全国高考新课标1卷文科数学试题解析版 7页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B=‎ A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2,-1,0,1,2}‎ 解析：选A ‎2．设z=+2i，则|z|=‎ A．0 B． C．1 D． 解析：选C z=+2i=-i+2i=i ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ ‎ ‎ 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A ‎4．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为 A． B． C． D． 解析：选C ∵ c=2，4=a2-4 ∴a=2 ∴e= ‎5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A．12π B．12π C．8π D．10π 解析：选B 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=,圆柱表面积=2πR×2R+2πR2=12π ‎6．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x 解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D ‎7．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=‎ A． - B． - C． + D． + 解析：选A 结合图形，=- (+)=- -=- -(-)= - ‎8．已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则 A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f(x) 的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f(x) 的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ 解析：选B f(x)= cos2x+ 故选B ‎9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A．2 B．2 C．3 D．2‎ 解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长 ‎10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为300，则该长方体的体积为 A．8 B．6 C．8 D．8 解析：选C ∵AC1与平面BB1C1C所成的角为300 ，AB=2 ∴AC1=4 BC1=2 BC=2 ∴CC1=2 ‎ V=2×2×2=8 ‎11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，则|a-b|=‎ A． B． C． D．1‎ 解析：选B ∵cos2α= 2cos2α-1= cos2α= ∴sin2α= ∴tan2α= ‎ 又|tanα|=|a-b| ∴|a-b|= ‎ ‎12．设函数f(x)= ，则满足f(x+1)< f(2x)的x的取值范围是 A．(-∞,-1] B．(0,+ ∞) C．(-1,0) D．(-∞,0) ‎ 解析：选D x≤-1时，不等式等价于2-x-1<2-2x,解得x<1,此时x≤-1满足条件 ‎ -10时，1<1不成立 故选D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数f(x)=log2(x2+a)，若f(3)=1，则a=________．‎ 解析：log2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则z=3z+2y的最大值为_____________．‎ 解析：答案为6‎ ‎15．直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点，则|AB|=________．‎ 解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=,|AB|=2=2 ‎16．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA= ‎ 由余弦定理及b2+c2-a2=8得2bccosA=8,则A为锐角，cosA=, ∴bc= ‎ ∴S=bcsinA= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)an，设bn=．‎ ‎（1）求b1,b2,b3；‎ ‎（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求{an}的通项公式．‎ 解：（1）由条件可得an+1=an．‎ 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．‎ 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．‎ 从而b1=1，b2=2，b3=4．‎ ‎（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得=，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎（3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=900，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积．‎ ‎18．解：（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC．‎ 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．‎ 又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3．‎ 又BP=DQ=DA，所以BP=2．‎ 作QE⊥AC，垂足为E，则QE//DC，且QE=DC．‎ 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．‎ 因此，三棱锥Q-ABP的体积为V=×QE×SΔABP=×1××3×2×sin450=1‎ ‎19．（12分）‎ 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.7)‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：‎ ‎（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；‎ ‎（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）‎ 解：（1）‎ ‎（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 ‎0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，‎ 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．‎ ‎（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 =(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48‎ 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 =(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35‎ 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3)．‎ ‎20．（12分）‎ 设抛物线C:y2=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎（2）证明：∠ABM=∠ABN．‎ 解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．‎ 所以直线BM的方程为y=x+1或y=- x-1．‎ ‎（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)( (k≠0))，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．‎ 代y=k(x-2)入y2=2x消去x得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．‎ 直线BM，BN的斜率之和为kBM+kBN=+=．①‎ 将x1=+2，x2=+2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0‎ 所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数f(x)=aex-lnx-1．‎ ‎（1）设x=2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间；‎ ‎（2）证明：当a≥时，f(x)≥0．‎ 解：（1）f（x）的定义域为(0,+∞)，f ′（x）=aex–．‎ 由题设知，f ′（2）=0，所以a=．‎ 从而f（x）=ex-lnx-1，f ′（x）=ex- ．‎ 当02时，f ′（x）>0．‎ 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．‎ ‎（2）当a≥时，f（x）≥ -lnx-1．‎ 设g（x）= -lnx-1，则g ′（x）= – ‎ 当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．‎ 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．‎ 因此，当a≥时，f(x)≥0．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.‎ ‎（1）求C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.‎ 解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．‎ ‎（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．‎ 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． ‎ 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以=2，故k= - 或k=0．‎ 经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= - 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以=2，故k=0或k=- ．‎ 经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= 时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y= - |x|+2．‎ ‎23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）‎ 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.‎ 解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)．‎ ‎（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；‎ 若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]．‎ 综上，a的取值范围为(0,2]．‎