高考真题——理科数学全国1卷 6页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（全国I卷）‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．设，则（ ） （A）0 （B） （C）1 （D）‎ ‎2．已知集合，则（ ）‎ ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如右饼图。则下面结论中不正确的是（ ）‎ ‎（A）新农村建设后，种植收入减少 ‎（B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 ‎（C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍 ‎（D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．设为等差数列的前项和，若，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）10 （D）12‎ ‎5．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则（ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎9．已知函数，。若存在2个零点，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边。的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III。在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为，则（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎11．已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为。若为直角三角形，则（ ）‎ ‎（A） （B）3 （C） （D）4‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若满足约束条件，则的最大值为________。‎ ‎14．记为数列的前项和，若，则_____________。‎ ‎15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种。（用数字填写答案）‎ ‎16．已知函数，则的最小值是__________。‎ 三．解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．（本小题12分）在平面四边形中，，，，。‎ ⑴求；⑵若，求。 18．（本小题12分）如图，四边形为正方形，分别 为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的 位置，且。⑴证明：平面平面；⑵求与平面所成角的正弦值。‎ ‎19．（本小题12分）设椭圆：的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为。⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：。‎ ‎20．（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立。⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎21．（本小题12分）已知函数。⑴讨论的单调性；⑵若存在两个极值点，证明：。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的方程为。以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ⑴求的直角坐标方程；⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程。‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知。⑴当时，求不等式的解集；⑵若时不等式成立，求的取值范围。‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）解答 一．选择题 CBABD AADCA BA 二．填空题 13．6；14．；15．16；16．‎ ‎17．解：⑴在中，由正弦定理得，故，得。由题设知，，所以；‎ ⑵由题设及⑴知，。在中，由余弦定理得 ‎，所以。‎ ‎18．证明：⑴由题，，又，故平面。又平面，所以平面平面；‎ ⑵作，垂足为。由⑴得，平面。以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。由⑴知，又，，故。又，，故。可得，。则，，，，且为平面的法向量。设与平面所成角为，则为所求。‎ ‎19．解：⑴由已知得，：。由题可知或，故，所以的方程为；‎ ⑵当与轴重合时，；当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以 ‎；当与轴不重合也不垂直时，设：，，则，，直线的斜率之和为 ‎。由得，故，，因此，从而，故的倾斜角互补，所以。综上，。‎ ‎20．解：⑴由题可知，因此 ‎。令，得。当时，；当时，。所以的最大值点为；‎ ⑵由⑴知。①令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，所以；‎ ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。由于，故应该对余下的产品作检验。‎ ‎21．解：⑴的定义域为，。①若，则，当且仅当时，故在单调递减；②若，令得，。当或时，当时。所以在单调递减，在单调递增；‎ ⑵由⑴知，存在两个极值点当且仅当。因的两个极值点满足 ‎，故。不妨设，则。因，故。设函数，由⑴知在 单调递减，而，故时。故，即。‎ ‎22．解：⑴由，得的直角坐标方程为，即；‎ ⑵由⑴知是圆心为，半径为2的圆。由题知，是过点且关于轴对称的两条射线。记轴右边的射线为，轴左边的射线为。由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点，且与有两个公共点；或与只有一个公共点，且与有两个公共点。当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为2，所以，故或。经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点。当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为2，所以，故或。经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点。综上，所求的方程为。‎ ‎23．解：⑴当时，故不等式的解集为；‎ ⑵当时成立等价于当时成立。若，则当时；若，由得，故，即。综上，。‎