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- 2021-05-13 发布
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B
A
O
x
y
l
P
C
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
解:(1)由题意得, ,且 ,解得 则,
所以椭圆的标准方程为
(2)当轴时,,又,不合题意.
当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,
将的方程代入椭圆方程,得,
则,的坐标为,且
.
若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.
从而,故直线的方程为,
则点的坐标为,从而.
因为,所以,解得.
此时直线方程为或.
2.已知椭圆的离心率为,一个交点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为为半焦距)直线与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A、B.
(1)求椭圆方程和直线方程;
(2)试在圆N上求一点P,使。
3.如图,已知椭圆O:+y2=1的右焦点为F,点B,C分别是椭圆O的上、下顶点,点P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆于另一点M.
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积;
(2)①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值; ②求的取值范围.
解:(1)由题意,焦点,当直线PM过椭圆的右焦点F时,则直线PM的方程为,
即, 联立,解得或(舍),即. ………………2分
连BF,则直线BF:,即,而,. …4分
故. ………………………5分
(2)解法一:①设,且,则直线PM的斜率为,
则直线PM的方程为,联立化简得,解得,…8分
所以,, 所以为定值. ………10分
② 由①知,,,
所以, …………………13分
令,故,
因在上单调递增,故,即的取值范围为.…16分
解法二:①设点,则直线PM的方程为,令,得. ……7分
所以,,所以(定值).…10分
②由①知,,,
所以
=. …13分 (第4题图)
令,则,因为在上单调递减,
所以,即的取值范围为. ……16分
4.如图,已知椭圆()的左、右焦点为、,是椭圆上一点,在上,且满足
(),,为坐标原点.
(1)若椭圆方程为,且,求点的横坐标;(2)若,求椭圆离心率的取值范围.
解:(1)
直线的方程为:,直线的方程为: …………4分
由解得: 点的横坐标为 …………6分
(2)设
, 即 …9分
联立方程得:,消去得:,解得:或 …12分
解得:,综上,椭圆离心率的取值范围为.…15分
5.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点. (1)求椭圆的方程; (2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由; (3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.
解:(1)因为左顶点为,所以,又,所以.…………………2分
又因为,所以椭圆C的标准方程为. …………………………4分
(2)直线的方程为,由消元得,.
化简得,,所以,. ………………………6分
当时,,
所以.因为点为的中点,所以的坐标为,则.…8分
直线的方程为,令,得点坐标为,假设存在定点,使得,
则,即恒成立,所以恒成立,所以即
因此定点的坐标为. …………………………………10分
(3)因为,所以的方程可设为,由得点的横坐标为,………12分
由,得 …………14分
,当且仅当即时取等号,
所以当时,的最小值为. …………………………16分
y
x
O
F1
F2
B
C
(第17题)
D
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆(a>b>0)的两焦点分别为F1(,0),F2(,0),
且经过点(,). (1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B与点D关于原点O对称.设
直线CD,CB,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1k2=k3k4.①求k1k2的值;②求OB2+OC2的值.
解:(1)方法一:依题意,c=,a2=b2+3,…………………………2分
由,解得b2=1(b2=,不合,舍去),从而a2=4.故所求椭圆方程为:.离心率e=.… 5分
方法二 由椭圆的定义知,2a==4, 即a=2.又因c=,故b2=1.下略.
(2)①设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(-x1,-y1),于是k1k2====. 8分
②方法一由①知,k3k4=k1k2=,故x1x2=.
所以,(x1x2)2=(-4y1y2)2,即(x1x2)2==, 所以,=4.……… 11分
又2==,故.所以,OB2+OC2 ==5.……… 14分
方法二由①知,k3k4=k1k2=.将直线y=k3x方程代入椭圆中,得.…………………… 9分
同理,.所以,==4.……… 11分 下同方法一.
7.如图,已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点,过点的直线分别与椭圆交于两点.
(1)椭圆的标准方程; (2)若△的面积是△的面积的倍,求的最大值.
解:(1)由题意,解得,所以,椭圆方程为. …………………4分
(2)解法一: , ……………6分
直线方程为:,联立,得,所以 到的距离
, 直线方程为:,联立,得…8分
所以,所以
,……10分
所以,
所以, 令,则,…………14分
当且仅当,即时,取“”, 所以的最大值为.…………16分
解法二:直线方程为,联立,得, ……………6分
直线方程为:,联立,得, ……………8分
……10分
, …………………………………12分
令,则,…………………14分
第18题
当且仅当,即时,取“”,所以的最大值为. ………16分
8.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时, 弦的长为.
(1)求椭圆的方程;(2)若点的坐标为,点在第一象限且横坐标为,连结点与原点的直线
交椭圆于另一点,求的面积;(3)是否存在点,使得为定值?若存在,请指出点的坐标,
并求出该定值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由,设,则,,
所以椭圆的方程为,因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点,即,代入椭圆方程,解得,于是,即,所以椭圆的方程为 ………………5分
(2)将代入,解得,因点在第一象限,从而,
由点的坐标为,所以,直线的方程为,
联立直线与椭圆的方程,解得,
又过原点,于是,,所以直线的方程为,
所以点到直线的距离,………………10分
(3)假设存在点,使得为定值,设,
当直线与轴重合时,有,
当直线与轴垂直时,, 由,解得,,所以若存在点,此时,为定值2. ………………12分
根据对称性,只需考虑直线过点,设,,又设直线的方程为,与椭圆联立方程组,化简得,所以,,
又,
所以,
将上述关系代入,化简可得.综上所述,存在点,使得为定值2……………16分
x
y
A
O
B
C
D
M
N
(第18题图)
9.如图,在平面直角坐标系中,椭圆E:的离心率为,
直线l:与椭圆E相交于A,B两点,,C,D是椭圆E上异于A,B两点,
且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.
(1)求的值;(2)求证:直线MN的斜率为定值.
解:(1)因为e==,所以c2=a2,即a2-b2=a2,所以a2=2b2.…… 2分
故椭圆方程为+=1.由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限.
由解得A(b,b).又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3.故a=,b=…5分
(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),显然k1≠k2.
从而k1 ·kCB=·====-. 所以kCB=-. …… 8分
同理kDB=-.于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2),直线BC的方程为y+1=-(x+2).
由解得 从而点N的坐标为(,).
用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).………… 11分
所以kMN= ==-1.即直线MN的斜率为定值-1. ……… 14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=-.此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),从而kMN=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. ………… 16分
方法二:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2.显然k1≠k2.
直线AC的方程y-1=k1(x-2),即y=k1x+(1-2k1).
由得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0.
设点C的坐标为(x1,y1),则2·x1=,从而x1=.
所以C(,).又B(-2,-1),所以kBC==-.………… 8分
所以直线BC的方程为y+1=-(x+2).又直线AD的方程为y-1=k2(x-2).
由解得从而点N的坐标为(,).
用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).……… 11分
所以kMN= ==-1.即直线MN的斜率为定值-1. ……………… 14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=-.此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),从而kMN=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. ……………… 16分
10.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:,的离心率为,且经过点,过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴,点M为直线l上的动点(点M与点A在不重合),点B为椭圆右顶点,直线BM交椭圆C于点P.
(1) 求椭圆C的方程;(2) 求证:AP⊥OM;
(3) 试问
是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是,请说明理由.
11.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,与轴平行的直线与椭圆交于、两点,过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点.已知椭圆的离心率为,右焦点到右准线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明点在一条定直线上运动,并求出该直线的方程;(3)求面积的最大值.
解:(1)由题意得,,解得,所以,
所以椭圆的标准方程为.……4分
(2) 设,显然直线的斜率都存在,设为,
则,,
所以直线的方程为:,
消去得,化简得,故点在定直线上运动.……10分
(2) 由(2)得点的纵坐标为,又,所以,
则,所以点到直线的距离 为,
将代入得,所以面积
,当且仅当,即时等号成立,
故时,面积的最大值为. ……………16分
12.如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,且∆是边长为的等边三角形. 求椭圆的方程;
过右焦点的直线与椭圆交于两点,记∆,∆的面积分别为.若,求直线的斜率.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知点 ,C, D分别为线段OA, OB上的动点,且满足AC=BD.
(1)若AC=4,求直线CD的方程;
(2)证明:OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).
解析:(1) 因为,所以,…………………………………1分
又因为,所以,所以,由,得,…………… 4分
所以直线的斜率,所以直线的方程为,即.…………6分
(2)设,则.…………………………………………7分
则,因为,所以,所以点的坐标为 …8分
又设的外接圆的方程为,则有…10分
解得,,所以的外接圆的方程为,…12分
整理得,令,所以(舍)或
所以△的外接圆恒过定点为.…………………………………………14分
14.如图,在平面直角坐标系中,离心率为的椭圆的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点.若直线斜率为时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?请证明你的结论.
解:(1)设,∵直线斜率为时,,∴,∴…………3分
∴,∵,∴.∴椭圆的标准方程为. …6分
(2)以为直径的圆过定点.设,则,且,即,
∵,∴直线方程为: ,∴ ,
直线方程为: ,∴, ………………9分
以为直径的圆为,即, …12分
∵,∴,令,,解得,
∴以为直径的圆过定点.…16分
(第18题)
15.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
解(1)由题意,得,,故, 从而,
所以椭圆的方程为.① ………5分
(2)证明:设直线的方程为, ②
直线的方程为, ③ ………7分
由①②得,点,的横坐标为, 由①③得,点,的横坐标为, ………9分
记,,,,则直线,的斜率之和为
…13分
. ………16分
16.椭圆的右焦点为,右准线为,离心率为,点在椭圆上,以为圆心,为半径的圆与的两个公共点是.
(1)若是边长为的等边三角形,求圆的方程;
(2)若三点在同一条直线上,且原点到直线的距离为,求椭圆方程.
解:设椭圆的半长轴是,半短轴是,半焦距离是,
由椭圆的离心率为,可得椭圆方程是,………2分(只要是一个字母,其它形式同样得分,)
焦点,准线,设点,
(1)是边长为的等边三角形,则圆半径为,且到直线的距离是,
又到直线的距离是, 所以,,,所以
所以,圆的方程是。 6分
(2)因为三点共线,且是圆心,所以是线段中点,
由点横坐标是得,, 8分
再由得:,,所以直线斜率 ……10分
直线:, 12分
原点到直线的距离,依题意,,所以,所以椭圆的方程是. 15分
M
A
P
F
O
x
y
17.如图,在平面直角坐标系中,椭圆C:()的左焦点为,右顶点为A,动点M 为右准线上一点(异于右准线与轴的交点),设线段交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为,点M的横坐标为.(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线PA的斜率为,直线MA的斜率为,求的取值范围.
解:(1)由已知,得,
18.已知椭圆E:过点,且离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
解法一:(Ⅰ)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为.
故
所以,故G在以AB为直径的圆外.
解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点,则
由所以
所以不共线,所以为锐角 故点G在以AB为直径的圆外.
19.如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M。
⑴求椭圆T与圆O的方程;
⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合).
①P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;
②若,求与的方程.
解: (1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程……………4分
(2)设因为⊥,则
因为 所以,…………………7分
因为 所以当时取得最大值为,此时点…………9分
(3)设的方程为,由解得;由解:…11
把中的置换成可得,…………………………12分
所以,,
由得解得………………………15分
所以的方程为,的方程为
或的方程为,的方程为…………………………16分
20.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.
(1)求圆的方程; (2)设为圆上的一个动点,求的最小值;
(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
解:(1)设圆心,则,解得 (3分)
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)
(2)设,则,且 (7分)
==,所以的最小值为 (可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,由,得 (11分)
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分)
同理,,所以=
所以,直线和一定平行… ………(16分)
21.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为. (1)若,试求点的坐标;
(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程;
(3)求证:经过三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
解:(1)设,由题可知,所以,解之得:
故所求点的坐标为或.
(2)设直线的方程为:,易知存在,由题知圆心到直线的距离为,所以,
解得,或,故所求直线的方程为:或.
(3)设,的中点,因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心,以为半径的圆,故其方程为:
化简得:,此式是关于的恒等式,
故解得或 所以经过三点的圆必过定点或.
22.已知椭圆E:的离心率为,它的上顶点为A,左、右焦点分别为,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C. (1)求证:直线BO平分线段AC; (2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足,试证明点Q恒在一定直线上.
解:(1)由题意,,则,,故椭圆方程为,
即,其中,,
∴直线的斜率为,此时直线的方程为,
联立得,解得(舍)和,即,
由对称性知. 直线BO的方程为,线段AC的中点坐标为,
AC的中点坐标满足直线BO的方程,即直线BO平分线段AC.
(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为,点,
则,.∵,∴设,则,
求得,,∴,
∴,
由于m,n,C为常数,所以点Q恒在直线上.
23.椭圆C: 两个焦点为,点P在椭圆C上,且,,.
(1)求椭圆C的方程. (2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
解:(1) ,又,
, 所求椭圆C的方程为.
(2)假设能构成等腰直角三角形ABC,其中,由题意可知,直角边不可能垂直或平行于轴,故可设边所在直线的方程为, ,则边所在直线的方程为.
由得,故,
用代替上式中的,得,
由 即即
故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.
24.已知椭圆:()经过与两点,过原点的直线与椭圆交于、两点,椭圆上一点满足.
O
A
B
M
x
y
(1)求椭圆的方程; (2)求证:为定值.
O
A
B
M
x
y
解:(1)将与代入椭圆的方程,得,…………(2分)
解得,.所以椭圆的方程为.…………(6分)
(2)由,知在线段的垂直平分线上,由椭圆的对称性知、关于原点对称.
①若点、在椭圆的短轴顶点上,则点在椭圆的长轴顶点上,此时
.……(1分)
同理,若点、在椭圆的长轴顶点上,则点在椭圆的短轴顶点上,此时
.……(2分)
②若点、、不是椭圆的顶点,设直线的方程为(),
则直线的方程为.设,,
由,解得,,……(4分)
所以,同理可得,
所以.……(7分)
综上,为定值.…………(8分)
25.已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1; (3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
解:依题设c=1,且右焦点(1,0).
所以,2a==,b2=a2-c2=2,故所求的椭圆的标准方程为. ……4分
(2)设A(,),B(,),则①,②.
②-①,得 .所以,k1=. ………9分
(3)依题设,k1≠k2.设M(,),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,
代入椭圆方程并化简得 .于是,,.…11分
同理,,.
当k1k2≠0时,直线MN的斜率k==.………………13分
直线MN的方程为,即 ,
亦即 .此时直线过定点.………………………………15分
当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点.综上,直线MN恒过定点,且坐标为. ………16分
26.已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.
不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值;
(3)过点 A,P,Q的动圆记为圆C,动圆C过不同于A的定点,请求出该定点坐标.
解:(1)设椭圆的标准方程为.由题意得.……2分
, , ……2分 椭圆的标准方程为.……4分
(2)证明:设点 将带入椭圆,化简得:
,……6分 ,
P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分
(3)(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为(),
PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ……8分
圆心()满足,所以,……9分
圆过定点(2,0),所以,……10分
圆过, 则 两式相加得:
,……11分
, .……12分
因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以,
由解得: ……13分
代入圆的方程为:,
整理得:,……14分
所以:……15分 解得:或(舍).
所以圆过定点(0,1).……16分
(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:
.……8分
方程与方程为同解方程., ……11分
圆过定点(2,0),所以 , ……12分
因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以.
解得: ,……13分 (以下相同)
.
.
27.如图,在平面直角坐标系中,已知圆,圆
(1) 若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2) 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长. 证明:动圆圆心在一条定直线上运动; 动圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
解:思路一:设圆:(),①
易得圆:, ② 圆:,③
由①②得,将代入得,
由①③得,将代入得,
代入③得,整理得,
由得或 所以定点的坐标为,.
思路二(几何方法):利用定点M在直线C1C2上,C1C2的中点为N,动圆圆心C满足CC12+12=r2= CN2+CM2,则CM2= CN2 —CC12+1= C1N2+1=9,进而得出结论.
28.如图,在平面直角坐标系xoy中,圆C:,点F(1,0),E是圆C上的一个动点,EF的垂直平分线PQ与CE交于点B,与EF交于点D。
①求点B的轨迹方程; ②当D位于y轴的正半轴上时,求直线PQ的方程; ③若G是圆上的另一个动点,且满足FG⊥FE。记线段EG的中点为M,试判断线段OM的长度是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由。
解:(1)由已知,所以,所以点的轨迹是以,为焦点,长轴为4的椭圆,所以点的轨迹方程为;……4分
⑵当点位于轴的正半轴上时,因为是线段的中点,为线段的中点,
所以∥,且,所以的坐标分别为和,…………7分
因为是线段的垂直平分线,所以直线的方程为,即直线的方程为. …10分
⑶设点的坐标分别为和,则点的坐标为,
因为点均在圆上,且,所以 ①
② ③ …………………13分
所以,,.
所以,
即点到坐标原点的距离为定值,且定值为.………………………………16分
O
x
y
A
B
l
29.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为.
(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,且.
①求证:原点O到直线AB的距离为定值;②求AB的最小值.
解:(1)由题意,可设椭圆C的方程为,焦距为2c,离心率为e.于是.
设椭圆的右焦点为F,椭圆上点P到右准线距离为,
则,于是当d最小即P为右顶点时,PF取得最小值,所以.…3分
因为 所以椭圆方程为.…………………5分
(2)①设原点到直线的距离为h,则由题设及面积公式知.
当直线的斜率不存在或斜率为时,或 于是. ……………7分
当直线的斜率存在且不为时,则,解得 同理……9分
在Rt△OAB中,,则
,所以.综上,原点到直线的距离为定值.………11分
另解:,所以.
②因为h为定值,于是求的最小值即求的最小值. ,
令,则,于是, ……………14分
因为,所以,当且仅当,即,取得最小值,因而
所以的最小值为.……………………………………………16分
30.在平面直角坐标系xoy中,已知定点A(-4,0),B(4,0),动点P与A、B连线的斜率之积为.
(1)求点P的轨迹方程; (2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴右侧,圆M被y轴截得弦长为。 ①求圆M的方程;②当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,说明理由。
解:(1)设,则直线的斜率分别为……………2分 由题意知,
即所以动点的轨迹方程是……4分(说明:没有范围扣1分)
(2)(ⅰ)由题意所以线段的垂直平分线方程为 …………6分
设,则圆的方程为
圆心到轴的距离,由,得,所以圆的方程为 …10分
(ⅱ)假设存在定直线与动圆均相切当定直线的斜率不存在时,不合题意
设直线:则对任意恒成立 由 ……12分
得所以,解得或
所以存在两条直线和与动圆均相切 ………16分(说明:少一条直线扣1分)
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