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- 2021-05-13 发布
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简单的线性规划
【考纲要求】
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;
4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。
5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。
【知识网络】
简单的线性规划
二元一次不等式(组)表示的区域
简单应用
不等式(组)的应用背景
【考点梳理】
【高清课堂:不等式与不等关系394841 知识要点】
考点一:用二元一次不等式(组)表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
要点诠释:
画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤:
①画出直线(有等号画实线,无等号画虚线);
②当时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当时,另取一特殊点判断;
③确定要画不等式所表示的平面区域。
简称:“直线定界,特殊点定域”方法。
考点二:二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y),实数Ax+By+c的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便).把它的坐标代入Ax+By+c,由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
要点诠释:
判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法:
因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y),数Ax+By+C的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)
最简便),它的坐标代入Ax+By+c,由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
考点三:线性规划的有关概念:
①线性约束条件:在一个问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.
②线性目标函数:
关于x、y的一次式z=ax+by(a,b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.
③线性规划问题:
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
④可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
要点诠释:
在应用线性规划的方法时,一般具备下列条件:
①一定要能够将目标表述为最大化(极大)或最小化(极小)的要求。
②一定要有达到目标的不同方法,即必须要有不同的选择的可能性存在;
③所求的目标函数是有约束(限制)条件的;
④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式(组),并将目标函数表示成为线性函数。
考点四:解线性规划问题总体步骤:
设变量→找约束条件,找目标函数
作图,找出可行域求出最优解
要点诠释:
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用:
①在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;
②给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
【典型例题】
类型一:二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1.画出3x+y-3<0所表示的平面区域.
【解析】
举一反三:
【变式1】下面给出四个点中,位于表示的平面区域内的点是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【变式2】表示的平面区域为( )
A B C D
【答案】B;原不等式可转化为或
【变式3】画出不等式表示的平面区域。
【解析】先画直线(画成虚线).
取原点代入得,
∴原点不在表示的平面区域内,
不等式表示的区域如图:
例2.画出下列不等式组表示的平面区域。
(1); (2); (3).
【解析】
(1) (2) (3)
举一反三:
【变式1】用平面区域表示不等式
【解析】
【变式2】求不等式组的整数解。
【解析】如图所示,
作直线,,,
在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域,
此三角形区域内的整点(2,1),(1,0),(2,0),(1,-1),(2,-1),(3,-1)即为原不等式组的整数解。
类型二:图解法解决简单的线性规划问题.
【高清课堂:不等式与不等关系394841 基础练习一】
例3.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( )
A.12 B.10 C.8 D.2
【解析】由约束条件可知可行域如图:
平移知在处取得最大值
答案:B
举一反三:
【变式1】已知,求;
(1) 的最大值;
(2)的范围.
【解析】作出可行域如图,并求出顶点坐标.
x
y
0o
x-y+2=0
x+y-4=0
2x-y-5=0
A
B
C
(1) 将代入得最大值21;
(2) 表示可行域内一点到定点的斜率的2倍,
因为,
的范围是.
例4.已知、满足约束条件,求下列各式的最大值和最小值.
(1); (2).
【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图所示:
求出交点,,,
作过点的直线:,平移直线,得到一组与平行的直线:,.
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中,
当经过点时的直线所对应的最大,所以;
当经过点时的直线所对应的最小,所以.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示:
作过点的直线:,平移直线,得到一组与平行的直线:,.
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中,
当经过线段上的所有点时的直线所对应的最大,所以;
当经过点时的直线所对应的最小,所以.
举一反三:
【变式1】求的最大值和最小值,使式中的、满足约束条件.
【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示:
从图示可知,直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,
以经过点的直线所对应的最小,
以经过点的直线所对应的最大.
所以,
.
类型三:实际应用问题中的线性规划问题.
例5.家具公司制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有8000个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有1300个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,试根据以上条件,问怎样安排生产能获得最大利润?
【解析】
设制作x把椅子,y张桌子约束条件:,
目标函数:z=15x+20y.
如图:目标函数经过A点时,z取得最大值
即A(200, 900)
∴ 当x=200, y=900时,zmax=15×200+20×900=21000(元)
答:安排生产200把椅子,900张桌子时,利润最大为21000元。
举一反三:
【变式1】某企业生产A、B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表:
产品品种
劳动力(个)
煤(吨)
电(千瓦)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?
【解析】
设生产A、B两种产品各x、y吨,利润为z万元
则,目标函数
作出可行域,如图所示,
作出在一组平行直线7x+12y=t(t为参数)中经过可行域内的点和原点距离最远的直线,
此直线经过点M(20,24)
故z的最优解为(20,24),z的最大值为7×20+12×24=428(万元)。
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