ ‎(2)①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值; ②求的取值范围.‎ 解:(1)由题意,焦点,当直线PM过椭圆的右焦点F时,则直线PM的方程为,‎ 即, 联立,解得或(舍),即. ………………2分 连BF,则直线BF:,即,而,. …4分 故. ………………………5分 ‎(2)解法一:①设,且,则直线PM的斜率为,‎ 则直线PM的方程为,联立化简得,解得,…8分 ‎ 所以,, 所以为定值. ………10分 ‎② 由①知,,,‎ 所以, …………………13分 令,故,‎ 因在上单调递增,故,即的取值范围为.…16分 解法二:①设点,则直线PM的方程为,令,得. ……7分 所以,,所以(定值).…10分 ‎②由①知,,,‎ 所以 ‎ ‎=. …13分 (第4题图) ‎ 令,则,因为在上单调递减,‎ 所以,即的取值范围为. ……16分 ‎4.如图,已知椭圆()的左、右焦点为、,是椭圆上一点,在上,且满足 ‎(),,为坐标原点.‎ ‎(1)若椭圆方程为,且,求点的横坐标;(2)若,求椭圆离心率的取值范围.‎ 解:(1) ‎ 直线的方程为:,直线的方程为: …………4分 由解得: 点的横坐标为 …………6分 ‎(2)设 ‎ ‎, 即 …9分 联立方程得:,消去得:,解得:或 …12分 ‎ 解得:,综上,椭圆离心率的取值范围为.…15分 ‎ ‎5.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点. (1)求椭圆的方程; (2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由; (3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.‎ 解:(1)因为左顶点为,所以,又,所以.…………………2分 又因为,所以椭圆C的标准方程为. …………………………4分 ‎(2)直线的方程为,由消元得,.‎ 化简得,,所以,. ………………………6分 当时,,‎ 所以.因为点为的中点,所以的坐标为,则.…8分 直线的方程为,令,得点坐标为,假设存在定点,使得,‎ 则,即恒成立,所以恒成立,所以即 因此定点的坐标为. …………………………………10分 ‎(3)因为,所以的方程可设为,由得点的横坐标为,………12分 由,得 …………14分 ‎,当且仅当即时取等号,‎ 所以当时,的最小值为. …………………………16分 y x O F1‎ F2‎ B C ‎(第17题)‎ D ‎6.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆(a>b>0)的两焦点分别为F1(,0),F2(,0),‎ 且经过点(,). (1)求椭圆的方程及离心率;‎ ‎(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B与点D关于原点O对称.设 直线CD,CB,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1k2=k3k4.①求k1k2的值;②求OB2+OC2的值.‎ 解:(1)方法一:依题意,c=,a2=b2+3,…………………………2分 由,解得b2=1(b2=,不合,舍去),从而a2=4.故所求椭圆方程为:.离心率e=.… 5分 ‎ 方法二 由椭圆的定义知,2a==4, 即a=2.又因c=,故b2=1.下略.‎ ‎ (2)①设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(-x1,-y1),于是k1k2====. 8分 ‎ ②方法一由①知,k3k4=k1k2=,故x1x2=.‎ ‎ 所以,(x1x2)2=(-4y1y2)2,即(x1x2)2==, 所以,=4.……… 11分 ‎ 又2==,故.所以,OB2+OC2 ==5.……… 14分 ‎ 方法二由①知,k3k4=k1k2=.将直线y=k3x方程代入椭圆中,得.…………………… 9分 ‎ 同理,.所以,==4.……… 11分 下同方法一.‎ ‎7.如图,已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点,过点的直线分别与椭圆交于两点.‎ ‎(1)椭圆的标准方程; (2)若△的面积是△的面积的倍,求的最大值.‎ 解:(1)由题意,解得,所以,椭圆方程为. …………………4分 ‎(2)解法一: , ……………6分 直线方程为:,联立,得,所以 到的距离 ‎, 直线方程为:,联立,得…8分 所以,所以 ‎,……10分 所以,‎ 所以, 令,则,…………14分 当且仅当,即时,取“”, 所以的最大值为.…………16分 解法二:直线方程为,联立,得, ……………6分 直线方程为:,联立,得, ……………8分 ‎ ……10分 ‎, …………………………………12分 令,则,…………………14分 第18题 当且仅当,即时,取“”,所以的最大值为. ………16分 ‎8.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时, 弦的长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;(2)若点的坐标为,点在第一象限且横坐标为,连结点与原点的直线 交椭圆于另一点,求的面积;(3)是否存在点,使得为定值?若存在,请指出点的坐标,‎ 并求出该定值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由,设,则,,‎ 所以椭圆的方程为,因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点,即,代入椭圆方程,解得,于是,即,所以椭圆的方程为 ………………5分 ‎(2)将代入,解得,因点在第一象限,从而,‎ 由点的坐标为,所以,直线的方程为,‎ 联立直线与椭圆的方程,解得,‎ 又过原点,于是,,所以直线的方程为,‎ 所以点到直线的距离,………………10分 ‎(3)假设存在点,使得为定值,设,‎ 当直线与轴重合时,有,‎ 当直线与轴垂直时,, 由,解得,,所以若存在点,此时,为定值2. ………………12分 根据对称性,只需考虑直线过点,设,,又设直线的方程为,与椭圆联立方程组,化简得,所以,,‎ 又,‎ 所以,‎ 将上述关系代入,化简可得.综上所述,存在点,使得为定值2……………16分 x y A O B C D M N ‎(第18题图)‎ ‎9.如图,在平面直角坐标系中,椭圆E:的离心率为,‎ 直线l:与椭圆E相交于A,B两点,,C,D是椭圆E上异于A,B两点,‎ 且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.‎ ‎(1)求的值;(2)求证:直线MN的斜率为定值.‎ 解:(1)因为e==,所以c2=a2,即a2-b2=a2,所以a2=2b2.…… 2分 故椭圆方程为+=1.由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限.‎ 由解得A(b,b).又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3.故a=,b=…5分 ‎(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).‎ ‎①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),显然k1≠k2.‎ 从而k1 ·kCB=·====-. 所以kCB=-. …… 8分 同理kDB=-.于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2),直线BC的方程为y+1=-(x+2).‎ 由解得 从而点N的坐标为(,). ‎ 用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).………… 11分 所以kMN= ==-1.即直线MN的斜率为定值-1. ……… 14分 ‎②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,‎ 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).‎ 仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=-.此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).‎ BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),从而kMN=-1也成立.‎ 由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. ………… 16分 方法二:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).‎ ‎①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2.显然k1≠k2.‎ 直线AC的方程y-1=k1(x-2),即y=k1x+(1-2k1).‎ 由得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0.‎ 设点C的坐标为(x1,y1),则2·x1=,从而x1=. ‎ 所以C(,).又B(-2,-1),所以kBC==-.………… 8分 所以直线BC的方程为y+1=-(x+2).又直线AD的方程为y-1=k2(x-2).‎ 由解得从而点N的坐标为(,). ‎ 用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).……… 11分 所以kMN= ==-1.即直线MN的斜率为定值-1. ……………… 14分 ‎②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,‎ 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).‎ 仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=-.此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).‎ BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),从而kMN=-1也成立.‎ 由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. ……………… 16分 ‎10.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:,的离心率为,且经过点,过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴,点M为直线l上的动点(点M与点A在不重合),点B为椭圆右顶点,直线BM交椭圆C于点P.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程;(2) 求证:AP⊥OM;‎ ‎(3) 试问 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎11.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,与轴平行的直线与椭圆交于、两点,过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点.已知椭圆的离心率为,右焦点到右准线的距离为.(1)求椭圆的标准方程; ‎ ‎(2)证明点在一条定直线上运动,并求出该直线的方程;(3)求面积的最大值.‎ 解:(1)由题意得,,解得,所以,‎ 所以椭圆的标准方程为.……4分 (2) 设,显然直线的斜率都存在,设为,‎ ‎ 则,,‎ 所以直线的方程为:,‎ 消去得,化简得,故点在定直线上运动.……10分 (2) 由(2)得点的纵坐标为,又,所以,‎ 则,所以点到直线的距离 为, ‎ 将代入得,所以面积 ‎,当且仅当,即时等号成立,‎ 故时,面积的最大值为. ……………16分 ‎12.如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,且∆是边长为的等边三角形. 求椭圆的方程;‎ 过右焦点的直线与椭圆交于两点,记∆,∆的面积分别为.若,求直线的斜率.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,已知点 ,C, D分别为线段OA, OB上的动点,且满足AC=BD.‎ ‎(1)若AC=4,求直线CD的方程;‎ ‎(2)证明:OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).‎ 解析:(1) 因为,所以,…………………………………1分 又因为,所以,所以,由,得,…………… 4分 所以直线的斜率,所以直线的方程为,即.…………6分 ‎(2)设,则.…………………………………………7分 则,因为,所以,所以点的坐标为 …8分 又设的外接圆的方程为,则有…10分 解得,,所以的外接圆的方程为,…12分 整理得,令,所以(舍)或 所以△的外接圆恒过定点为.…………………………………………14分 ‎14.如图,在平面直角坐标系中,离心率为的椭圆的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点.若直线斜率为时,.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?请证明你的结论.‎ 解:(1)设,∵直线斜率为时,,∴,∴…………3分 ‎∴,∵,∴.∴椭圆的标准方程为. …6分 ‎(2)以为直径的圆过定点.设,则,且,即,‎ ‎∵,∴直线方程为: ,∴ ,‎ 直线方程为: ,∴, ………………9分 以为直径的圆为,即, …12分 ‎∵,∴,令,,解得,‎ ‎∴以为直径的圆过定点.…16分 ‎(第18题)‎ ‎15.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.‎ 解(1)由题意,得,,故, 从而,‎ ‎ 所以椭圆的方程为.① ………5分 ‎ (2)证明:设直线的方程为, ②‎ ‎ 直线的方程为, ③ ………7分 ‎ 由①②得,点,的横坐标为, 由①③得,点,的横坐标为, ………9分 ‎ 记,,,,则直线,的斜率之和为 ‎…13分 ‎ . ………16分 ‎16.椭圆的右焦点为,右准线为,离心率为,点在椭圆上,以为圆心,为半径的圆与的两个公共点是.‎ ‎(1)若是边长为的等边三角形,求圆的方程;‎ ‎(2)若三点在同一条直线上,且原点到直线的距离为,求椭圆方程.‎ 解:设椭圆的半长轴是,半短轴是,半焦距离是,‎ 由椭圆的离心率为,可得椭圆方程是,………2分(只要是一个字母,其它形式同样得分,)‎ 焦点,准线,设点,‎ ‎(1)是边长为的等边三角形,则圆半径为,且到直线的距离是,‎ 又到直线的距离是, 所以,,,所以 所以,圆的方程是。 6分 ‎(2)因为三点共线,且是圆心,所以是线段中点,‎ 由点横坐标是得,, 8分 再由得:,,所以直线斜率 ……10分 直线:, 12分 原点到直线的距离,依题意,,所以,所以椭圆的方程是. 15分 M ‎ A ‎ P ‎ F O x ‎ y ‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系中,椭圆C:()的左焦点为,右顶点为A,动点M 为右准线上一点(异于右准线与轴的交点),设线段交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为,点M的横坐标为.(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设直线PA的斜率为,直线MA的斜率为,求的取值范围.‎ 解:(1)由已知,得,‎ ‎18.已知椭圆E:过点,且离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.‎ 解法一:(Ⅰ)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为.‎ 故 所以,故G在以AB为直径的圆外.‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点,则 由所以 所以不共线,所以为锐角 故点G在以AB为直径的圆外.‎ ‎19.如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M。‎ ‎⑴求椭圆T与圆O的方程;‎ ‎⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合).‎ ‎①P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;‎ ‎②若,求与的方程.‎ 解: (1)由题意知: 解得可知:‎ 椭圆的方程为与圆的方程……………4分 ‎(2)设因为⊥,则 因为 所以,…………………7分 因为 所以当时取得最大值为,此时点…………9分 ‎(3)设的方程为,由解得;由解:…11‎ 把中的置换成可得,…………………………12分 所以,,‎ 由得解得………………………15分 所以的方程为,的方程为 或的方程为,的方程为…………………………16分 ‎20.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.‎ ‎(1)求圆的方程; (2)设为圆上的一个动点,求的最小值;‎ ‎(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.‎ 解:(1)设圆心,则,解得 (3分)‎ 则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)‎ ‎(2)设,则,且 (7分)‎ ‎==,所以的最小值为 (可由线性规划或三角代换求得)…(10分)‎ ‎(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,‎ ‎,由,得 (11分)‎ ‎ 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分)‎ ‎ 同理,,所以=‎ ‎ 所以,直线和一定平行… ………(16分)‎ ‎21.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为. (1)若,试求点的坐标;‎ ‎(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程;‎ ‎(3)求证:经过三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.‎ 解:(1)设,由题可知,所以,解之得:‎ 故所求点的坐标为或.   ‎ ‎(2)设直线的方程为:,易知存在,由题知圆心到直线的距离为,所以,   ‎ 解得,或,故所求直线的方程为:或. ‎ ‎(3)设,的中点,因为是圆的切线 所以经过三点的圆是以为圆心,以为半径的圆,故其方程为: ‎ 化简得:,此式是关于的恒等式,‎ 故解得或 所以经过三点的圆必过定点或. ‎ ‎22.已知椭圆E:的离心率为,它的上顶点为A,左、右焦点分别为,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C. (1)求证:直线BO平分线段AC; (2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足,试证明点Q恒在一定直线上.‎ 解:(1)由题意,,则,,故椭圆方程为,‎ 即,其中,,‎ ‎∴直线的斜率为,此时直线的方程为,‎ 联立得,解得(舍)和,即,‎ 由对称性知. 直线BO的方程为,线段AC的中点坐标为,‎ AC的中点坐标满足直线BO的方程,即直线BO平分线段AC.‎ ‎(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为,点,‎ 则,.∵,∴设,则,‎ 求得,,∴,‎ ‎∴,‎ 由于m,n,C为常数,所以点Q恒在直线上.‎ ‎23.椭圆C: 两个焦点为,点P在椭圆C上,且,,.‎ ‎(1)求椭圆C的方程. (2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1) ,又, ‎ ‎, 所求椭圆C的方程为.‎ ‎(2)假设能构成等腰直角三角形ABC,其中,由题意可知,直角边不可能垂直或平行于轴,故可设边所在直线的方程为, ,则边所在直线的方程为.‎ 由得,故,‎ ‎ 用代替上式中的,得,‎ 由 即即 ‎ 故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.‎ ‎24.已知椭圆:()经过与两点,过原点的直线与椭圆交于、两点,椭圆上一点满足.‎ O A B M x y ‎(1)求椭圆的方程; (2)求证:为定值.‎ O A B M x y 解:(1)将与代入椭圆的方程,得,…………(2分)‎ 解得,.所以椭圆的方程为.…………(6分)‎ ‎(2)由,知在线段的垂直平分线上,由椭圆的对称性知、关于原点对称.‎ ‎①若点、在椭圆的短轴顶点上,则点在椭圆的长轴顶点上,此时 ‎.……(1分)‎ 同理,若点、在椭圆的长轴顶点上,则点在椭圆的短轴顶点上,此时 ‎.……(2分)‎ ‎②若点、、不是椭圆的顶点,设直线的方程为(),‎ 则直线的方程为.设,,‎ 由,解得,,……(4分)‎ 所以,同理可得,‎ 所以.……(7分)‎ 综上,为定值.…………(8分)‎ ‎25.已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1; (3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.‎ 解:依题设c=1,且右焦点(1,0).‎ 所以,‎2a==,b2=a2-c2=2,故所求的椭圆的标准方程为. ……4分 ‎(2)设A(,),B(,),则①,②.‎ ‎②-①,得 .所以,k1=. ………9分 ‎(3)依题设,k1≠k2.设M(,),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,‎ 代入椭圆方程并化简得 .于是,,.…11分 同理,,.‎ 当k1k2≠0时,直线MN的斜率k==.………………13分 直线MN的方程为,即 ,‎ 亦即 .此时直线过定点.………………………………15分 当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点.综上,直线MN恒过定点,且坐标为. ………16分 ‎26.已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. ‎ 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程; (2)证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值;‎ ‎(3)过点 A,P,Q的动圆记为圆C,动圆C过不同于A的定点,请求出该定点坐标.‎ 解:(1)设椭圆的标准方程为.由题意得.……2分 ‎, , ……2分 椭圆的标准方程为.……4分 ‎(2)证明:设点 将带入椭圆,化简得: ‎,……6分 , ‎ P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分 ‎(3)(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为(),‎ PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ……8分 圆心()满足,所以,……9分 圆过定点(2,0),所以,……10分 圆过, 则 两式相加得:‎ ‎ ,……11分 ‎, .……12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以,‎ 由解得: ……13分 代入圆的方程为:,‎ 整理得:,……14分 所以:……15分 解得:或(舍). ‎ ‎ 所以圆过定点(0,1).……16分 ‎(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:‎ .……8分 方程与方程为同解方程., ……11分 圆过定点(2,0),所以 , ……12分 ‎ 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以.‎ 解得: ,……13分 (以下相同)‎ ‎.‎ ‎ .‎ ‎27.如图,在平面直角坐标系中,已知圆,圆 (1) 若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ (2) 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长. 证明:动圆圆心在一条定直线上运动; ‚动圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.‎ 解:思路一:设圆:(),①‎ ‎ 易得圆:, ② 圆:,③‎ ‎ 由①②得,将代入得,‎ ‎ 由①③得,将代入得, ‎ ‎ 代入③得,整理得, ‎ ‎ 由得或 所以定点的坐标为,. ‎ ‎ 思路二(几何方法):利用定点M在直线C‎1C2上,C‎1C2的中点为N,动圆圆心C满足CC12+12=r2= CN2+CM2,则CM2= CN2 —CC12+1= C1N2+1=9,进而得出结论.‎ ‎28.如图,在平面直角坐标系xoy中,圆C:,点F(1,0),E是圆C上的一个动点,EF的垂直平分线PQ与CE交于点B,与EF交于点D。‎ ‎①求点B的轨迹方程; ②当D位于y轴的正半轴上时,求直线PQ的方程; ③若G是圆上的另一个动点,且满足FG⊥FE。记线段EG的中点为M,试判断线段OM的长度是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由。‎ 解:(1)由已知,所以,所以点的轨迹是以,为焦点,长轴为4的椭圆,所以点的轨迹方程为;……4分 ‎ ⑵当点位于轴的正半轴上时,因为是线段的中点,为线段的中点,‎ 所以∥,且,所以的坐标分别为和,…………7分 因为是线段的垂直平分线,所以直线的方程为,即直线的方程为. …10分 ‎⑶设点的坐标分别为和,则点的坐标为,‎ 因为点均在圆上,且,所以 ①‎ ‎ ② ③ …………………13分 所以,,.‎ 所以,‎ 即点到坐标原点的距离为定值,且定值为.………………………………16分 O x y A B l ‎29.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,且.‎ ‎①求证:原点O到直线AB的距离为定值;②求AB的最小值.‎ 解:(1)由题意,可设椭圆C的方程为,焦距为2c,离心率为e.于是.‎ 设椭圆的右焦点为F,椭圆上点P到右准线距离为,‎ 则,于是当d最小即P为右顶点时,PF取得最小值,所以.…3分 因为 所以椭圆方程为.…………………5分 ‎(2)①设原点到直线的距离为h,则由题设及面积公式知.‎ 当直线的斜率不存在或斜率为时,或 于是. ……………7分 当直线的斜率存在且不为时,则,解得 同理……9分 在Rt△OAB中,,则 ‎,所以.综上,原点到直线的距离为定值.………11分 另解:,所以.‎ ‎②因为h为定值,于是求的最小值即求的最小值. ,‎ ‎ 令,则,于是, ……………14分 因为,所以,当且仅当,即,取得最小值,因而 所以的最小值为.……………………………………………16分 ‎30.在平面直角坐标系xoy中,已知定点A(-4,0),B(4,0),动点P与A、B连线的斜率之积为.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程; (2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴右侧,圆M被y轴截得弦长为。 ①求圆M的方程;②当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,说明理由。‎ 解:(1)设,则直线的斜率分别为……………2分 由题意知,‎ 即所以动点的轨迹方程是……4分(说明:没有范围扣1分)‎ ‎(2)(ⅰ)由题意所以线段的垂直平分线方程为 …………6分 设,则圆的方程为 圆心到轴的距离,由,得,所以圆的方程为 …10分 ‎(ⅱ)假设存在定直线与动圆均相切当定直线的斜率不存在时,不合题意 设直线:则对任意恒成立 由 ……12分 得所以,解得或 所以存在两条直线和与动圆均相切 ………16分(说明:少一条直线扣1分)‎