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2016年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣4x<0},B={x|﹣1≤x≤1},则A∪B=( )
A.[﹣1,1] B.[﹣1,4) C.(0,1] D.(0,4)
2.函数f(x)=2x+x﹣2的零点所在区间是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣l,0) C.(0,1) D.(1,2)
3.复数z=(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能为( )
A. B. C. D.
5.将函数f(x)=cos(x+)图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数g(x)图象,则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)=cos(2x+) B.g(x)=cos(2x+) C.g(x)=cos(+) D.g(x)=cos(+)
6.已知直线l:x+y=2与圆C:x2+y2﹣2y=3交于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.2 C. D.
7.已知函数f(x)=,若f(f(﹣1))=2,在实数m的值为( )
A.1 B.1或﹣1 C. D.或﹣
8.某校高三(1)班在一次单元测试中,每位同学的考试分数都在区间[100,128]内,将该班所有同学的考试分数分为七组:[100,104),[104,108),[108,112),[112,116),[116,120),[120,124),[124,128],绘制出频率分布直方图如图所示,已知分数低于112分的有18人,则分数不低于120分的人数为( )
A.10 B.12 C.20 D.40
9.在三棱锥P﹣ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点.则下列说法错误的是( )
A.当AE⊥PB时,△AEF﹣定为直角三角形
B.当AF⊥PC时,△AEF﹣定为直角三角形
C.当EF∥平面ABC时,△AEF﹣定为直角三角形
D.当PC⊥平面AEF时,△AEF﹣定为直角三角形
10.已知抛物线y=x2的焦点为F,过点(0,2)作直线l与抛物线交于A,B两点,点F关于直线OA的对称点为C,则四边形OCAB面积的最小值为( )
A.2 B. C. D.3
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.双曲线=l的一个焦点坐标为(3,0),则该双曲线的离心率为______.
12.某单位有职工200人,其年龄分布如下表:
年龄(岁)
[20,30)
[30,40)
[40,60)
人数
70
90
40
为了解该单位职工的身体健康状况,用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查,则年龄在[30,40)内的职工应抽取的人数为______.
13.已知实数x,y满足,则x﹣2y的取值范围是______.
14.执行如图所示的程序框图,输出的S的值为______
15.已知函数f(x)=x+sin2x.给出以下四个命题:
①函数f(x)的图象关于坐标原点对称;
②∀x>0,不等式f(x)<3x恒成立;
③∃k∈R,使方程f(x)=k没有的实数根;
④若数列{an}是公差为的等差数列,且f(al)+f(a2)+f(a3)=3π,则a2=π.
其中的正确命题有______.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.已知数列{an}中,a1=1,又数列{}(n∈N*)是公差为1的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
17.某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球,小球除编号不同外,其余均相同.
活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一球,若抽到的小球编号为3,则获得奖金100元;若抽到的小球编号为偶数,则获得奖金50元;若抽到其余编号的小球,则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.
(I)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,且b2+c2=3+bc.
(I)求角A的大小;
(Ⅱ)求bsinC的最大值.
19.在三棱柱ABC﹣A1BlC1中,已知侧棱与底面垂直,∠CAB=90°,且AC=1,AB=2,E为BB1的中点,M为AC上一点,AM=AC.
(I)若三棱锥A1﹣C1ME的体积为,求AA1的长;
(Ⅱ)证明:CB1∥平面A1EM.
20.已知椭圆C: =l(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点,点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且|PF2|=.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F1作直线l与椭圆C交于A,B两点,设.若λ∈[1,2],求△ABF2面积的取值范围.
21.设函数f(x)=lnx.
(I)求函数g(x)=x﹣1﹣f(x)的极小值;
(Ⅱ)证明:当x∈[1,+∞)时,不等式恒成立;
(Ⅲ)已知a∈(0,),试比较f(tana)与2tan(a﹣)的大小,并说明理由.
2016年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣4x<0},B={x|﹣1≤x≤1},则A∪B=( )
A.[﹣1,1] B.[﹣1,4) C.(0,1] D.(0,4)
【考点】并集及其运算.
【分析】先求出集合A,再利用并集的定义求出集合A∪B.
【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x<0}={x|0<x<4},B={x|﹣1≤x≤1},
∴A∪B={x|﹣1≤x<4}=[﹣1,4).
故选:B.
2.函数f(x)=2x+x﹣2的零点所在区间是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣l,0) C.(0,1) D.(1,2)
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】据函数零点的判定定理,判断f(﹣1),f(0),f(1),f(2)的符号,即可求得结论.
【解答】解:f(﹣1)=2﹣1+1﹣2=﹣<0,
f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0,
故有f(0)•f(1)<0,由零点的存在性定理可知:
函数f(x)=2x+x﹣2的零点所在的区间是(0,1)
故选:C.
3.复数z=(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.
【解答】解:复数z====1+2i.
复数对应点(1,2)在第一象限.
故选:A.
4.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能为( )
A. B. C. D.
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】几何体为椎体与柱体的组合体,分四种情况进行判断.
【解答】解:由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体,
(1)若几何体为圆柱与圆锥的组合体,则俯视图为A,
(2)若几何体为棱柱与圆锥的组合体,则俯视图为B,
(3)若几何体为棱柱与棱锥的组合体,则俯视图为C,
(4)若几何体为圆柱与棱锥的组合体,则俯视图为
故选:D.
5.将函数f(x)=cos(x+)图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数g(x)图象,则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)=cos(2x+) B.g(x)=cos(2x+) C.g(x)=cos(+) D.g(x)=cos(+)
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得到结论.
【解答】解:函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),
得到g(x)=sin(2x+)的函数图象.
故选:B.
6.已知直线l:x+y=2与圆C:x2+y2﹣2y=3交于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.2 C. D.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据圆的弦长公式|AB|=2,求出d与r,代入公式,可得答案.
【解答】解:圆C:x2+y2﹣2y=3是以(0,1)为圆心,以r=2为半径的圆,
圆心到直线l:x+y=2的距离d=,
故|AB|=2=,
故选:A.
7.已知函数f(x)=,若f(f(﹣1))=2,在实数m的值为( )
A.1 B.1或﹣1 C. D.或﹣
【考点】函数的值.
【分析】根据分段函数的表达式,建立方程关系进行求解即可,
【解答】解:由分段函数的表达式得f(﹣1)=1+m2≥1,
则f(f(﹣1))=f(1+m2)=log2(1+m2)=2,
则1+m2=4,得m2=3,
得m=或﹣,
故选:D.
8.某校高三(1)班在一次单元测试中,每位同学的考试分数都在区间[100,128]内,将该班所有同学的考试分数分为七组:[100,104),[104,108),[108,112),[112,116),[116,120),[120,124),[124,128],绘制出频率分布直方图如图所示,已知分数低于112分的有18人,则分数不低于120分的人数为( )
A.10 B.12 C.20 D.40
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率,从而求出高三(1)班总人数,再求出分数不低于120分的频率,由此能求出分数不低于120分的人数.
【解答】解:由频率分布直方图得分数低于112分的频率为:
(0.01+0.03+0.05)×4=0.36,
∵分数低于112分的有18人,
∴高三(1)班总人数为:n==50,
∵分数不低于120分的频率为:(0.03+0.02)×4=0.2,
∴分数不低于120分的人数为:50×0.2=10人.
故选:A.
9.在三棱锥P﹣ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点.则下列说法错误的是( )
A.当AE⊥PB时,△AEF﹣定为直角三角形
B.当AF⊥PC时,△AEF﹣定为直角三角形
C.当EF∥平面ABC时,△AEF﹣定为直角三角形
D.当PC⊥平面AEF时,△AEF﹣定为直角三角形
【考点】棱锥的结构特征.
【分析】A.当AE⊥PB时,又PA⊥底面ABC,AB⊥BC,可得AE⊥BC,利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF,即可判断出正误.
B.当AF⊥PC时,无法得出△AEF﹣定为直角三角形,即可判断出正误;
C.当EF∥平面ABC时,可得EF∥BC,利用线面垂直的判定与性质定理可得:BC⊥AE,EF⊥AE,即可判断出正误;
D.当PC⊥平面AEF时,可得PC⊥AE,由C可知:BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误.
【解答】解:A.当AE⊥PB时,又PA⊥底面ABC,AB⊥BC,∴AE⊥BC,可得:AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,∴△AEF﹣定为直角三角形,正确.
B.当AF⊥PC时,无法得出△AEF﹣定为直角三角形,因此不正确;
C.当EF∥平面ABC时,平面PBC∩ABC=BC,可得EF∥BC,∵PA⊥底面ABC,AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥AE,因此EF⊥AE,则△AEF﹣定为直角三角形,正确;
D.当PC⊥平面AEF时,可得PC⊥AE,由C可知:BC⊥AE,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,因此△AEF﹣定为直角三角形,正确.
故选:B.
10.已知抛物线y=x2的焦点为F,过点(0,2)作直线l与抛物线交于A,B两点,点F关于直线OA的对称点为C,则四边形OCAB面积的最小值为( )
A.2 B. C. D.3
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设直线AB方程为y=kx+2,联立y=x2求解,设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离,利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=(OA•d1+AB•d2),可得S关于k的函数,利用导数知识即可求解.
【解答】解:不妨设位于第一象限的交点为A(x1,y1)、第二象限的交点为B(x2,y2),则x1>0,x2<0.OA的直线方程为y=x=x1x,F点的坐标为(0,).
设直线AB方程为y=kx+2,联立y=x2求解,有x2﹣kx﹣2=0
∴x1+x2=k,x1x2=﹣2,△=k2+8,x1=(k+)①;线段AB=②.
设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离.
∵C是F关于OA的对称点,∴C到OA的距离=d1.
∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=(OA•d1+AB•d2).
根据点到直线距离公式,d1=③,d2=④.
又线段OA=⑤,
∴将①~⑤代入S,有S=(k+17).
由S对k求导,令导函数=0,可得1+=0,解得k=﹣时,S最小,其值为3.
故选:D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.双曲线=l的一个焦点坐标为(3,0),则该双曲线的离心率为 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的焦点坐标,建立a,b,c的关系进行求解即可.
【解答】解:∵双曲线=l的一个焦点坐标为(3,0),
∴c=3,
则c2=a2+5=9,
即a2=9﹣5=4,
则a=2,
则双曲线的离心率e==,
故答案为:
12.某单位有职工200人,其年龄分布如下表:
年龄(岁)
[20,30)
[30,40)
[40,60)
人数
70
90
40
为了解该单位职工的身体健康状况,用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查,则年龄在[30,40)内的职工应抽取的人数为 18 .
【考点】分层抽样方法.
【分析】利用分层抽样原理进行求解即可.
【解答】解:由已知得,用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查,
年龄在[30,40]内的职工应抽取的人数为:40×=18.
故答案为:18.
13.已知实数x,y满足,则x﹣2y的取值范围是 [﹣4,1] .
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
A(1,0),
联立,解得B(2,3),
令z=x﹣2y,化为y=,
由图可知,当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值,为1;
当直线y=过B时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值,为2﹣2×3=﹣4.
∴x﹣2y的取值范围是[﹣4,1].
故答案为:[﹣4,1].
14.执行如图所示的程序框图,输出的S的值为
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:第一次执行循环体,S=•(2﹣),不满足退出循环的条件,k=2,α=;
第二次执行循环体,S=•(2﹣)•,不满足退出循环的条件,k=3,α=;
第三次执行循环体,S=•(2﹣)••1,不满足退出循环的条件,k=4,α=;
第四次执行循环体,S=•(2﹣)••1•,不满足退出循环的条件,k=4,α=;
第五次执行循环体,S=•(2﹣)••1••(2+),满足退出循环的条件,
故输出的S值为:S=•(2﹣)••1••(2+)=,
故答案为:
15.已知函数f(x)=x+sin2x.给出以下四个命题:
①函数f(x)的图象关于坐标原点对称;
②∀x>0,不等式f(x)<3x恒成立;
③∃k∈R,使方程f(x)=k没有的实数根;
④若数列{an}是公差为的等差数列,且f(al)+f(a2)+f(a3)=3π,则a2=π.
其中的正确命题有 ①②④ .(写出所有正确命题的序号)
【考点】函数的图象.
【分析】①根据奇函数的性质可直接判断;
②构造函数,利用导函数判断函数的单调性,求出最值即可;
③根据函数的连续性和值域可判断;
④根据函数表达式和题意可判断.
【解答】解:①函数f(x)为奇函数,故图象关于坐标原点对称,故正确;
②∀x>0,f(x)﹣3x
=sin2x﹣2,
令g(x)=sin2x﹣2,g'(x)=2(cos2x﹣1)<0,
∴g(x)递减,g(x)<g(0)=0,
∴f(x)<3x恒成立,故正确;
③由函数为奇函数,且值域为(﹣∞,+∞),
故无论R为何值,方程f(x)=k都有实数根,故错误;
④若数列{an}是公差为的等差数列,且f(al)+f(a2)+f(a3)=3π,
∴al+a2+a3=3π,sin2al+sin2a2+sin2a3=0,
解得a2=π,故正确.
故答案为:①②④.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.已知数列{an}中,a1=1,又数列{}(n∈N*)是公差为1的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)a1=1,又数列{}(n∈N*)是公差为1的等差数列.可得=2+(n﹣1),即可得出an.
(2)由an==2.利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解:(1)∵a1=1,又数列{}(n∈N*)是公差为1的等差数列.
∴=2+(n﹣1)=n+1,
∴an=.
(2)∵an==2.
∴数列{an}的前n项和Sn=2+…+
=2
=.
17.某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球,小球除编号不同外,其余均相同.
活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一球,若抽到的小球编号为3,则获得奖金100元;若抽到的小球编号为偶数,则获得奖金50元;若抽到其余编号的小球,则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.
(I)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;互斥事件的概率加法公式.
【分析】(Ⅰ)先列举所有的结果,两次都没有中奖的情况有(1,1),(1,5),(5,1),(5,5),共4种,根据概率公式计算即可,
(Ⅱ)分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率,再根据概率公式计算即可.
【解答】解:(Ⅰ)该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5);
共有25种,
两次都没有中奖的情况有(1,1),(1,5),(5,1),(5,5),共4种,
∴两次都没有中奖的概率为P=,
(Ⅱ)两次抽奖奖金之和为100元的情况有:
①第一次获奖100元,第二次没有获奖,其结果有(3,1),(3,5),故概率为P1=,
②两次获奖50元,其结果有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),故概率为P2=
②第一次没有中奖,第二次获奖100元,其结果有13.53,故概率为P3=,
∴所求概率P=P1+P2+P3=.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,且b2+c2=3+bc.
(I)求角A的大小;
(Ⅱ)求bsinC的最大值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(I)由余弦定理可得:cosA===,即可得出.
(II)由正弦定理可得:可得b=,可得bsinC=2sinBsin=+,根据B∈即可得出.
【解答】解:(I)由余弦定理可得:cosA===,
∵A∈(0,π),∴A=.
(II)由正弦定理可得:,可得b=,
bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+
=+,
∵B∈,∴∈.
∴∈.
∴bsinC∈.
19.在三棱柱ABC﹣A1BlC1中,已知侧棱与底面垂直,∠CAB=90°,且AC=1,AB=2,E为BB1的中点,M为AC上一点,AM=AC.
(I)若三棱锥A1﹣C1ME的体积为,求AA1的长;
(Ⅱ)证明:CB1∥平面A1EM.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【分析】(I)由A1A⊥AB,AC⊥AB可知AB⊥平面ACC1A1,故E到平面ACC1A1的距离等于AB,于是VV=V,根据体积列出方程解出A1A;
(II)连结AB1交A1E于F,连结MF,由矩形知识可知AF=,故MF∥CB1,所以CB1∥平面A1EM.
【解答】解:(I)∵A1A⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴A1A⊥AB,又A1A⊥AC,A1A⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,A1A∩AC=A,
∴AB⊥平面ACC1A1,
∵BB1∥平面ACC1A1,
∴V=V====.
∴A1A=.
(II)连结AB1交A1E于F,连结MF,
∵E是B1B的中点,
∴AF=,又AM=,
∴MF∥CB1,又MF⊂平面A1ME,CB1⊄平面A1ME
∴CB1∥平面A1EM.
20.已知椭圆C: =l(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点,点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且|PF2|=.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F1作直线l与椭圆C交于A,B两点,设.若λ∈[1,2],求△ABF2面积的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由题意即可得出F1(﹣1,0),F2(1,0),根据抛物线的定义以及点P在抛物线上即可得出P点坐标,从而可以求出|PF1|,从而根据椭圆的定义可得出a=2,进而求出b2=3,这样即可得出椭圆的方程为;
(Ⅱ)根据题意可设l:x=my﹣1,联立椭圆方程并消去x可得到(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,可设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理便可得到(1),而由可得到y1=﹣λy2,带入(1)并消去y1,y2可得.而由λ的范围便可求出的范围,从而得出,可以得到,根据m2的范围,换元即可求出△ABF2的面积的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)由抛物线的定义,得点P到直线x=﹣1的距离为,且点P在抛物线y2=4x上;
∴;
∴;
∴由椭圆定义得,;
∴a=2;
又a2﹣b2=1,∴b2=3;
∴椭圆的方程为;
(Ⅱ)据题意知,直线l的斜率不为0,设直线l:x=my﹣1,代入椭圆方程,消去x得:
(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0;
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1);
∵;
∴﹣y1=λy2带入(1)消去y1,y2得:;
∵λ∈[1,2];
∴;
∴;
解得;
∴==;
令,则m2=t2﹣1;
∴;
∵;
∴;
∴△ABF2面积的取值范围为.
21.设函数f(x)=lnx.
(I)求函数g(x)=x﹣1﹣f(x)的极小值;
(Ⅱ)证明:当x∈[1,+∞)时,不等式恒成立;
(Ⅲ)已知a∈(0,),试比较f(tana)与2tan(a﹣)的大小,并说明理由.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(I)求导数,确定函数的单调性,即可求函数g(x)=x﹣1﹣f(x)的极小值;
(Ⅱ)可化为(x+1)lnx﹣2(x﹣1)≥0,构造函数,确定函数的单调性,即可证明:当x∈[1,+∞)时,不等式恒成立;
(Ⅲ)已知a∈(0,),证明<,分类讨论,即可比较f(tana)与2tan(a﹣)的大小.
【解答】解:(I)函数g(x)=x﹣1﹣f(x)=x﹣1﹣lnx,
g′(x)=(x>0),
∴g(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,
∴x=1时,g(x)的极小值为0;
证明:(Ⅱ)可化为(x+1)lnx﹣2(x﹣1)≥0,
令h(x)=(x+1)lnx﹣2(x﹣1)(x≥1),则h′(x)=+lnx﹣1,
令φ(x)=+lnx﹣1(x≥1),则φ′(x)=,
∴φ(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴φ(x)≥φ(1)=0,即h′(x)≥0,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(1)=0,
∴;
解:(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x>1,>.
∵0<x<1,
∴>1
∴>,
∴<,
∵f(tana)=lntana,2tan(a﹣)=2•,
∴0<a<,0<tana<1,f(tana)<2tan(a﹣),
a=,tana﹣1,f(tana)=2tan(a﹣),
<a<,tana>1,f(tana)>2tan(a﹣).
2016年9月20日
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