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- 2021-05-13 发布
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高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
一、选择题
1.(文)(2010·东北师大附中)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
[答案] A
[解析] a在b方向上的投影为
==-4.
(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b=4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1,则a与b的夹角等于( )
A. B.
C. D.或
[答案] B
[解析] 由条件知,=2,=1,a·b=4,
∴|a|=4,|b|=2,
∴cos〈a,b〉===,
∴〈a,b〉=.
2.(文)(2010·云南省统考)设e1,e2是相互垂直的单位向量,并且向量a=3e1+2e2,b=xe1+3e2,如果a⊥b,那么实数x等于( )
A.- B.
C.-2 D.2
[答案] C
[解析] 由条件知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
∴a·b=3x+6=0,∴x=-2.
(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=ta+b,n=a-kb(t、k∈R),则m⊥n的充要条件是( )
A.t+k=1 B.t-k=1
C.t·k=1 D.t-k=0
[答案] D
[解析] m=ta+b=(2t-1,t+2),n=a-kb=(2+k,1-2k),∵m⊥n,∴m·n=(2t-1)(2+k)+(t+2)(1-2k)=5t-5k=0,∴t-k=0.
3.(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于( )
A.-16 B.-8
C.8 D.16
[答案] D
[解析] 因为∠C=90°,所以·=0,所以·=(+)·=||2+·=AC2=16.
(理)(2010·天津文)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·=( )
A.2 B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵=+=+,
∴·=(+)·=·+·,
又∵AB⊥AD,∴·=0,
∴·=·=||·||·cos∠ADB
=||·cos∠ADB=·||=.
4.(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
[答案] B
[解析] ∵a+b=c,|a|=|b|=|c|≠0,
∴|a+b|2=|c|2=|a|2,∴|b|2+2a·b=0,
∴|b|2+2|a|·|b|·cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-,
∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=120°.
5.(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上,点O不在直线AB上,且存在实数t满足=2t+t,则=( )
A. B.
C.2 D.3
[答案] B
[解析] ∵=2t(-)+t,
∴=+,
∵P在直线AB上,∴+=1,∴t=1,
∴=+,
∴=-=-,
=-=-=-2,
∴=.
6.(文)平面上的向量、满足||2+||2=4,且·=0,若向量=+,则||的最大值是( )
A. B.1
C.2 D.
[答案] D
[解析] ∵·=0,∴⊥,又∵||2+||2=4,
∴|AB|=2,且M在以AB为直径的圆上,如图建立平面直角坐标系,则点A(-1,0),点B(1,0),设点M(x,y),则x2+y2=1,
=(-1-x,-y),=(1-x,-y),
∵=+=,
∴||2=2+y2=-x,
∵-1≤x≤1,∴x=-1时,||2取得最大值为,
∴||的最大值是.
(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点,则·的最大值为( )
A.8 B.6
C.5 D.4
[答案] B
[解析] 建立直角坐标系如图,∵正方形ABCD边长为2,
∴A(0,0),N(2,-1),=(2,-1),设M坐标为(x,y),=(x,y)由坐标系可知
∵·=2x-y,设2x-y=z,
易知,当x=2,y=-2时,z取最大值6,
∴·的最大值为6,故选B.
7.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=,则·等于( )
A. B.
C.2 D.3
[答案] B
[解析] ·=·(-)=·-·,因为OA=OB.所以在上的投影为||,所以·=||·||=2,同理·=||·||=,故·=-2=.
8.(文)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,a·(b-a)=-1,则向量a与向量b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 根据向量夹角公式“cos〈a,b〉=求解”.
由条件得a·b-a2=-1,即a·b=-3,设向量a,b的夹角为α,则cosα===,所以α=.
(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中,·∈,其面积S=,则与夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设〈,〉=α,∵·=||·||cosα,S=||·||·sin(π-α)=||·||·sinα=,∴||·||=,
∴·==cotα,
由条件知≤cotα≤,∴1≤cotα≤,
∵·>0,∴α为锐角,∴≤α≤.
9.(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x2=4y的顶点,过点D(0,4)的直线l交抛物线x2=4y于B、C两点,那么·等于( )
A. B.0
C.-3 D.-
[答案] B
[解析] 由题意知A(0,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),直线l:y=kx+4,
由消去y得,x2-4kx-16=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-16,
∴y1·y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=-16k2+16k2+16=16,
∴·=x1x2+y1y2=0.
(理)(2010·南昌市模考)如图,BC是单位圆A的一条直径,F是线段AB上的点,且=2,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则·的值是( )
A.- B.-
C.- D.不确定
[答案] B
[解析] ∵=2,∴=,
∴||=||=,
·=(+)·(+)
=(+)·(-)
=||2-||2=-1=-.
10.(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点,A(1,1),若点B(x,y)满足,则·取得最小值时,点
B的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.无数个
[答案] B
[解析] ∵x2+y2-2x-2y+1=0,
即(x-1)2+(y-1)2=1.
∴可行域为图中阴影部分,
∵·=||·||·cos〈,〉,又||为定值,∴当·cos〈,〉取最小值时,·取最小值,∵y=cosx在上为减函数,∴由图可知,当点B在E、F位置时,∠AOB最大,||最小,从而·取最小值,故选B.
[点评] 可用数量积的坐标表示求解,设B(x,y),令·=x+y=t,则y=-x+t,当直线y=-x+t过B1、B2两点时,t最小,即tmin=3.∴当·取得最小值时,点B的个数为2.
二、填空题
11.(2010·苏北四市)如图,在平面四边形ABCD中,若AC=3,BD=2,则(+)·(+)=______.
[答案] 5
[解析] 设AC与BD相交于点O,则
(+)·(+)
=[(-)+(-)]·(+)
=[(-)+(-)]·(+)
=(+)(+)=||2-||2=5.
12.(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点,设P为线段AB垂直平分线上任意一点,若||=7,||=5,则·(-)的值为________.
[答案] 12
[解析] =+,=+,
由条件知,||2=49,||2=25,||=||,
∴|+|2=|+|2,
即||2+||2+2·=||2+||2+2·,∴·(-)=-12,
∴·(-)=12.
(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点,A、B、C是平面α上不共线的三点,平面α内的动点P满足=+λ(+),则λ=时,·(+)的值为______.
[答案] 0
[解析] 由已知得-=λ(+),
即=λ(+),
当λ=时,得=(+),
∴2=+,即-=-,
∴=,∴+=+=0,
∴·(+)=·0=0,故填0.
13.(2010·安徽巢湖市质检)已知A1,A2分别是椭圆+=1的左、右顶点,P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点,则·=________.
[答案] -20
[解析] 由条件知A1(-5,0),A2(5,0),F(-3,0),设P(-3,y0),则=(10,0),=(-2,-y0),
∴·=-20.
14.(2010·福建厦门质检)已知向量an=(cos,sin)(n∈N*),|b|=1.则函数y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+…+|a141+b|2的最大值为________.
[答案] 284
[解析] ∵|b|=1,∴设b=(cosθ,sinθ),
∵an2=cos2+sin2=1(n∈N),
an·b=coscosθ+sinsinθ,
∴y=|a1+b|2+|a2+b|2+…+|a141+b|2
=(|a1|2+|a2|2+…+|a141|2)+141|b|2+2(a1·b+a2·b+…+an·b)
=282+2cosθcos+cos+…+cos+2sinθ
=282+2cosθcos+2sinθsin
=282+2cos≤284.
三、解答题
15.(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=,f(C)=0,若向量m
=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,求a,b的值.
[解析] (1)因为f(x)=sin2x--
=sin(2x-)-1,
所以f(x)的最小值是-2,最小正周期是T==π.
(2)由题意得f(C)=sin(2C-)-1=0,
则sin(2C-)=1,
∵0
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