（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 题型练7 大题专项（五）解析几何综合问题 理 10页

题型练7　大题专项(五)解析几何综合问题 ‎1.(2018天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ 10‎ ‎2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求直线l的方程.‎ ‎3.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.‎ 10‎ ‎4.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.‎ ‎(1)求直线l的斜率的取值范围;‎ ‎(2)设O为原点,=λ=μ,求证:为定值.‎ ‎5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.‎ ‎(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.‎ 10‎ ‎6.‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.‎ 10‎ 题型练7　大题专项(五)‎ 解析几何综合问题 ‎1.解 (1)设椭圆的焦距为‎2c,由已知有,‎ 又由a2=b2+c2,可得‎2a=3b.‎ 由已知可得,|FB|=a,|AB|=b.‎ 由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,‎ 从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).‎ 由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.‎ 又因为|AQ|=,而∠OAB=,‎ 故|AQ|=y2.‎ 由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得y1=易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=‎ 所以,k的值为 ‎2.解 (1)由题意得解得a=2,b=1.‎ 故椭圆C的方程是+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 10‎ 联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=‎ Δ>0⇒4k2+1>t2,‎ y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,‎ y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2‎ ‎=k2+kt+t2=‎ 因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.‎ 因为x1x2+y1y2==0,‎ 所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>‎ 又设A,B的中点为D(m,n),则m=,n=‎ 因为直线PD与直线l垂直,‎ 所以kPD=-,得 由解得 当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,‎ 所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.‎ ‎3.解 (1)设F(c,0),由,‎ 即,可得a2-c2=‎3c2,‎ 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.‎ 所以,椭圆的方程为=1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0),‎ 则直线l的方程为y=k(x-2).‎ 10‎ 设B(xB,yB),由方程组 消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.‎ 解得x=2,或x=,‎ 由题意得xB=,从而yB=‎ 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),‎ 由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得yH=‎ 因此直线MH的方程为y=-x+‎ 设M(xM,yM),由方程组消去y,‎ 解得xM=‎ 在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,‎ 即(xM-2)2+,化简得xM≥1,即1,解得k≤-,或k 所以,直线l的斜率的取值范围为 ‎4.(1)解 因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),‎ 所以4=2p,解得p=2,‎ 所以抛物线的方程为y2=4x.‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).‎ 由得k2x2+(2k-4)x+1=0.‎ 依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,‎ 解得k<0或00,y0>0.‎ 当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.‎ 当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为 因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,‎ 从而直线l1的方程:y=-(x+1), ①‎ 直线l2的方程:y=-(x-1). ②‎ 由①②,解得x=-x0,y=,‎ 所以Q 因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.‎ 10‎ 又P在椭圆E上,故=1.‎ 由解得x0=,y0=无解.‎ 因此点P的坐标为 10‎