新课标高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 数列系列之数列的周期性含解析 新人教A 5页

五、周期（循环）数列（扩展）的运用 对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n>N，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。‎ 典型例题：‎ 例1.数列满足，则的前60项和为【 】‎ ‎（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。‎ ‎【解析】求出的通项：由得， ‎ ‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；······‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，（）。‎ ‎∵，‎ ‎∴的四项之和为（）。‎ 设（）。‎ 则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，‎ ‎∴的前项和=的前15项和=。故选D。‎ 例2.对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak 中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.‎ ‎（1）b2+b4+b6+b8=　　▲　　.；‎ ‎（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是　　▲　　..‎ ‎【答案】（1）3；（2）2。‎ ‎【考点】数列问题。‎ ‎【解析】（1）观察知；；‎ 依次类推；；‎ ‎；，；；‎ ‎∴b2+b4+b6+b8=３。‎ ‎（2）由（1）知cm的最大值为２。‎ 例3.对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（4分）‎ ‎（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（6分）‎ ‎（3）设，常数，若，是的控制数列，求（8分）‎ ‎【答案】解：（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。‎ ‎ （2）证明：∵，，∴。‎ ‎∵，，∴，即。‎ ‎ ∴。 ‎ ‎ （3）对，；；‎ ‎ ；。‎ ‎ 比较大小，可得。 ‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，即；‎ ‎ ，即。‎ ‎ 又∵，∴，，，。‎ ‎ ∴‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ===。 ‎ ‎【考点】数列的应用。‎ ‎【解析】（1）根据题意，可得数列。‎ ‎（2）依题意可得，又，，从而可得，整理即证得结论。‎ ‎（3）根据，可发现，；；‎ ‎；。通过比较大小，可得，，而，从而可求得的值。‎ 六、数列特征方程的应用：所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：‎ ‎1. 形如的数列，一般是令，解出，则是公比为的等比数列 。‎ ‎2. 形如的数列，一般是令，解出，则 ‎ ‎①当时, ，其中为待定系数，可根据初始值求出；‎ ‎②当时，，其中为待定系数，可根据初始值求出。‎ ‎3. 形如的数列，一般是令，解出，则 ‎ ‎①当时，为等比数列；②当时，为等差数列。‎ 典型例题：‎ 例1.函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求数列的通项公式。‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴点在函数的图像上。‎ ‎ ∴由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。‎ ‎∴直线的直线方程为。‎ 令，可求得，解得。‎ ‎∴。‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，，满足，‎ 假设时，成立，则当时，，‎ 由得，，即，∴。‎ ‎∴也成立。‎ 综上可知对任意正整数恒成立。‎ 下面证明：‎ ‎∵，‎ ‎∴由得，。∴。‎ ‎∴即。‎ 综上可知恒成立。‎ ‎ （2）由得到该数列的一个特征方程即，‎ 解得或。‎ ‎∴① ，②。‎ 两式相除可得。‎ 而 ‎∴数列是以为首项以为公比的等比数列。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。‎ ‎【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明，运用差值法证明，从而得证。‎ ‎ （2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。‎