备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 33页

专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.‎ ‎（一）所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.‎ ‎1、常见定值问题的处理方法：‎ ‎（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 ‎（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.‎ ‎2、定值问题的处理技巧：‎ ‎（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.‎ ‎（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 ‎（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 ‎（二）处理定点问题的思路：‎ ‎（1）确定题目中的核心变量（此处设为）‎ ‎（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式 ‎（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：‎ ‎① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可 ‎② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但 33‎ 通常选择容易观察到的形式）‎ ‎2、一些技巧与注意事项：‎ ‎（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.‎ ‎（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转.‎ ‎（三）定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．‎ ‎【经典例题】‎ 例1. 【2019年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．‎ ‎【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）‎ ‎(2)证明过程见解析 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．‎ 由得．‎ 33‎ 依题意，解得k<0或0