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- 2021-05-13 发布
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专题03 线性规划与三角函数(理)
一.线性规划小题
(一)命题特点和预测:分析近8年的高考试题发现,线性规划8年7考,每年1题,主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题,是基础题,少数年份考线性规划应用题、斜率型规划问题和规划问题与其他知识的交汇,难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题,也可能考查含参数的线性规划问题、目标函数为斜率型和距离型的规划问题、线性规划应用题及规划与简易逻辑、几何概型的交汇问题,要做好这方面问题的复习和训练.
(二)历年试题比较:
年份
题目
答案
2018年
若满足约束条件,则的最大值为_____________.
6
2017年
(14)设x,y满足约束条件则的最小值为 .
2016年
(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
216000
2015年
(15)若满足约束条件,则的最大值为 .
4
2014年
(9)不等式组的解集为D,有下面四个命题:
, ,
,
其中的真命题是( )
B
A. B. C. D.
2012年
(14)设,满足约束条件,则的取值范围为 .
2011年
(13)若变量,满足约束条件,则的最小值为 .
-6
【解析与点睛】
(2018年)【解析】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示,由可得,画出直线,将其上下移动,结合的几何意义,可知当直线过点B时,z取得最大值,
由,解得,此时,故答案为6.
(2017年)【解析】不等式组表示的可行域如图所示,易求得,
由得在轴上的截距越大,就越小,所以,当直线过点时,取得最小值,所以的最小值为.
【名师点睛】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型,转化成斜截式比较截距,要注意前面的系数为负时,截距越大,值越小;②分式型,其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型,其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④
绝对值型,转化后其几何意义是点到直线的距离.
(2016年)【解析】设分别生产件产品,则,即,目标函数为,作出可行域如图所示,作出直线,平移直线,当过时,取最大值,由解得,=216000.
(2015年)【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.
(2014年)【解析】画出可行域,如图所示,设,则,当直线过点时,
取到最小值,,故的取值范围为,所以正确的命题是,选B.
(2012年)【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线:=0,平移直线,有图像知,,过A(1,2)点时=-3,过B(3,0)时,=3,故的取值范围为[-3,3].
(2011年)【解析】作出可行域与目标函数,由图知,目标函数过A点时,取最小值,解得A(4,-5), =-6.
(三)命题专家押题
题号
试 题
1.
若,满足约束条件,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.
设,满足约束条件,则的最小值是__________.
3
若满足,则的取值范围为______.
4
若变量,满足约束条件,则的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5
已知实数满足,则的最小值是()
A. B. C. D.
6
已知,满足约束条件,则的最小值为_________.
7
设m为实数,若,则m的最大值是____.
8
若,满足不等式组,则成立的概率为
A. B. C. D.
9
某化肥厂生产甲、乙两种肥料,生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元,生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,如果该厂合理安排生产计划,则可以获得的最大利润是____万元.
10
若变量,满足约束条件,且最小值为7,则的值为( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
【详细解析】
1.【答案】D
【解析】由题意,作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,目标函数,可化为直线,当经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时目标函数取得最大值,又由,解得,即,所以目标函数的的最大值为,故选D.
2.【答案】4
【解析】画出可行域如图(阴影部分),由得,平移直线,由图象可知当直线经过点A时,直线在y轴的截距最小,此时z最小.由,解得,即A(1,2),代入目标函数得z=2×1+2=4.即目标函数的最小值为4.
3.【答案】[1,2]
【解析】作出可行域如下图阴影部分所示,令,则,可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图,当直线经过点时,截距最小;当与重合时,截距最大,,,
4.【答案】D
【解析】作可行域,如图,则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4,过点时取最大值2,因此的最大值是4,选D.
5.【答案】C
【解析】化简,只需求出的最小值,画出表示的可行域,如图,由可得,即,表示可行域内的点与点连线的斜率,由图可知斜率最小值为,所以最小值为,故选C.
6.【答案】
【解析】作出可行域如图,的几何意义为点到可行域内点的距离的平方,由图可知,到直线 的距离最小为 ,∴z=的最小值为 .
7.【答案】
【解析】设,, 显然点集表示以原点为圆心,5
为半径的圆及圆的内部,点集是二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示,作图可知,边界交圆于点,边界恒过原点,要求的最大值,故直线必须单调递减,因为,所以当过图中B点时,取得最大,联立方程组,解得,故,即。
8.【答案】A
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,因为表示点与定点连线的斜率,所以成立的点只能在图中的内部(含边界),所以由几何概型得:成立的概率为,由,得,由,得,由,得,由,解得,由,解得,所以,,所以成立的概率为,故选A.
9.【答案】30
【解析】设该厂生产车皮甲肥料,车皮乙肥料获得的利润为万元,则约束条件为,目标函数为,作出可行域如图所示,作出直线,平移该直线,由图知直线过最优解为,,所以.
10..【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域如图,联立方程组求得A(2,1),B(4,5),C(1,2),化目标函数z=ax+3y为y.当a>0时,由图可知,当直线y过A或C时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.若过A,则2a+3=7,解得a=2;若过C,则a+6=7,解得a=1不合题意.
当a<0时,由图可知,当直线y过A或B时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.若过A,则2a+3=7,解得a=2,不合题意;若过B,则4a+15=7,解得a=﹣2,不合题意.∴a的值为2,故选B.
二.三角函数小题
(一)命题特点和预测:分析近8年的高考题发现,
8年14考,每年至少1题,多数年份是2小、3小,个别年份4小,主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系、和差倍半公式、图象变换、三角函数的图象与性质、利用正余弦定理解三角形,难度一般为1个基础题、2个中档题、有时也会为压轴题.2019年高考仍将坚持至少1小、难度为1基础1(或2)中档、重点考查三角公式、图象变换、三角函数图象与性质、正余弦定理应用,可能在与其他知识交汇处命题,适度创新.
(二)历年试题比较:
年份
题目
答案
2018年
(16)(1(16)已知函数,则的最小值是_____________.
2017年
(9)已知曲线,则下面结论正确的是
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
D
2016年
(12)已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
B
2015年
(2)=( )
(A) (B) (C) (D)
D
(8)函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )
(A) (B)
(C) (D)
D
(16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 .
,
2014年
(6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为
C
(8)设且则( )
(A) (B) (C) (D)
C
(16)已知分别为三个内角的对边,,且,则面积的最大值为____________.
2013年
(15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.
2012年
(9)已知>0,函数=在(,)单调递减,则的取值范围是( )
.[,] .[,] .(0, ] .(0,2]
A
2011年
(5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.- B.- C. D.
B
(11)设函数=(>0,<)的最小正周期为,且=,则
(A)在(0,)单调递减 (B)在(,)单调递减
(C) 在(0,)单调递增 (D)在(,)单调递增
A
(16)在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为__________.
【解析与点睛】
(2018年)【解析】∵,所以当时函数单调减,当时函数单调增,从而得到函数的减区间为,函数的增区间为,所以当时,函数取得最小值,此时,所以.
(2017年)【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则
,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位长度得到,故选D.
【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住;另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量而言.
(2016年)【解析】当时,由,,∴,因为,所以,所以=,当时,,因为在不单调,故A错;当时,由,,∴,因为,所以,所以=,当时,,因为在单调,故选B.
(2015年)(2)【解析】原式= ==,故选D.
(8)【解析】由五点作图知,,解得,,所以,令,解得<<,,故单调减区间为(,),,故选D.
(16)【解析】如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,在△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得,即,解得
=,平移AD ,当D与C重合时,AB最短,此时与AB交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,,即,解得BF=,所以AB的取值范围为(,).
(2014年)(4)【解析】如图所示,当时,在中,.在中,;当时,在中,,在中,,所以当时,的图象大致为C.
(8)【解析】由已知得,,去分母得,,所以,,又因为,
,所以,即,选C.
(16)【解析】由,且,故,又根据正弦定理,得,化简得,,故
,所以,又,故.
(2013年)【解析】f(x)=sin x-2cos x=,令cos α=,sin α=,则f(x)=sin(α+x),当x=2kπ+-α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值1,f(x)有最大值,即θ=2kπ+-α(k∈Z),所以cos θ===sin α=.
(2012年)【解析】∵>0,∈(,),∴∈(,),∵=在(,)单调递减,∴(,)(,),∴≤且≤,解得≤≤,故选A.
(2011年)(5)【解析】根据题意可知,
.
(11)【解析】∵=,由题意知=且=,解得=2,=,又∵<,∴=,∴==,当∈(0,)时,∈(0,),故在(0,)单调递减,故选A.
(16)【解析】由正弦定理可知,
则有AB+2BC
(三)命题专家押题
题号
试 题
1.
已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合,将角的终边按逆时针方向旋转后经过点,则=( )
A. B. C. D.
2.
已知α为锐角,且tan,则cos(2)=( )
A. B. C. D.
3
在中,角的对边分别为,若.则角的大小为( )
A. B. C. D.
4
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5
将函数的图象向右平移()个单位后,其函数图象关于轴对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6
函数的部分图像如图所示,则函数的单调增区间为( )
A. B.
C. D.
7
已知函数,则下列说法不正确的是( )
A.函数的周期为
B.函数的图像关于点对称
C.将函数的图像向右平行移动个单位得到函数的图像
D.函数的图像关于直线对称
8
已知函数对任意的,都有,若在上的值域为,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9
在中,内角的对边分别为,已知,且,则的取值范围为____________.
10
某人在高出海面600米的山上P处,测得海面上的航标A在正东,俯角为30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则这两个航标间的距离为________米.
【详细解析】
1.【答案】C
【解析】因为将角的终边按逆时针方向旋转后得到的角为,由三角函数的定义,可得,,所以 ,故选C.
2.【答案】A
【解析】∵,故选A
3.【答案】A
【解析】∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴,故选A.
4.【答案】D
【解析】
,故选D.
5.【答案】C
【解析】,其图象向右平移()个单位长度后,得函数的图象,由该函数图象关于轴对称可得,解得.因为,所以当时,取得最小值,最小值为.故选C.
6.【答案】D
【解析】由图可知:图象过,,∵图象过,,因为 ,所以,,当时,函数单调递增,化简得,故选D.
7.【答案】D
【解析】的最小正周期为,故A选项正确.,故B选项正确. 将函数的图像向右平行移动个单位得到函数,故C选项正确.,故不是的对称轴,即D选项说法错误.故选D.
8.【答案】A
【解析】 ,其中tanϕ=,由题意f(x)的最大值为,得(1+a)2=9,a>0,∴a=2,,因为,所以,且f(x)在[0,π]上的值域为,所以,
故选A.
9.【答案】
【解析】由题意知,由正弦定理可得,故,设,故,由三边关系可得,所以,由余弦定理可得 ,因为,所以,故有,整理得,解得.
10.【答案】600
【解析】航标A在正东,俯角为30°,由题意得∠APC=60°,∠PAC=30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则有∠ACB=30°,∠CPB=45°,故有BC=PC=600,AC===600,所以由余弦定理知AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB=360000+360000×3﹣2×=360000,∴AB=600.