全国高考文科数学试题及答案汇总 76页

2018 年全国高考文科数学试题及答案汇总 目 录 全国卷一 ----------------------- 2 全国卷二 -----------------------12 全国卷三 -----------------------20 北京卷 -------------------------29 天津卷 -------------------------40 江苏卷 -------------------------49 浙江卷 -------------------------64 2018 年高考全国卷一文科数学试题及答案 （试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．设 ，则 A．0 B． C． D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为 { }0 2A = ， { }2 1 0 1 2B = − −， ， ， ， A B = { }0 2， { }1 2， { }0 { }2 1 0 1 2− −， ， ， ， 1 i 2i1 iz −= ++ z = 1 2 1 2 C 2 2 2 14 x y a + = (2 0)， C A． B． C． D． 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 6．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程 为 A． B． C． D． 7．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 8．已知函数 ，则 A． 的最小正周期为 π，最大值为 3 B． 的最小正周期为 π，最大值为 4 C． 的最小正周期为 ，最大值为 3 D． 的最小正周期为 ，最大值为 4 9．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最 短路径的长度为 A． B． C． D．2 10．在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长 1 3 1 2 2 2 2 2 3 1O 2O 1 2O O 12 2π 12π 8 2π 10π ( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0， 2y x= − y x= − 2y x= y x= ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4AB AC−  1 3 4 4AB AC−  3 1 4 4AB AC+  1 3 4 4AB AC+  ( ) 2 22cos sin 2f x x x= − + ( )f x ( )f x ( )f x 2π ( )f x 2π M A N B M N 2 17 2 5 3 1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB BC= = 1AC 1 1BB C C 30° 方体的体积为 A． B． C． D． 11．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则 A． B． C． D． 12．设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知函数 ，若 ，则 ________． 14．若 满足约束条件 ，则 的最大值为________． 15．直线 与圆 交于 两点，则 ________． 16 ． △ 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知 ， ，则△ 的面积为________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 已知数列 满足 ， ，设 ． （1）求 ； （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （3）求 的通项公式 18．（12 分） 如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将△ 折起， 8 6 2 8 2 8 3 α x ( )1A a， ( )2B b， 2cos2 3 α = a b− = 1 5 5 5 2 5 5 1 ( ) 2 0 1 0 x xf x x −=  > ， ≤ ， ( ) ( )1 2f x f x+ < ( ]1−∞ −， ( )0 + ∞， ( )1 0− ， ( )0−∞， ( ) ( )2 2logf x x a= + ( )3 1f = a = x y， 2 2 0 1 0 0 x y x y y − −  − +  ≤ ≥ ≤ 3 2z x y= + 1y x= + 2 2 2 3 0x y y+ + − = A B， AB = ABC A B C， ， a b c， ， sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC { }na 1 1a = ( )1 2 1n nna n a+ = + n n ab n = 1 2 3b b b， ， { }nb { }na ABCM 3AB AC= = 90ACM = °∠ AC ACM 使点 到达点 的位置，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体 积． 19．（12 分） 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日 用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图： M D AB DA⊥ ACD⊥ ABC Q AD P BC 2 3BP DQ DA= = Q ABP− [ )0 0.1， [ )0.1 0.2， [ )0.2 0.3， [ )0.3 0.4， [ )0.4 0.5， [ )0.5 0.6， [ )0.6 0.7， [ )0 0.1， [ )0.1 0.2， [ )0.2 0.3， [ )0.3 0.4， [ )0.4 0.5， [ )0.5 0.6， （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据 以这组数据所在区间中点的值作代表．） 20．（12 分） 设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线 与 交于 ， 两点． （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）证明： ． 21．（12 分） 已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． 2 2C y x=： ( )2 0A ， ( )2 0B − ， A l C M N l x BM ABM ABN=∠ ∠ ( ) e ln 1xf x a x= − − 2x = ( )f x a ( )f x 1 ea≥ ( ) 0f x ≥ xOy 1C 2y k x= + x 2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = （1）求 的直角坐标方程； （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围． 2C 1C 2C 1C ( ) 1 1f x x ax= + − − 1a = ( ) 1f x > ( )0 1x∈ ， ( )f x x> a 参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题 13．-7 14．6 15． 16． 三、解答题 17．解：（1）由条件可得 an+1= ． 将 n=1 代入得，a2=4a1，而 a1=1，所以，a2=4． 将 n=2 代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 从而 b1=1，b2=2，b3=4． （2）{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． 由条件可得 ，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． （3）由（2）可得 ，所以 an=n·2n-1． 18．解：（1）由已知可得， =90°， ． 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD． 又 AB 平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= ． 又 ，所以 ． 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 ． 由已知及（1）可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE=1． 2 2 2 3 3 2( 1) n n an + 1 2 1 n na a n n + =+ 12nna n −= BAC∠ BA AC⊥ ⊂ 3 2 2 3BP DQ DA= = 2 2BP = QE = 1 3 DC 因此，三棱锥 的体积为 ． 19．解：（1） （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48． （3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 ． 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水 ． 20．解：（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线 BM 的方程为 y= 或 ． （2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN． 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ，M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1>0， x2>0． Q ABP− 1 1 11 3 2 2 sin 45 13 3 2Q ABP ABPV QE S− = × × = × × × × ° =△ 1 1 (0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0.4850x = × + × + × + × + × + × + × = 2 1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.3550x = × + × + × + × + × + × = 3(0.48 0.35) 365 47.45(m )− × = 1 12 x + 1 12y x= − − ( 2)( 0)y k x k= − ≠ 由 得 ky2–2y–4k=0，可知 y1+y2= ，y1y2=–4． 直线 BM，BN 的斜率之和为 ．① 将 ， 及 y1+y2，y1y2 的表达式代入①式分子，可得 ． 所以 kBM+kBN=0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN． 综上，∠ABM=∠ABN． 21．解：（1）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=aex– ． 由题设知，f ′（2）=0，所以 a= ． 从而 f（x）= ，f ′（x）= ． 当 02 时，f ′（x）>0． 所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当 a≥ 时，f（x）≥ ． 设 g（x）= ，则 当 01 时，g′（x）>0．所以 x=1 是 g（x）的最小值点． 故当 x>0 时，g（x）≥g（1）=0． 因此，当 时， ． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的 射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共 点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 2 ( 2) 2 y k x y x = −  = ， 2 k 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2 2 ( 2)( 2)BM BN y y x y x y y yk k x x x x + + ++ = + =+ + + + 1 1 2yx k = + 2 2 2yx k = + 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 4 ( ) 8 82( ) 0y y k y yx y x y y y k k + + − ++ + + = = = (0 )+ ∞， 1 x 2 1 2e 2 1 e ln 12e x x− − 2 1 1e2e x x − 1 e e ln 1e x x− − e ln 1e x x− − e 1( ) e x g x x ′ = − ． 1 ea ≥ ( ) 0f x ≥ cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两 个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 解：（1）当 时， ，即 故不等式 的解集为 ． （2）当 时 成立等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 ． 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k − + = + 4 3k = − 0k = 0k = 1l 2C 4 3k = − 1l 2C 2l 2C 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k + = + 0k = 4 3k = 0k = 1l 2C 4 3k = 2l 2C 1C 4 | | 23y x= − + 1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= + − − 2, 1, ( ) 2 , 1 1, 2, 1. x f x x x x − ≤ − = − < <  ≥ ( ) 1f x > 1{ | }2x x > (0,1)x∈ | 1| | 1|x ax x+ − − > (0,1)x∈ | 1| 1ax − < 0a ≤ (0,1)x∈ | 1| 1ax − ≥ 0a > | 1| 1ax − < 20 x a < < 2 1a ≥ 0 2a< ≤ a (0,2] 2018 年高考全国卷二文科数学试题及答案 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1． A． B． C． D． 2．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 3．函数 的图像大致为 4．已知向量 ， 满足 ， ，则 A．4 B．3 C．2 D．0 5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为 A． B． C． D． 6．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 ( )i 2 3i+ = 3 2i− 3 2i+ 3 2i− − 3 2i− + { }1,3,5,7A = { }2,3,4,5B = A B = { }3 { }5 { }3,5 { }1,2,3,4,5,7 ( ) 2 e ex x f x x −−= a b | | 1=a 1⋅ = −a b (2 )⋅ − =a a b 0.6 0.5 0.4 0.3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 A． B． C． D． 7．在 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 8．为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 9．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A． B． C． D． 10．若 在 是减函数，则 的最大值是 A． B． C． D． 11．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的 离心率为 A． B． C． D． 12．已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 A． B．0 C．2 D．50 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 在点 处的切线方程为__________． 2y x= ± 3y x= ± 2 2y x= ± 3 2y x= ± ABC△ 5cos 2 5 C = 1BC = 5AC = AB = 4 2 30 29 2 5 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + − 开始 0, 0N T= = S N T= − S输出 1i = 100i < 1N N i = + 1 1T T i = + + 结束 是 否 1i i= + 2i i= + 3i i= + 4i i= + 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC AE CD 2 2 3 2 5 2 7 2 ( ) cos sinf x x x= − [0, ]a a π 4 π 2 3π 4 π 1F 2F C P C 1 2PF PF⊥ 2 1 60PF F∠ = ° C 31 2 − 2 3− 3 1 2 − 3 1− ( )f x ( , )−∞ +∞ (1 ) (1 )f x f x− = + (1) 2f = (1) (2) (3)f f f+ + (50)f+ + = 50− 2lny x= (1, 0) 14．若 满足约束条件 则 的最大值为__________． 15．已知 ，则 __________． 16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积 为 ，则该圆锥的体积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考 生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 18．（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根 据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ； 根 据 2010 年 至 2016 年 的 数 据 （ 时 间 变 量 的 值 依 次 为 ） 建 立 模 型 ② ： ． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； ,x y 2 5 0, 2 3 0, 5 0, x y x y x + −  − +  − ≥ ≥ ≤ z x y= + 5π 1tan( )4 5α − = tanα = S SA SB SA 30° SAB△ 8 nS { }na n 1 7a = − 3 15S = − { }na nS nS y y t t 1, 2, ,17 ˆ 30.4 13.5y t= − + t 1, 2, , 7 ˆ 99 17.5y t= + （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12 分） 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离． 20．（12 分） 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ． （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 21．（12 分） 已知函数 ． （1）若 ，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC PO ⊥ ABC M BC 2MC MB= C POM 2 4C y x=： F F ( 0)k k > l C A B | | 8AB = l A B C ( ) ( )3 21 13f x x a x x= − + + 3a = ( )f x ( )f x xOy C 2cos , 4sin x θ y θ =  = θ l 1 cos , 2 sin x t α y t α = +  = + t C l C l (1, 2) l ( ) 5 | | | 2|f x x a x= − + − − 1a = ( ) 0f x ≥ （2）若 ，求 的取值范围．( ) 1f x ≤ a 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C 二、填空题 13．y=2x–2 14．9 15． 16．8π 三、解答题 17．解： （1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15． 由 a1=–7 得 d=2． 所以{an}的通项公式为 an=2n–9． （2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16． 18．解： （1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ i ） 从 折 线 图 可 以 看 出 ， 2000 年 至 2016 年 的 数 据 对 应 的 点 没 有 随 机 散 布 在 直 线 y=–30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述 环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额 的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较 好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得 到的预测值更可靠． 3 2 y y y 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ． 连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2． 由 知，OP⊥OB． 由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC． （2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离． 由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°． 所以 OM= ，CH= = ． 所以点 C 到平面 POM 的距离为 ． 20．解： （1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x–1）（k>0）． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由 得 ． ，故 ． 所以 ． 由题设知 ，解得 k=–1（舍去），k=1． 因此 l 的方程为 y=x–1． 2 3 2 2 AC 1 2 AC 2 2 2OP OB PB+ = 1 2 AC 2 3 BC 4 2 3 2 5 3 sinOC MC ACB OM ⋅ ⋅ ∠ 4 5 5 4 5 5 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + = 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = 2 1 2 2 4 4( 1) ( 1) kAB AF BF x x k += + = + + + = 2 2 4 4 8k k + = （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 ． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 ． 21．解： （1）当 a=3 时，f（x）= ，f ′（x）= ． 令 f ′（x）=0 解得 x= 或 x= ． 当 x∈（–∞， ）∪（ ，+∞）时，f ′（x）>0； 当 x∈（ ， ）时，f ′（x）<0． 故 f（x）在（–∞， ），（ ，+∞）单调递增，在（ ， ）单调递 减． （2）由于 ，所以 等价于 ． 设 = ，则 g ′（x）= ≥0，仅当 x=0 时 g ′（x）=0，所以 g （x）在（–∞，+∞）单调递增．故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点． 又 f（3a–1）= ，f（3a+1）= ，故 f（x）有一个零点． 综上，f（x）只有一个零点． 22．解： （1）曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 ． （2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − + 0 0 2 2 0 0 0 5 ( 1)( 1) 16.2 y x y xx = − + − ++ = + ， 0 0 3 2 x y =  = ， 0 0 11 6. x y =  = − ， 2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + = 3 21 3 3 33 x x x− − − 2 6 3x x− − 3 2 3− 3 2 3+ 3 2 3− 3 2 3+ 3 2 3− 3 2 3+ 3 2 3− 3 2 3+ 3 2 3− 3 2 3+ 2 1 0x x+ + > ( ) 0f x = 3 2 3 01 x ax x − =+ + ( )g x 3 2 31 x ax x −+ + 2 2 2 2 ( 2 3) ( 1) x x x x x + + + + 2 21 1 16 2 6( ) 03 6 6a a a− + − = − − − < 1 03 > C 2 2 14 16 x y+ = cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + − cos 0α = l 1x = l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t tα α α+ + + − = 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 ． 23．解： （1）当 时， 可得 的解集为 ． （2） 等价于 ． 而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ． 由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ． C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0t t+ = 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cost t α α α ++ = − + 2cos sin 0α α+ = l tan 2k α= = − 1a = 2 4, 1, ( ) 2, 1 2, 2 6, 2. x x f x x x x + ≤ − = − < ≤ − + > ( ) 0f x ≥ { | 2 3}x x− ≤ ≤ ( ) 1f x ≤ | | | 2 | 4x a x+ + − ≥ | | | 2 | | 2 |x a x a+ + − ≥ + 2x = ( ) 1f x ≤ | 2 | 4a + ≥ | 2 | 4a + ≥ 6a ≤ − 2a ≥ a ( , 6] [2, )−∞ − +∞ 2018 年高考全国卷三文科数学试题及答案 （试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题 目要求的.） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件 右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带 卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 4．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15， 则不用现金支付的概率为（ ） { }| 1 0A x x= − ≥ { }0 1 2B = ， ， A B = { }0 { }1 { }1 2， { }0 1 2， ， ( )( )1 2i i+ − = 3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+ 1sin 3 α = cos2α = 8 9 7 9 7 9 − 8 9 − A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 7．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ） A． B． C． D． 8．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．函数 的图像大致为（ ） 10．已知双曲线 （ ）的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为 （ ） A． B． C． D． 11． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为 ，则 （ ） ( ) 2 tan 1 tan xf x x = + 4 π 2 π π 2π lny x= 1x = ( )ln 1y x= − ( )ln 2y x= − ( )ln 1y x= + ( )ln 2y x= + 2 0x y+ + = x y A B P ( )2 22 2x y− + = ABP∆ [ ]2 6， [ ]4 8， 2 3 2  ， 2 2 3 2  ， 4 2 2y x x= − + + 2 2 2 2 1x yC a b − =： 0 0a b> >， 2 ( )4 0， C 2 2 3 2 2 2 2 ABC∆ A B C a b c ABC∆ 2 2 2 4 a b c+ − C = A． B． C． D． 12．设 ， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ， 则三棱锥 体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________． 14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公 司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适 的抽样方法是________． 15．若变量 满足约束条件 则 的最大值是________． 16．已知函数 ， ，则 ________． 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~31 题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 等比数列 中， ． ⑴求 的通项公式； ⑵记 为 的前 项和．若 ，求 ． 18．（12 分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产 方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一 组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间 （单位：min）绘制了如下茎叶图： 2 π 3 π 4 π 6 π A B C D ABC∆ 9 3 D ABC− 12 3 18 3 24 3 54 3 ( )= 1,2a ( )= 2, 2−b ( )= 1, λc ( )2∥c a + b λ = x y， 2 3 0 2 4 0 2 0. x y x y x + +  − +  − ≥ ， ≥ ， ≤ 1 3z x y= + ( ) ( )2ln 1 1f x x x= − − + ( ) 4f a = ( )f a− = { }na 1 5 31 4a a a= =， { }na nS { }na n 63mS = m ⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； ⑵求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产 方式 第二种生产 方式 ⑶根据⑵中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： ， ． 19．（12 分） 如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的 点． ⑴证明：平面 平面 ； ⑵在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由． 20．（12 分） 已 知 斜 率 为 的 直 线 与 椭 圆 交 于 ， 两 点 ． 线 段 的 中 点 为 ． ⑴证明： ； m m m m m ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 P K k k ≥ ABCD M C D AMD⊥ BMC AM P MC ∥ PBD k l 2 2 14 3 x yC + =： A B AB ( )( )1 0M m m >， 1 2k < − ⑵设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明: ． 21．（12 分） 已知函数 ． ⑴求由线 在点 处的切线方程； ⑵证明：当 时， ． （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾 斜角为 的直线 与 交于 两点． ⑴求 的取值范围； ⑵求 中点 的轨迹的参数方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 设函数 ． ⑴画出 的图像； ⑵当 ， ，求 的最小值． F C P C 0FP FA FB+ + =   2 FP FA FB= +   ( ) 2 1 x ax xf x e + −= ( )y f x= ( )0 1−， 1a≥ ( ) 0f x e+ ≥ xOy O⊙ cos sin x y θ θ =  = θ ( )0 2−， α l O⊙ A B， α AB P ( ) 2 1 1f x x x= + + − ( )y f x= [ )0x + ∞∈ ， ( )f x ax b+≤ a b+ 文科数学试题参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B 二、填空题 13 ． 14．分层抽样 15．3 16． 三、解答题[来源:学科网 ZXXK] 17．（12 分） 解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ． 由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ． 故 或 ． （2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数 解． 若 ，则 ．由 得 ，解得 ． 综上， ． 18．（12 分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间 至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分 钟．因此第二种生产方式的效率更高． （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的 中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟．因此第二种生产 方式的效率更高． （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率 更高． （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的 1 2 2− { }na q 1n na q −= 4 24q q= 0q = 2q = − 2q = 1( 2)n na −= − 12n na −= 1( 2)n na −= − 1 ( 2) 3 n nS − −= 63mS = ( 2) 188m− = − 12n na −= 2 1n nS = − 63mS = 2 64m = 6m = 6m = 最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的 区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生 产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高． 以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知 ． 列联表如下： 超过 不超过 第一种生产 方式 15 5 第二种生产 方式 5 15 （3）由于 ，所以有 99%的 把握认为两种生产方式的 效率有差异． 19．（12 分） 解：（1）由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD． 因为 BC⊥CD，BC 平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM． 因为 M 为 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥C M． 又 BC∩CM=C，所以 DM⊥平面 BMC． 而 DM 平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC． （2）当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD． 证明如下：连结 AC 交 BD 于 O．因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点． 连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC∥OP．[来源:学科网] MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD． 79 81 802m += = m m 2 2 40(15 15 5 5) 10 6.63520 20 20 20K × − ×= = >× × × ⊂ CD ⊂ ⊄ ⊂ 20．（12 分） 解：（1）设 ， ，则 ， ． 两式相减，并由 得 ． 由题设知 ， ，于是 ．[来源:学科网 ZXXK] 由题设得 ，故 ． （2）由题意得 F（1，0）．设 ，则 ． 由（1）及题设得 ， ． 又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， ． 于是 ． 同理 ． 所以 ． 故 ． 21．（12 分） 解：（1） ， ． 因此曲线 在点 处的切线方程是 ． （2）当 时， ． 令 ，则 ． 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 所以 ．因此 ． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 解：（1） 的直角坐标方程为 ． 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 2 2 1 1 14 3 x y+ = 2 2 2 2 14 3 x y+ = 1 2 1 2 =y y kx x − − 1 2 1 2 04 3 x x y y k + ++ ⋅ = 1 2 12 x x+ = 1 2 2 y y m + = 3 4k m = − 30 2m< < 1 2k < − 3 3( )P x y， 3 3 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (0 0)x y x y x y− + − + − =， ， ， ， 3 1 23 ( ) 1x x x= − + = 3 1 2( ) 2 0y y y m= − + = − < 3 4m = 3(1 )2P −， 3| |= 2FP 2 2 2 2 1 1 1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2 x xFA x y x= − + = − + − = − 2| |=2 2 xFB − 1 2 14 ( ) 32FA FB x x+ = − + =  2| |=| |+| |FP FA FB   2 (2 1) 2( ) ex ax a xf x − + − +′ = (0) 2f ′ = ( )y f x= (0, 1)− 2 1 0x y− − = 1a ≥ 2 1( ) e ( 1 e )ex xf x x x + −+ ≥ + − + 2 1( ) 1 exg x x x +≥ + − + 1( ) 2 1 exg x x +′ ≥ + + 1x < − ( ) 0g x′ < ( )g x 1x > − ( ) 0g x′ > ( )g x ( )g x ( 1)=0g≥ − ( ) e 0f x + ≥ O 2 2 1x y+ = 当 时， 与 交于两点． 当 时 ， 记 ， 则 的 方 程 为 ． 与 交 于 两 点 当 且 仅 当 ，解得 或 ，即 或 ． 综上， 的取值范围是 ． （2） 的参数方程为 为参数， ． 设 ， ， 对 应 的 参 数 分 别 为 ， ， ， 则 ， 且 ， 满 足 ． 于是 ， ．又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 解：（1） 的图像如图所示． 2 α π= l O 2 α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O 2 2| | 1 1 k < + 1k < − 1k > ( , )4 2 α π π∈ ( , )2 4 α π 3π∈ α ( , )4 4 π 3π l cos , ( 2 sin x t t y t α α = = − + 4 4 απ 3π< < ) A B P At Bt Pt 2 A B P t tt += At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + = 2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y cos , 2 sin . P P x t y t α α = = − + P 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y α α  =  = − − (α 4 4 απ 3π< < ) 13 , ,2 1( ) 2, 1,2 3 , 1. x x f x x x x x − < − = + − ≤ <  ≥  ( )y f x= （2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的 最大值为 ，故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为 ． 北京市 2018 年高考文科数学试题及答案 （试卷满分 150 分，考试时长 120 分钟） 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。 （1）已知集合 A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则 （A）{0,1} （B）{−1,0,1} （C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2} （2）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 A B = ( )y f x= y 2 3 3a ≥ 2b ≥ ( )f x ax b≤ + [0, )+∞ a b+ 5 1 1 i− （A） （B） （C） （D） （4）设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的 发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第 二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频 率为 f，则第八个单音的频率为 （A） （B） （C） （D） （6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （7）在平面直角坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），点 P 在其中一段 上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边，若 ，则 P 所在的圆弧是α tan cos sinα α α< < 1 2 5 6 7 6 7 12 12 2 3 2 f 3 22 f 12 52 f 12 72 f 2 2 1x y+ = （A） （B） （C） （D） （8）设集合 则 （A）对任意实数 a， （B）对任意实数 a，（2,1） （C）当且仅当 a<0 时,（2,1） （D）当且仅当 时,（2,1） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）设向量 a=（1,0），b=（−1,m）,若 ，则 m=_________. （10）已知直线 l 过点（1,0）且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 截得的线段长为 4，则抛物线 的焦点坐标为_________. （11）能说明“若 a﹥b，则 ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_________. （12）若双曲线 的离心率为 ，则 a=_________. （13）若 x,y 满足 ，则 2y−x 的最小值是_________. （14）若 的面积为 ,且∠C 为钝角，则∠B=_________； 的取值范围是 _________. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 设 是等差数列，且 . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 . （16）（本小题 13 分） 已知函数 . （Ⅰ）求 的最小正周期； 2 4y ax= 1 2x y x+ ≤ ≤ AB CD EF GH {( , ) | 1, 4, 2},A x y x y ax y x ay= − ≥ + > − ≤ (2,1) A∈ A∉ A∉ 3 2a ≤ A∉ ( )m⊥ −a a b 1 1 a b < 2 2 2 1( 0)4 x y aa − = > 5 2 ABC△ 2 2 23 ( )4 a c b+ − c a { }na 1 2 3ln 2, 5ln 2a a a= + = { }na 1 2e e e naa a+ + + 2( ) sin 3sin cosf x x x x= + ( )f x （Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值. （17）（本小题 13 分） 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化. 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的 好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写 出结论） （18）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD， PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD. （19）（本小题 13 分） 设函数 . （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 a； （Ⅱ）若 在 处取得极小值，求 a 的取值范围. ( )f x [ , ]3 m π− 3 2 m 2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + + ( )y f x= (2, (2))f ( )f x 1x = （20）（本小题 14 分） 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B. （Ⅰ）求椭圆 M 的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C,D 和点 共线，求 k. 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 6 3 2 2 1k = | |AB ( 2,0)P − 7 1( , )4 4Q − 参考答案 一、选择题 （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D 二、填空题 （9） （10） （11） （答案不唯一） （12）4 （13）3 （14） 三、解答题 15．（共 13 分） 解：（I）设等差数列 的公差为 ， ∵ ， ∴ ， 又 ，∴ . ∴ . （II）由（I）知 ， ∵ ， ∴ 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. ∴ . ∴ . 1− (1,0) 1 1− 60 (2, )° +∞ { }na d 2 3 5ln 2a a+ = 12 3 5ln 2a d+ = 1 ln 2a = ln 2d = 1 ( 1) ln 2na a n d n= + − = ln 2na n= ln2 ln2e e e =2n na n n= = {e }na 2 1 2 ln2 ln2 ln2e e e e e e n naa a+ + + = + + +  2=2 2 2n+ + + 1=2 2n+ − 1 2e e e naa a+ + + 1=2 2n+ − 16.（共 13 分） 解：（Ⅰ） ， 所以 的最小正周期为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 . 因为 ，所以 . 要使得 在 上的最大值为 ，即 在 上的最大值为 1. 所以 ，即 . 所以 的最小值为 . 17.（共 13 分） （Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50， 故所求概率为 . （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故所求概率估计为 . 方法二：设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B. 没有获得好评的电影共有 140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部. 由古典概型概率公式得 . （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 18.（共 14 分） 【解析】（Ⅰ）∵ ，且 为 的中点，∴ . ∵底面 为矩形，∴ ， ∴ . （Ⅱ）∵底面 为矩形，∴ . 1 cos2 3 3 1 1 π 1( ) sin 2 sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 2 6 2 xf x x x x x −= + = − + = − + ( )f x 2π π2T = = π 1( ) sin(2 )6 2f x x= − + π[ , ]3x m∈ − π 5π π2 [ ,2 ]6 6 6x m− ∈ − − ( )f x π[ , ]3 m− 3 2 πsin(2 )6x − π[ , ]3 m− π π2 6 2m − ≥ π 3m ≥ m π 3 50 0.0252000 = 3721 0.8142000 − = 1628 0.8142) 00( 0P B = = PA PD= E AD PE AD⊥ ABCD BC AD∥ PE BC⊥ ABCD AB AD⊥ ∵平面 平面 ，∴ 平面 . ∴ .又 ， ∴ 平面 ，∴平面 平面 . （Ⅲ）如图，取 中点 ，连接 . ∵ 分别为 和 的中点，∴ ，且 . ∵四边形 为矩形，且 为 的中点， ∴ ， ∴ ，且 ，∴四边形 为平行四边形， ∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 19. （13 分） 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 . ， 由题设知 ，即 ，解得 . （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得 . 若 a>1，则当 时， ； 当 时， . 所以 在 x=1 处取得极小值. PAD ⊥ ABCD AB ⊥ PAD AB PD⊥ PA PD⊥ PD ⊥ PAB PAB ⊥ PCD PC G ,FG GD ,F G PB PC FG BC∥ 1 2FG BC= ABCD E AD 1, 2ED BC DE BC=∥ ED FG∥ ED FG= EFGD EF GD∥ EF ⊄ PCD GD ⊂ PCD EF∥ PCD 2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + + 2( ) [ ( 1) 1]exf x ax a x′ = − + + 2(2) (2 1)ef a′ = − (2) 0f ′ = 2(2 1)e 0a − = 1 2a = 2( ) [ ( 1) 1]e ( 1)( 1)ex xf x ax a x ax x′ = − + + = − − 1( ,1)x a ∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 若 ，则当 时， ， 所以 . 所以 1 不是 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是 . 方法二： . （1）当 a=0 时，令 得 x=1. 随 x 的变化情况如下表： x 1 + 0 − ↗ 极大值 ↘ ∴ 在 x=1 处取得极大值，不合题意. （2）当 a>0 时，令 得 . ①当 ，即 a=1 时， ， ∴ 在 上单调递增， ∴ 无极值，不合题意. ②当 ，即 01 时， 随 x 的变化情况如下表： x 1a ≤ (0,1)x∈ 1 1 0ax x− ≤ − < ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞ ( ) ( 1)( 1)exf x ax x′ = − − ( ) 0f x′ = ( ), ( )f x f x′ ( ,1)−∞ (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x ( ) 0f x′ = 1 2 1 , 1ax x= = 1 2x x= 2( ) ( 1) e 0xf x x′ = − ≥ ( )f x R ( )f x 1 2x x> ( ), ( )f x f x′ ( ,1)−∞ 1(1, )a 1 a 1( , )a +∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1 2x x< ( ), ( )f x f x′ 1( , )a −∞ 1 a 1( ,1)a 1 (1, )+∞ + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ 在 x=1 处取得极小值，即 a>1 满足题意. （3）当 a<0 时，令 得 . 随 x 的变化情况如下表： x − 0 + 0 − ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴ 在 x=1 处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为 . 20．（共 14 分） 【解析】（Ⅰ）由题意得 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）设直线 的方程为 ， 由 消去 可得 ， 则 ，即 ， 设 ， ，则 ， ， 则 ， ( )f x′ ( )f x ( )f x ( ) 0f x′ = 1 2 1 , 1ax x= = ( ), ( )f x f x′ 1( , )a −∞ 1 a 1( ,1)a 1 (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x (1, )+∞ 2 2 2c = 2c = 6 3 ce a = = 3a = 2 2 2 1b a c= − = M 2 2 13 x y+ = AB y x m= + 2 2 13 y x m x y = + + = y 2 24 6 3 3 0x mx m+ + − = 2 2 236 4 4(3 3) 48 12 0m m m∆ = − × − = − > 2 4m < 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 3 2 mx x+ = − 2 1 2 3 3 4 mx x −= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 6 4| | 1 | | 1 ( ) 4 2 mAB k x x k x x x x × −= + − = + ⋅ + − = 易得当 时， ，故 的最大值为 ． （Ⅲ）设 ， ， ， ， 则 ①， ②， 又 ，所以可设 ，直线 的方程为 ， 由 消去 可得 ， 则 ，即 ， 又 ，代入①式可得 ，所以 ， 所以 ，同理可得 ． 故 ， ， 因为 三点共线，所以 ， 将点 的坐标代入化简可得 ，即 ． 2 0m = max| | 6AB = | |AB 6 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y 2 2 1 13 3x y+ = 2 2 2 23 3x y+ = ( 2,0)P − 1 1 1 2PA yk k x = = + PA 1( 2)y k x= + 1 2 2 ( 2) 13 y k x x y = + + = y 2 2 2 2 1 1 1(1 3 ) 12 12 3 0k x k x k+ + + − = 2 1 1 3 2 1 12 1 3 kx x k + = − + 2 1 3 12 1 12 1 3 kx xk = − −+ 1 1 1 2 yk x = + 1 3 1 7 12 4 7 xx x − −= + 1 3 14 7 yy x = + 1 1 1 1 7 12( , )4 7 4 7 x yC x x − − + + 2 2 2 2 7 12( , )4 7 4 7 x yD x x − − + + 3 3 7 1( , )4 4QC x y= + − 4 4 7 1( , )4 4QD x y= + − , ,Q C D 3 4 4 3 7 1 7 1( )( ) ( )( ) 04 4 4 4x y x y+ − − + − = ,C D 1 2 1 2 1y y x x − =− 1k = 天津市 2018 年高考文科数学试题及答案 （试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟） 第Ⅰ卷 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） （2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 （A）6 （B）19 （C）21 （D）45 （3）设 ，则“ ”是“ ” 的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 20，则输出 的值为 （A）1 （B）2 1 3V Sh= S {1,2,3,4}A = { 1,0,2,3}B = − { | 1 2}C x x= ∈ − ≤ | | 2x > N T （C）3 （D）4 （5）已知 ，则 的大小关系为 （A） （B） （C） （D） （6）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 （A）在区间 上单调递增 （B）在区间 上单调递减 （C）在区间 上单调递增 （D）在区间 上单调递减 （7）已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交 于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线 的方程为 （A） （B） （C） （D） （8）在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为 （A） （B） （C） （D）0 第Ⅱ卷 本卷共 12 小题，共 110 分。 1 3 3 1 3 7 1 1log , ( ) , log2 4 5a b c= = = , ,a b c a b c> > b a c> > c b a> > c a b> > sin(2 )5y x π= + 10 π [ , ]4 4 π π− [ ,0]4 π [ , ]4 2 π π [ , ]2 π π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > x ,A B ,A B 1d 2d 1 2 6,d d+ = 2 2 13 9 x y− = 2 2 19 3 x y− = 2 2 14 12 x y− = 2 2 112 4 x y− = 1. 2, 120OM ON MON= = ∠ =  2 , 2 ,BM MA CN NA= =    ·BC OM  15− 9− 6− 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）i 是虚数单位，复数 =__________． （10）已知函数 f(x)=exlnx，f ′(x)为 f(x)的导函数，则 f ′（1）的值为__________． （11）如图，已知正方体 ABCD–A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1–BB1D1D 的体积为__________． （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． （13）已知 a，b∈R，且 a–3b+6=0，则 2a+ 的最小值为__________． （14）已知 a∈R，函数 若对任意 x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立， 则 a 的取值范围是__________． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分 13 分） 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从 中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院 的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率． （16）（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c．已知 bsinA=acos(B– )． （Ⅰ）求教 B 的大小； 6 7i 1 2i + + 1 8b ( ) 2 2 2 2 0 2 2 0 x x a xf x x x a x  + + − ≤= − + − > ， ， ， ． ∞ x π 6 （Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2A–B)的值． （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2， AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值． （18）（本小题满分 13 分） 设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（n∈ N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求 Sn 和 Tn； （Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值． （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ， . （I）求椭圆的方程； （II）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点 M，且点 P，M 均在第四象 限.若 的面积是 面积的 2 倍，求 k 的值. （20）（本小题满分 14 分） 设函数 ，其中 ,且 是公差为 的等差数列. （I）若 求曲线 在点 处的切线方程； （II）若 ，求 的极值； （III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围. 2 3 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 5 3 | | 13AB = : ( 0)l y kx k= < ,P Q l AB BPM△ BPQ△ 1 2 3( )=( )( )( )f x x t x t x t− − − 1 2 3, ,t t t ∈R 1 2 3, ,t t t d 2 0, 1,t d= = ( )y f x= (0, (0))f 3d = ( )f x ( )y f x= 1 2( ) 6 3y x t= − − − 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分． （1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）A （7）A （8）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分． （9）4–i （10）e （11） （12） （13） （14）［ ，2］ 三、解答题 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计 算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的 方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人． （Ⅱ）（i）解：从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}， {C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共 21 种． （ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E， 来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种． 所以，事件 M 发生的概率为 P（M）= ． （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦 公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分． （Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由 ， 1 3 2 2 2 0x y x+ − = 1 4 1 8 5 21 sin sin a b A B = sin sinb A a B= πsin cos( )6b A a B= − 得 ，即 ，可得 ．又因为 ，可得 B= ． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，有 ，故 b= ． 由 ，可得 ．因为 a 2q = 12n nb −= 1 2 2 11 2 n n nT −= = −− { }na d 4 3 5b a a= + 1 3 4a d+ = 5 4 62b a a= + 13 13 16,a d+ = 1 1, 1a d= = na n= ( 1) 2n n nS += 1 3 1 1 2 (2 2 2 ) 2 2.n n nT T T n n++ + + = + + + − = − −  1 2( ) 4n n n nS T T T a b+ + + + = + 1 1( 1) 2 2 22 n nn n n n+ ++ + − − = + 2 3 4 0,n n− − = 1n = − 4n = 2 2 5 9 c a = 2 2 2a b c= + 2 3 .a b= 2 2| | 13AB a b= + = 3, 2a b= = 2 2 19 4 x y+ = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 0x x> > Q 1 1( , ).x y− − BPM△ BPQ△ | |=2| |PM PQ 2 1 1 12[ ( )]x x x x− = − − 2 15x x= AB 2 3 6x y+ = 2 3 6, , x y y kx + =  = 2 6 3 2x k = + 2 2 1,9 4 , x y y kx  + =  = y 1 2 6 9 4 x k = + 2 15x x= 29 4 5(3 2)k k+ = + 整理得 ，解得 ，或 . 当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ， ，符合题意. 所以， 的值为 . （20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法， 考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分 14 分. （Ⅰ）解：由已知，可得 f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故 f‵(x)=3x−1，因此 f(0)=0， =−1，又 因为曲线 y=f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为 y−f(0)= (x−0)，故所求切线方程为 x+y=0. （Ⅱ）解：由已知可得 f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t22+9t2. 故 = 3x3−6t2x+3t22−9.令 =0，解得 x= t2− ，或 x= t2+ . 当 x 变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表： x (−∞，t2− ) t2− (t2− ，t2+ ) t2+ (t2+ ，+∞) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数 f(x)的极大值为 f(t2− )=(− )3−9×(− )=6 ；函数小值为 f(t2+ )=( )3−9×( )=−6 . （III）解：曲线 y=f(x)与直线 y=−(x−t2)−6 有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6 =0 有三个互异的实数解，令 u= x−t2，可得 u3+(1−d2)u+6 =0. 设函数 g(x)= x3+(1−d2)x+6 ，则曲线 y=f(x)与直线 y=−(x−t2)−6 有三个互异的公共点等价于 函数 y=g(x)有三个零点. =3 x3+(1−d2). 当 d2≤1 时， ≥0，这时 在 R 上单调递增，不合题意. 218 25 8 0k k+ + = 8 9k = − 1 2k = − 8 9k = − 2 9 0x = − < 1 2k = − 2 12x = 1 12 5x = k 1 2 − (0)f ′ (0)f ′ ( )f x′ ( )f x′ 3 3 3 3 3 3 3 3 ( )f x′ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( )g' x ( )g' x ( )g' x 当 d2>1 时， =0，解得 x1= ，x2= . 易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1， x2]上单调递减，在(x2， +∞)上单调递增， g(x)的极大值 g(x1)= g( )= >0. g(x)的极小值 g(x2)= g( )=− . 若 g(x2) ≥0，由 g(x)的单调性可知函数 y=f(x)至多有两个零点，不合题意. 若 即 ，也就是 ，此时 ， 且 ，从而由 的单调性，可知 函数 在区间 内各有一个零点，符合题意. 所以 的取值范围是 ( )g' x 2 1 3 d −− 2 1 3 d − 2 1 3 d −− 3 2 22 3( 1) 6 39 d − + 2 1 3 d − 3 2 22 3( 1) 6 39 d − + 2( ) 0,g x < 3 2 2( 1) 27d − > | | 10d > 2| |d x> (| |) | | 6 3 0,g d d= + > 3 12| | , ( 2 | |) 6 | | 2 | | 6 3 62 10 6 3 0d x g d d d− < − = − − + < − + < ( )g x ( )y g x= 1 1 2 2( 2 | |, ),( , ),( ,| |)d x x x x d− d ( , 10) ( 10, ).−∞ − +∞ 江苏省 2018 年高考数学试题及答案 （试卷满分 160 分，考试时间 120 分） 考生注意：试卷满分 160 分，另设附加题 40 分。理科类考生加试附加题。 参考公式： 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合 ， ，那么 ． 2．若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 ． 3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数 为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 ． 1 3V Sh= S h {0,1,2,8}A = { 1,1,6,8}B = − A B = z i 1 2iz⋅ = + z 5．函数 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概 率为 ． 7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ． 8．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距 离为 ，则其离心率的值是 ． 9．函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．[来源:学科网] 11．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与 最小值的和为 ． 2( ) log 1f x x= − sin(2 )( )2 2y x ϕ ϕπ π= + − < < 3x π= ϕ xOy 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( ,0)F c 3 2 c ( )f x ( 4) ( )( )f x f x x+ = ∈R ( 2,2]− cos ,0 2,2( ) 1| |, 2 0,2 x x f x x x π < ≤=   + < ≤ - ( (15))f f 3 2( ) 2 1( )f x x ax a= − + ∈R (0, )+∞ ( )f x [ 1,1]− 12．在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 ，则点 A 的横坐标为 ． 13．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D， 且 ，则 的最小值为 ． 14．已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排 列构成一个数列 ．记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的最小值 为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在平行六面体 中， ． 求证：（1） 平面 ； （2）平面 平面 ． 16．（本小题满分 14 分） 已 知 为 锐 角 ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 17．（本小题满分 14 分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的 距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个 温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在 线段 上， 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ． （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； xOy : 2l y x= (5,0)B 0AB CD⋅ =  ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠ AC 1BD = 4a c+ *{ | 2 1, }A x x n n= = − ∈N *{ | 2 , }nB x x n= = ∈N A B { }na nS { }na 112n nS a +> 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1,AA AB AB B C= ⊥ AB∥ 1 1A B C 1 1ABB A ⊥ 1A BC ,α β 4tan 3 α = 5cos( ) 5 α β+ = − cos2α tan( )α β− MPN CDP△ ,A B MN ,C D θ θ ABCD CDP△ sinθ （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之 比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦点 ，圆 O 的直径为 ． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐 标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 l 的方程． 19．（本小题满分 16 分） 记 分 别 为 函 数 的 导 函 数 ． 若 存 在 ， 满 足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S 点 ”． （1）证明：函数 与 不存在“S 点”； （2）若函数 与 存在“S 点”，求实数 a 的值；[来源:Zxxk.Com] （3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分 16 分） 设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均 成立，并求 的取值范围（用 表示）． 数学Ⅱ(附加题) 4 3∶ θ xOy 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 1 2F F ,A B OAB△ 2 6 7 ( ), ( )f x g x′ ′ ( ), ( )f x g x 0x ∈R 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′= 0x ( )f x ( )g x ( )f x x= 2( ) 2 2g x x x= + − 2( ) 1f x ax= − ( ) lng x x= 2( )f x x a= − + e( ) xbg x x = 0a > 0b > ( )f x ( )g x (0, )+∞ { }na 1a { }nb 1b 1 10, 1, 2a b q= = = 1| |n na b b− ≤ 1,2,3,4n = * 1 1 0, , (1, 2]ma b m q= > ∈ ∈N d ∈R 1| |n na b b− ≤ 2,3, , 1n m= + d 1, ,b m q 21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[来源:学|科|网] A．[选修 4—1：几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点， 过 P 作圆 O 的切线，切点为 C．若 ，求 BC 的长． B．[选修 4—2：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分) 已知矩阵 ． （1）求 的逆矩阵 ； （2）若点 P 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 P 的坐标． C．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ，曲线 C 的方程为 ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长． D．[选修 4—5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，点 P，Q 分 别为 A1B1，BC 的中点． （1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值． 23．(本小题满分 10 分) 2 3PC = 2 3 1 2  =   A A 1−A A (3,1)P′ πsin( ) 26 ρ θ− = 4cosρ θ= 2 2 2x y z+ + 设 ，对 1，2，···，n 的一个排列 ，如果当 s ( , )s ti i 1 2 ni i i 1 2 ni i i ( )nf k 3 4(2), (2)f f (2)( 5)nf n ≥ 3 10 π 6 − 2 2 4 3 ⊄ ⊂ （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B． 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC． 又因为 A1B∩BC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC． 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC． 16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满 分 14 分． 解：（1）因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 又因为 ，所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用 数学知识分析和解决实际问题的能力．满分 14 分． 解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10． 过 O 作 OE⊥BC 于 E，则 OE∥MN，所以∠COE=θ， 故 OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10． 4tan 3 α = sintan cos αα α= 4sin cos3 α α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25 α = 2 7cos2 2cos 1 25 α α= − = − ,α β (0,π)α β+ ∈ 5cos( ) 5 α β+ = − 2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5 α β α β+ = − + = tan( ) 2α β+ = − 4tan 3 α = 2 2tan 24tan 2 1 tan 7 αα α= = −− tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11 α α βα β α α β α α β − +− = − + = = −+ ⊂ ⊂ ⊂ 1 2 令∠GOK=θ0，则 si nθ0= ，θ0∈（0， ）． 当 θ∈[θ0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sinθ 的取值范围是[ ，1）． 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0）， 则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， ）． 设 f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， ）， 则 ． 令 ，得 θ= ， 当 θ∈（θ0， ）时， ，所以 f（θ）为增函数； 当 θ∈（ ， ）时， ，所以 f（θ）为减函数， 因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网] 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆 及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分 16 分． 解：（1）因为椭圆 C 的焦 点为 ， 可设椭圆 C 的方程为 ．又点 在椭圆 C 上， 所以 ，解得 因此，椭圆 C 的方程为 ． 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 ． 1 4 π 6 π 2 1 4 1 4 π 2 π 2 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f θ θ θ θ θ θ θ θ= − − = − + − = − − +′ ( )=0f θ′ π 6 π 6 ( )>0f θ′ π 6 π 2 ( )<0f θ′ π 6 π 6 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F− 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 3, )2 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b  + =  − = 2 2 4, 1, a b  = = 2 2 14 x y+ = 1 2F F 2 2 3x y+ = （2）①设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ， 所以直线 l 的方程为 ，即 ． 由 消去 y，得 ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点 P 的坐标为 ． ②因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， 由（*）得 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此 P 的坐标为 ． 综上，直线 l 的方程为 ． 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2 0 0 3x y+ = 0 0 0 0 ( )xy x x yy = − − + 0 0 0 3xy xy y = − + 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y  + =  = − + 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x∆ = − − + − = − = 0 0, 0x y > 0 02, 1x y= = ( 2,1) 2 6 7 21 2 6 7AB OP⋅ = 4 2 7AB = 1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y ± −= + 2 2 2 2 1 21( ) ( )xB y yxA = − + − 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y −= + ⋅ + 2 2 0 0 3x y+ = 2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x −= =+ 4 2 0 02 45 100 0x x− + = 2 2 0 0 5 ( 202x x= = 2 0 1 2y = 10 2( , )2 2 5 3 2y x= − + 19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以 及逻辑推理能力．满分 16 分． 解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）= g′（x），得 ，此方程组无解， 因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点． （2）函数 ， ， 则 ． 设 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）=g（x0）且 f′（x0）=g′（x0），得 ，即 ，（*） 得 ，即 ，则 ． 当 时， 满足方程组（*），即 为 f（x）与 g（x）的“S”点． 因此，a 的值为 ． （3）对任意 a>0，设 ． 因为 ，且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 ∈（0，1），使得 ．令 ，则 b>0． 2 2 2 1 2 2 x x x x  = + −  = + 2 1f x ax= −（ ） ( ) lng x x= 12f x ax g x x ′ = ′ =（ ） ， （ ） 2 0 0 0 0 1 ln 12 ax x ax x  − =  = 2 0 0 2 0 1 ln 2 1 ax x ax  − = = 0 1ln 2x = − 1 2 0 ex −= 1 22 1 e 22(e ) a − = = e 2a = 1 2 0 ex −= 0x e 2 3 2( ) 3h x x x ax a= − − + (0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a= > = − − + = − <， 0x 0( ) 0h x = 0 3 0 0 2 e (1 )x xb x = − 函数 ， 则 ． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）=g′（x），得 ，即 ，（**） 此时， 满足方程组（**），即 是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意 a>0，存在 b>0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与 化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分 16 分． 解：（1）由条件知： ． 因为 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 ． 因此，d 的取值范围为 ． （2）由条件知： ． 若存在 d，使得 （n=2，3，···，m+1）成立， 即 ， 即当 时，d 满足 ． 因为 ，则 ， 从而 ， ，对 均成立． 因此，取 d=0 时， 对 均成立． 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ）． 11 2( ,) n n na n d b −= − = 1 1 2 |( ) 1| nn d −− − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 7 5 3 2d≤ ≤ 7 5[ , ]3 2 1 1 1( 1) , n n na b n d b b q −= + − = 1 1 1 1| 1 | 2,3, ,( 1( ) )nb n d b q b n m−+ − − ≤ = + 2,3, , 1n m= + 1 1 1 1 2 1 1 n nq qb d bn n − −− ≤ ≤− − (1, 2]mq∈ 11 2n mq q−< ≤ ≤ 1 1 2 01 nq bn − − ≤− 1 1 01 nq bn − >− 2,3, , 1n m= + 2,3, , 1n m= + 1 2{ }1 nq n − − − 1 { }1 nq n − − 2,3, , 1n m= + 2 e( ) ( ) xbf x x a g x x = − + =， 2 e ( 1)( ) 2 ( ) xb xf x x g x x −= − =′ ， ′ 2 2 e e ( 1)2 x x bx a x b xx x − + = −− = 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 e e (1 ) 2 e ( 1)2 e (1 ) x x x x xx a xx x xx xx − + = ⋅ − −− = ⋅ − 0x 0x 1| |n na b b− ≤ 1| |n na b b− ≤ 1| |n na b b− ≤ ①当 时， ， 当 时，有 ，从而 ． 因此，当 时，数列 单调递增， 故数列 的最大值为 ． ②设 ，当 x>0 时， ， 所以 单调递减，从而 2 1n m≤ ≤ + 1 2{ }1 nq n − − − 1 2{ }1 nq n − − − 2mq m − ( ) ( )2 1xf x x= − ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x′ = − − < ( )f x ( )f x 2 n m≤ ≤ 1 1 1 1 12 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n q q nn fq n n n n − −= ≤ − = < − 2 1n m≤ ≤ + 1 { }1 nq n − − 1 { }1 nq n − − mq m 1 1( 2)[ , ] m mb q b q m m − 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21．【选做题】 A．[选修 4—1：几何证明选讲] 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分． 证明：连结 OC．因为 PC 与圆 O 相切，所以 OC⊥PC． 又因为 PC= ，OC=2， 所以 OP= =4． 又因为 OB=2，从而 B 为 Rt△OCP 斜边的中点，所以 BC=2． B．[选修 4—2：矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分 10 分． 解：（1）因为 ， ，所以 A 可逆， 从而 ． （2）设 P(x，y)，则 ，所以 ，[来源:学科网] 因此，点 P 的坐标为(3，–1)． C．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分 10 分． 解：因为曲线 C 的极坐标方程为 ， 所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆． 因为直线 l 的极坐标方程为 ， 则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= ． 连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ， 2 3 2 2PC OC+ 2 3 1 2  =   A det( ) 2 2 1 3 1 0= × − × = ≠A 1−A 2 3 1 2 − =  −  2 3 3 1 2 1 x y      =           1 3 3 1 1 x y −     = =     −     A =4cosρ θ πsin( ) 26 ρ θ− = π 6 π 6 π 2 所以 ． 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 ． D．[选修 4—5：不等式选讲] 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分． 证明：由柯西不等式，得 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时，不等式取等号，此时 ， 所以 的最小值为 4． 22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间 向量解决问题的能力．满分 10 分． 解：如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，则 OB⊥OC，OO1 ⊥OC，OO1⊥OB，以 为基底，建立空间直角坐标系 O−xyz． 因为 AB=AA1=2， 所以 ． π4cos 2 36AB = = 2 3 2 2 2 2 2 2 2( )(1 2 2 ) ( 2 2 )x y z x y z+ + + + ≥ + + 2 2 =6x y z+ + 2 2 2 4x y z+ + ≥ 1 2 2 x y z= = 2 4 4 3 3 3x y z= = =， ， 2 2 2x y z+ + 1,{ },OB OC OO   1 1 10, 1,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,( ) ( ) ( ) ( ) (2 , 3,0,2 , 0,1,2) ( )A B C A B C− − （1）因为 P 为 A1B1 的中点，所以 ， 从而 ， 故 ． 因此，异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 ． （2）因为 Q 为 BC 的中点，所以 ， 因此 ， ． 设 n=（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量， 则 即 不妨取 ， 设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 ， 则 ， 所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 ． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满 分 10 分． 解：（1）记 为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有 ， 所以 ． 对 1，2，3，4 的排列， 利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置 只能是最后三个位置． 因此， ． （2）对一般的 n（n≥4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n，所以 ． 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 3 1( , ,2)2 2P − 1 3 1( , ,2) (0,2,22 2 ),BP AC= =− −  1 1 1 | | | 1 4 | 3 10| cos , | 20| | | | 5 2 2 BP ACBP AC BP AC ⋅ − += = = ⋅ ×      3 10 20 3 1( , ,0)2 2Q 3 3( , ,0)2 2AQ = 1 1(0,2,2), (0,0,2)AC CC= =  1 0, 0, AQ AC   ⋅ = ⋅ =   n n 3 3 0,2 2 2 2 0. x y y z  + =  + = ( 3, 1,1)= −n θ 1 1 1 | | 2 5sin | cos |, | | | 55 2 CCCC CC | θ = = ⋅ × ⋅ = =   nn n 5 5 ( )abcτ (123)=0 (132)=1 (213)=1 (231)=2 (312)=2 (321)=3τ τ τ τ τ τ， ， ， ， ， 3 3 3(0) 1 (1) (2) 2f f f= = =， 4 3 3 3(2) (2) (1) (0) 5f f f f= + + = (0) 1nf = ． 为计算 ，当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1 在新排 列中的位置只能是最后三个位置． 因此， ． 当 n≥5 时， ， 因此，n≥5 时， ． 浙江省 2018 年高考数学试题及答案 （试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 参考公式： 若事件 A，B 互斥，则 若事件 A，B 相互独立，则 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + ( ) ( ) ( )P AB P A P B= V Sh= S h 1 3V Sh= S h (1) 1nf n= − 1(2)nf + 1(2) (2) (1) (0) (2)n n n n nf f f f f n+ = + + = + 1 1 2 5 4 4(2) [ (2) (2)] [ (2) (2)] [ (2) (2)] (2)n n n n nf f f f f f f f− − −= − + − + + − +… 2 4 2( 1) ( 2) 4 (2) 2 n nn n f − −= − + − +…+ + = (2)nf = 2 2 2 n n− − 台体的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积， 表 示台体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 2．双曲线 的焦点坐标是 A．(− ，0)，( ，0) B．(−2，0)，(2，0) C．(0，− )，(0， ) D．(0，−2)，(0，2) 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A．2 B．4 C．6 D．8 4．复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i 5．函数 y= sin2x 的图象可能是 ( ) C (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k n nP k p p k n−= − =  1 1 2 2 1 ( )3V S S S S h= + + 1 2,S S h 24S R= π 34 3V R= π R =U A ∅ 2 2 13 =x y− 2 2 2 2 侧视图 俯视图 正视图 2 211 2 1 i− | |2 x A． B． C． D． 6．已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设 0 A． B． C． D． 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别 为 ， ， ，则 当 时， ___________， ___________． 12 ． 若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 小 值 是 ___________ ， 最 大 值 是 ___________． 13 ． 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ． 若 a= ， b=2 ， A=60° ， 则 sin B=___________，c=___________． 14．二项式 的展开式的常数项是___________． 15．已知 λ∈R，函数 f(x)= ，当 λ=2 时，不等式 f(x)<0 的解集是___________．若 函数 f(x)恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是___________． 16．从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成___________ 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 17．已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时， 点 B 横坐标的绝对值最大． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分 14 分）已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ）． （Ⅰ）求 sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值． 19．（本题满分 15 分）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． 1 3 2 4,a a a a< < 1 3 2 4,a a a a> < 1 3 2 4,a a a a< > 1 3 2 4,a a a a> > x y z 100, 15 3 100,3 x y z x y z + + = + + = 81z = x = y = ,x y 0, 2 6, 2, x y x y x y − ≥  + ≤  + ≥ 3z x y= + 7 83 1( )2x x + 2 4, 4 3, x x x x x λ λ − ≥ − + < 2 4 x AP PB 3 4 5 5 − ，- 5 13 （Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值． 20．（本题满分 15 分）已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中 项．数列 {bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n． （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． 21．（本题满分 15 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的 两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 22．（本题满分 15 分）已知函数 f(x)= −lnx． （Ⅰ）若 f(x)在 x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点． P M B A O y x 2 4 y x 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 40 分。 1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.D 9.A 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分。 11.8；11 12.−2；8 13. 14.7 15. 16.1260 17.5 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。 18. （Ⅰ）由角 的终边过点 得 ， 所以 . （Ⅱ）由角 的终边过点 得 ， 21 ;37 (1,4);(1,3] (4, )+∞ α 3 4( , )5 5P − − 4sin 5 α = − 4sin( π) sin 5 α α+ = − = α 3 4( , )5 5P − − 3cos 5 α = − 由 得 . 由 得 ， 所以 或 . 19. 方法一： （Ⅰ）由 得 ， 所以 . 故 . 由 ， 得 ， 由 得 ， 由 ，得 ，所以 ，故 . 因此 平面 . （Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 . 由 平面 得平面 平面 ， 由 得 平面 ， 所以 是 与平面 所成的角.学科.网 由 得 ， 5sin( ) 13 α β+ = 12cos( ) 13 α β+ = ± ( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + + 56cos 65 β = − 16cos 65 β = − 1 1 1 12, 4, 2, ,AB AA BB AA AB BB AB= = = ⊥ ⊥ 1 1 1 2 2AB A B= = 2 2 2 1 1 1 1A B AB AA+ = 1 1 1AB A B⊥ 2BC = 1 12, 1,BB CC= = 1 1,BB BC CC BC⊥ ⊥ 1 1 5B C = 2, 120AB BC ABC= = ∠ = ° 2 3AC = 1CC AC⊥ 1 13AC = 2 2 2 1 1 1 1AB B C AC+ = 1 1 1AB B C⊥ 1AB ⊥ 1 1 1A B C 1C 1 1 1C D A B⊥ 1 1A B D AD 1AB ⊥ 1 1 1A B C 1 1 1A B C ⊥ 1ABB 1 1 1C D A B⊥ 1C D ⊥ 1ABB 1C AD∠ 1AC 1ABB 1 1 1 1 1 15, 2 2, 21B C A B AC= = = 1 1 1 1 1 1 6 1cos ,sin 7 7 C A B C A B∠ = ∠ = 所以 ，故 . 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 . 方法二： （Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系 O-xyz. 由题意知各点坐标如下： 因此 由 得 . 由 得 . 所以 平面 . （Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 . 由（Ⅰ）可知 设平面 的法向量 . 由 即 可取 . 所以 . 1 3C D = 1 1 1 39sin 13 C DC AD AC ∠ = = 1AC 1ABB 39 13 1 1 1(0, 3,0), (1,0,0), (0, 3,4), (1,0,2), (0, 3,1),A B A B C− − 1 1 1 1 1(1, 3,2), (1, 3, 2), (0,2 3, 3),AB A B AC= = − = −   1 1 1 0AB A B⋅ =  1 1 1AB A B⊥ 1 1 1 0AB AC⋅ =  1 1 1AB AC⊥ 1AB ⊥ 1 1 1A B C 1AC 1ABB θ 1 1(0,2 3,1), (1, 3,0), (0,0,2),AC AB BB= = =   1ABB ( , , )x y z=n 1 0, 0, AB BB  ⋅ = ⋅ =   n n 3 0, 2 0, x y z  + = = ( 3,1,0)= −n 1 1 1 | 39sin |cos , | 13| | | ACAC AC θ ⋅= = = ⋅   n |n n | 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 . 20.（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 . 由 得 ， 因为 ，所以 . （Ⅱ）设 ，数列 前 n 项和为 . 由 解得 . 由（Ⅰ）可知 ， 所以 ， 故 ， . 设 ， 所以 ， 因此 ， 又 ，所以 . 21． （Ⅰ）设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 1AC 1ABB 39 13 4 2a + 3 5,a a 3 5 42 4a a a+ = + 3 4 5 43 4 28a a a a+ + = + = 4 8a = 3 5 20a a+ = 18( ) 20q q + = 1q > 2q = 1( )n n n nc b b a+= − { }nc nS 1 1 , 1, , 2.n n n S nc S S n− ==  − ≥ 4 1nc n= − 12n na −= 1 1 1(4 1) ( )2 n n nb b n − + − = − ⋅ 2 1 1(4 5) ( ) , 22 n n nb b n n− −− = − ⋅ ≥ 1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b b b− − −− = − + − + + − + − 2 31 1 1(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 32 2 2 n nn n− −= − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + 2 21 1 13 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 22 2 2 n nT n n−= + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ≥ 2 2 11 1 1 1 13 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n n− −= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅ 2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n− −= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − − ⋅ 2114 (4 3) ( ) , 22 n nT n n−= − + ⋅ ≥ 1 1b = 2115 (4 3) ( )2 n nb n −= − + ⋅ 0 0( , )P x y 2 1 1 1( , )4A y y 2 2 2 1( , )4B y y PA PB 1y 2y 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 22． （Ⅰ）函数 f（x）的导函数 ， 由 得 ， 因为 ，所以 ． 由基本不等式得 ． 因为 ，所以 ． 由题意得 ． 设 ， 则 ， 所以 x （0，16） 16 （16，+∞） - 0 + 2 020 1 4( ) 42 2 y xy y ++ = ⋅ 2 2 0 0 02 8 0y y y x y− + − = 1 2 02y y y+ = PM y 1 2 0 2 1 2 0 0 2 , 8 , y y y y y x y + = = − 2 2 2 1 2 0 0 0 1 3| | ( ) 38 4PM y y x y x= + − = − 2 1 2 0 0| | 2 2( 4 )y y y x− = − PAB△ 3 2 2 1 2 0 0 1 3 2| | | | ( 4 )2 4PABS PM y y y x= ⋅ − = −△ 2 2 0 0 01( 0)4 yx x+ = < 2 2 0 0 0 04 4 4 4 [4,5]y x x x− = − − + ∈ PAB△ 15 10[6 2, ]4 1 1( ) 2 f x xx ′ = − 1 2( ) ( )f x f x′ = ′ 1 21 2 1 1 1 1 2 2x xx x − = − 1 2x x≠ 1 2 1 1 1 2x x + = 4 1 2 1 2 1 2 1 22 x x x x x x= + ≥ 1 2x x≠ 1 2 256x x > 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ln ln ln( )2f x f x x x x x x x x x+ = − + − = − 1( ) ln2g x x x= − 1( ) ( 4)4g x xx ′ = − ( )g x′ 2-4ln2 所以 g（x）在[256，+∞）上单调递增， 故 ， 即 ． （Ⅱ）令 m= ，n= ，则 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a< ≤ <0， 所以，存在 x0∈（m，n）使 f（x0）=kx0+a， 所以，对于任意的 a∈R 及 k∈（0，+∞），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点． 由 f（x）=kx+a 得 ． 设 h（x）= ， 则 h′（x）= ， 其中 g（x）= ． 由（Ⅰ）可知 g（x）≥g（16），又 a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以 h′（x）≤0，即函数 h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程 f（x）–kx–a=0 至多 1 个实 根． 综上，当 a≤3–4ln2 时，对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点． ( )g x 1 2( ) (256) 8 8ln 2g x x g> = − 1 2( ) ( ) 8 8ln 2f x f x+ > − ( )e a k− + 21( ) 1a k + + 1( )an knn − − | | 1( )an k n + − lnx x ak x − −= lnx x a x − − 2 2 ln 1 ( ) 12 xx a g x a x x − − + − − += ln2 x x−