高考数学二轮专题复习平面向量 16页

平面向量 ‎【考纲解读】‎ ‎1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ ‎2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【考点预测】‎ 高考对平面向量的考点分为以下两类:‎ ‎(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.‎ ‎(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.‎ ‎【要点梳理】‎ ‎1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;‎ ‎2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；‎ ‎3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；‎ ‎4.两个向量夹角的范围是:;‎ ‎5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.‎ ‎【考点在线】‎ 考点一 　向量概念及运算 例1.(2011年高考山东卷理科12)设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )‎ ‎(A)C可能是线段AB的中点 ‎ ‎(B)D可能是线段AB的中点 ‎(C)C，D可能同时在线段AB上 ‎ ‎(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎【答案】D 考点二 　平面向量的数量积 例2.（2011年高考海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意知,即,所以 ‎,因为与不共线,所以,即k=1.‎ ‎【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.‎ ‎【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.‎ 练习2: (2011年高考安徽卷文科14)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，即，，所以，所以.‎ 考点三 　向量与三角函数等知识的综合 例3.（2009年高考江苏卷第15题）‎ 设向量 ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）求的最大值;‎ ‎（3）若，求证：∥.‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.‎ ‎【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.‎ 练习3:（2009年高考广东卷A文科第16题）‎ 已知向量与互相垂直，其中 ‎（1）求和的值（2）若，,求的值 ‎【解析】（１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎,,即 ‎ 又 , ∴‎ ‎【易错专区】‎ ‎1.（2011年高考全国卷文科3)设向量满足||=||=1, ,则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选B ‎2.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（‎2a-b）=0，则k=（ ）‎ ‎（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得‎2a-b =（5，2-k），a·（‎2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.‎ ‎3. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，=( )‎ ‎(A)0 (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ ‎4．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，‎ ‎===，令 ‎，则，即，由是实数，所以 ‎，，解得或.故.此时.‎ ‎5．（2010年高考全国卷Ⅱ文科10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=( )‎ ‎（A）a +b （B）a +b （C）a +b （D）a +b ‎【答案】B ‎【解析】∵ CD为角平分线，∴，∵，∴，∴‎ ‎6．（2010年高考四川卷文科6）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则( )‎ ‎（A）8 （B）4 （C）2 （D）1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由＝16，得|BC|＝4‎ ‎,＝4‎ 而,故2.‎ ‎7．（2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=___.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+4）=,其中=1，==1*1*=，，带入，原式=3*1—2*—8*1=—6.‎ ‎8.（2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为向量a=（1,1），b（-1,2），所以a·b等于1.‎ ‎9．（2011年高考湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反，则的坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，所以 ‎10.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ取值范围是.‎ ‎【答案】‎ ‎0,解得.‎ ‎【高考冲策演练】‎ 一、选择题：‎ ‎1.（2010年高考山东卷文科12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是( )‎ ‎(A)若a与b共线，则 ‎(B)‎ ‎(C)对任意的，有 ‎(D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而 ‎，所以有，故选项B错误，故选B。‎ ‎2．（2010年高考天津卷文科9）如图，在ΔABC中，，，，则=( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】=‎ ‎=，故选D。‎ ‎3．（2010年高考福建卷文科8）若向量，则“”是“”的 ‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由得，所以；反之，由可得。‎ ‎4．（2010年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )‎ ‎ A.2 B‎.3 C.6 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，‎ 因为，，所以 ‎==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。‎ ‎5．（2010年高考北京卷理科6）a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，则有不一定是一次函数（当时不是一次函数）；反之，成立，故选B。‎ ‎6．(2010年高考安徽卷文科3)设向量,,则下列结论中正确的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)与垂直 ‎【答案】D ‎【解析】，，所以与垂直.‎ ‎7．（2010年高考辽宁卷文科8）平面上三点不共线，设,则的面积等于 ( )K^S*5U.C#‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎8.(2010年高考宁夏卷文科2)a，b为平面向量，已知a=（4，3），‎2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎ 解析：由已知得，所以 ‎．‎ ‎9．（2010年高考广东卷文科5）若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)满足条件 (8－‎ ‎【解析】，所以=6.‎ ‎11．（2010年高考湖北卷文科8）已知和点M满足.若存在实使得成立，则=( )‎ A.2 B‎.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知，点M为的重心，设点D为底边BC的中点，则 ‎=，所以有，故=3，选B。‎ ‎12．（2010年高考湖南卷文科6）若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为( )‎ A. 300 B. ‎600 C. 1200 D. 1500‎ ‎【答案】C 二、填空题：‎ ‎13．(2010年高考江西卷文科13)已知向量，满足，与的夹角为60°，则在上的投影是．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量则 的值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎16．（2010年高考陕西卷理科11）已知向量，若∥，则.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】∵，∴由∥得.‎ 三．解答题：‎ ‎17．（2010年高考江苏卷试题15）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎【解析】（1）（方法一）由题设知，则 所以故所求的两条对角线的长分别为、‎ ‎.‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=(－2,－1)，。‎ 由()·=0，得：，‎ 从而所以。‎ 或者：，‎ ‎18．（2010年高考福建卷文科18）设平顶向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}.‎ ‎ （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；‎ ‎ （II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。‎ ‎19．（2009年高考湖北卷理科第17题）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知向量 ‎（Ⅰ）求向量的长度的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，且，求的值。‎ ‎【解析】（1）解法1：则 ‎，即 解法2：若，则，又由，得 ‎，，即 ‎，平方后化简得 解得或，经检验，即为所求 ‎20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)‎ 如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且 ‎（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线于点N，已知为定值.‎ ‎【解析】（1）方法一：如图，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则，.…………2分 ‎ 设动点的坐标为，则动点的坐标为 ‎，， ……………3分 由·，得. ………5分 方法二：由. ………2分 所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点 为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：‎ ‎. ……………………………………………………………………5分 ‎（2）方法一：如图，设直线的方程为，，……6分 则. ………………………………………………………………………………7分 联立方程组 消去得，‎ ‎，， …………………………………………………‎ ‎8分 故…………………………………………………………………………9分 由，得，‎ ‎，，………………………………………………………10分 整理得，，‎ ‎·. …………………12分 方法二：由已知，，得. …………………………7分 于是， ， ①………………………………………………8分 ‎ 如图，过、两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，‎ 则有== ， ②………………………………………………10分 由①、②得. …………………………………………………………………12分