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  • 2021-05-13 发布

北京市高考文科数学试题及答案

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绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国考试 数学(文)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知集合,则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)复数 ‎ ‎(A)i(B)1+i(C) (D)‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 ‎(A)8‎ ‎(B)9‎ ‎(C)27‎ ‎(D)36 ‎ ‎(4)下列函数中,在区间 上为减函数的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ‎(A)1 (B)2 (C) (D)2‎ ‎(6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x−y的最大值为 ‎(A)−1 (B)3 (C)7 (D)8 ‎ ‎(8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远(单位:米)‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳(单位:次)‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a−1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则 ‎(A)2号学生进入30秒跳绳决赛 (B)5号学生进入30秒跳绳决赛 ‎ ‎(C)8号学生进入30秒跳绳决赛 (D)9号学生进入30秒跳绳决赛 第二部分(非选择题共110分)‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9)已知向量 ,则a与b夹角的大小为_________.‎ ‎(10)函数的最大值为_________.‎ ‎(11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.‎ ‎(12) 已知双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( ,0),则a=_______;b=_____________.‎ ‎(13)在△ABC中, ,a=c,则=_________.‎ ‎(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店 ‎①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;‎ ‎②这三天售出的商品最少有_______种.‎ 三、解答题(共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设cn= an+ bn,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 已知函数f(x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(Ⅰ)求ω的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.‎ ‎(17)(本小题13分)‎ 某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(I)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?‎ ‎(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求证:;‎ ‎(III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得?说明理由.‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点.‎ ‎(I)求椭圆C的方程及离心率;‎ ‎(II)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 设函数 ‎(I)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;‎ ‎(III)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)C (2)A (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10)2 (11) (12)1 2 ‎ ‎(13)1 (14)16 29‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎(15)(共13分)‎ 解:(I)等比数列的公比,‎ 所以,.‎ 设等差数列的公差为.‎ 因为,,‎ 所以,即.‎ 所以(,,,).‎ ‎(II)由(I)知,,.‎ 因此.‎ 从而数列的前项和 ‎.‎ ‎(16)(共13分)‎ 解:(I)因为 ‎,‎ 所以的最小正周期.‎ 依题意,,解得.‎ ‎(II)由(I)知.‎ 函数的单调递增区间为().‎ 由,‎ 得.‎ 所以的单调递增区间为().‎ ‎(17)(共14分)‎ 解:(I)由用水量的频率分布直方图知,‎ 该市居民该月用水量在区间,,,,内的频 率依次为,,,,.‎ 所以该月用水量不超过立方米的居民占%,用水量不超过立方米的居民占%.‎ 依题意,至少定为.‎ ‎(II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 频率 根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:‎ ‎(元).‎ ‎(18)(共13分)‎ 解:(I)因为平面,‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以平面.‎ ‎(II)因为,,‎ 所以.‎ 因为平面,‎ 所以.‎ 所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎(III)棱上存在点,使得平面.证明如下:‎ 取中点,连结,,.‎ 又因为为的中点,‎ 所以.‎ 又因为平面,‎ 所以平面.‎ ‎ ‎ ‎(19)(共14分)‎ 解:(I)由题意得,,.‎ 所以椭圆的方程为.‎ 又,‎ 所以离心率.‎ ‎(II)设(,),则.‎ 又,,所以,‎ 直线的方程为.‎ 令,得,从而.‎ 直线的方程为.‎ 令,得,从而.‎ 所以四边形的面积 ‎.‎ 从而四边形的面积为定值.‎ ‎(20)(共13分)‎ 解:(I)由,得.‎ 因为,,‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(II)当时,,‎ 所以.‎ 令,得,解得或.‎ 与在区间上的情况如下:‎ 所以,当且时,存在,,‎ ‎,使得.‎ 由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.‎ ‎(III)当时,,,‎ 此时函数在区间上单调递增,所以不可能有三个不同零点.‎ 当时,只有一个零点,记作.‎ 当时,,在区间上单调递增;‎ 当时,,在区间上单调递增.‎ 所以不可能有三个不同零点.‎ 综上所述,若函数有三个不同零点,则必有.‎ 故是有三个不同零点的必要条件.‎ 当,时,,只有两个不同 点, 所以不是有三个不同零点的充分条件.‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎