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- 2021-05-13 发布
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河南省2012年普通高中毕业班高考适应性测试
数 学 试 题（理）
本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡
上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．i是虚数单位，复数的虚部是 （ ）
A．0 B．-1 C．1 D．-i
3．的展开式中的常数项为m，则函数的图象所围成的封闭图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致形状是 （ ）
5．已知函数，若不等式的解集是空集，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设实数x，y满足，则点不在区域内的概率是 （ ）
A． B． C． D．
7．若点在直线上，则= （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在处的切线方程为 （ ）
A． B．
C． D．
9．中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量且= （ ）
A． B． C． D．
10．函数，在区间[a，b]上是增函数，且则函数在[a，b]上 （ ）
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值-M
11．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知函数函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第
22~24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．命题“存在，使得”的否定是 。
14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是 cm2。
15．经过点（0，-1）作圆的切线，切点分别为A和B，点Q是圆C上一点，则面积的最大值为 。
16．“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”。试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 倍。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知，数列的首项
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求使的最小正整数n。
18．（本小题满分12分）
甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（I）如右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和
19．（本小题满分12分）
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA= AB =1，AD =2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．
（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC;
（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM；
（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线于G点，直线MB交直线于H点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。
21．（本小题满分12分）
设函数
（1）若x=1是的极大值点，求a的取值范围。
（2）当a=0，b=-1时，函数有唯一零点，求正数的值。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作，垂足为E，连结OE。若，分别求AB，OE的长。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1，C2相交于点M，N。
（1）将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求线段MN的长。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数
（1）若a=1，解不等式；
（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围。
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
D
A
B
A
B
A
C
D
A
二、填空题
（13）对于任意的，都有.
（14） （15） （16） 3
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ），，.
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．………………………………… 3分
，则数列的通项公式为．…………………………6分
（Ⅱ） ……………………①
……………………②
②①并化简得．……………………………………………10分
易见为的增函数，，即．
满足此式的最小正整数．…………………………………………………………12分
（18）解：
（Ⅰ）程序框图中的①应填，②应填.(注意：答案不唯一.)……………2分
（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.
所以，解得： 或，因为，所以……6分
（Ⅲ）依题意得，的可能值为2，4，6，8.
，，，
.
所以随机变量的分布列为
2
4
6
8
P
故.…………………………………12分
（19）证明：
（Ⅰ）取的中点，连接，又因为是的中点，是中点.
N
E
A
B
C
D
P
M
∥，∥.
，，
平面∥平面.
又平面，
∥平面………………4分
（Ⅱ），是的中点，
.
又平面，
平面，
.
又， ，
平面.
又平面,
.
平面.
又平面，
.
所以无论点在边的何处，都有.……………………………8分
B
A
C
D
P
M
N
x
y
z
（Ⅲ）分别以所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，设
则，，，，
，，，
，设平面
的法向量为，则
令得，，
设与平面所成的角为，
，
，
解得或（舍去）.
……………………………………………………………………………12分
（20）解：
（Ⅰ）由题意得
.
椭圆的方程为： ……………………………………………………4分
（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为,,，.
在椭圆上，所以，，
设，则，.
，又.
.……………………………………………………………8分
因为的中点为，,所以，以为直径的圆的方程为：.
令，得，
，将两点代入检验恒成立.
所以，以为直径的圆恒过轴上的定点…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）的定义域为，
，由=0，得.
∴.…………………………………………2分
①若a≥0，由=0，得x=1.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
所以x=1是的极大值点. …………………………………………………………4分
②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.
因为x=1是的极大值点，所以＞1，解得－1＜a＜0.
综合①②：a的取值范围是a＞－1. ……………………………………………………6分
（Ⅱ）因为函数有唯一零点，即有唯一实数解，
设，
则．令，．
因为，所以△=>0，方程有两异号根设为x1<0，x2>0.
因为x>0，所以x1应舍去.
当时，，在（0，）上单调递减;
当时，，在（，+∞）单调递增.
当时，=0，取最小值．……………………………………9分
因为有唯一解，所以，
则 即
因为，所以（*）
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，
代入方程组解得．…………………………………………………………………12分
A
O
B
E
D
C
（22）解：
，.
又因AB⊙O的直径，所以，.
又因，
，.
所以.
，………………………………………………………………6分
，.
，，，……10分
（23）解:
（Ⅰ）由得，即曲线的直角坐标方程为，由得，………………………………………………………5分
（Ⅱ）把代入得，
解得，，所以，，
………………………………………………………………………10分
（24）解：
（Ⅰ）时，.
当时，可化为，解之得；
当时，可化为，解之得.
综上可得，原不等式的解集为……………………………………5分
（Ⅱ）
函数有最小值的充要条件为即……………………10分
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