高考数学考前60天冲刺50题六大解答题圆锥曲线专练 38页

高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】‎ 圆锥曲线 ‎1..如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。‎ ‎（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；‎ ‎（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。‎ ‎2.设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且是它的右准线，‎ ‎(1) 求椭圆方程；‎ ‎(2) 设P为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．‎ ‎3.如图，已知椭圆的长轴为 第 37 页 共 38 页 ‎，过点的直线与轴垂直．直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ ‎ B ‎（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．‎ ‎4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经 过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若直线不过点M，试问是否为定值？并说明理由。 ‎ ‎5.已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ 第 37 页 共 38 页 ‎6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）求的取值范围；‎ ‎ （3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。‎ ‎7.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直 角三角形，直线是抛物线的一条切线．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于 A．B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎8.设椭圆的两个焦点是，且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为 ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若直线与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围。‎ ‎ ‎ 第 37 页 共 38 页 ‎9.已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．‎ ‎10.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)．‎ ‎(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；‎ ‎(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．‎ ‎11.已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．‎ ‎（1）证明：直线的斜率互为相反数；‎ ‎（2）求面积的最小值；‎ ‎（3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：‎ 第 37 页 共 38 页 ‎12.已知椭圆E：=1（a＞b＞o）的离心率e=，且经过点（,1），O为坐标原点。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎　（Ⅱ）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线 x=－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，‎ 切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程.‎ ‎13.设抛物线C1：x 2＝4 y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称．‎ ‎(Ⅰ) 求曲线C2的方程；‎ ‎(Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知圆和圆，‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ 第 37 页 共 38 页 ‎15.已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。‎ ‎16．已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；‎ ‎（Ⅲ）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎17. 椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．已知的最大值为，最小值为．‎ ‎ （１）求椭圆的方程；‎ ‎ （２）若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎18. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ 第 37 页 共 38 页 ‎(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.‎ 若直线的斜率为1,求的长;‎ 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. ‎ ‎19.已知圆C1的方程为，定直线l的方程为．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；‎ ‎（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值．‎ ‎20．已知椭圆经过点，它的焦距为，它的左、右顶点分别为，是该椭圆上的一个动点（非顶点），点 是点关于轴的对称点，直线相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求点的轨迹方程．‎ ‎21.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． ‎ 第 37 页 共 38 页 ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若，求m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎22．设抛物线M方程为，其焦点为F，P（（为直线与抛物线M的 一个交点，‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB 为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．‎ ‎23.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.‎ ‎（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，使，且.‎ ‎24.如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ 第 37 页 共 38 页 ‎（2）过椭圆的右顶点作直线与圆 相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ y P A B C O x x A(4,2)‎ O y P F ‎25.如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎26.已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果直线与椭圆相交于，若，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；‎ ‎（3）过点作直线（与轴不垂直）与椭圆交于两点，与轴交于点，若，，证明：为定值。‎ ‎27.已知抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点。‎ ‎（1）求·的值；（2）设=，求△ABO的面积S的最小值；‎ 第 37 页 共 38 页 ‎（3）在（2）的条件下若S≤，求的取值范围。‎ ‎28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.‎ 若直线的斜率为1,求的长;‎ 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.‎ 高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】圆锥曲线专练答案 ‎1..如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。‎ ‎（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；‎ ‎（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。‎ 第 37 页 共 38 页 解：（1）由椭圆方程为 可得，，，‎ ‎ ，． ‎ 设，则由题意可知，‎ 化简得点G的轨迹方程为. …………4分 ‎（2）由题意可知，‎ 故将代入，‎ 可得，从而． ……………8分 ‎（3）假设存在实数满足题意．‎ 由已知得 ①‎ ‎ ②‎ 椭圆C： ③‎ 由①②解得，．‎ 由①③解得，． ………………………12分 ‎∴，‎ ‎．‎ 故可得满足题意． ………………………16分 ‎2.设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且是它的右准线，‎ ‎(1) 求椭圆方程；‎ ‎(2) 设P为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．‎ 第 37 页 共 38 页 解：（1）由 得 ‎ 方程为……………………………………………………………………… 6分 ‎（2）A（，0），B（2，0），令 M在椭圆上，，又M异于A、B点，，令 P、A、M三点共线，， …………… 10分 ‎，，>0，…………………… 14分 ‎ B在以MN为直径的圆内 ‎3.如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直．直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ ‎ B ‎（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．试判断直线 第 37 页 共 38 页 与以为直径的圆的位置关系．‎ ‎ ‎ ‎（1）将整理得 ‎ 解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以．‎ ‎ 由离心率得．‎ 所以椭圆的标准方程为．------------------------------------------4分 ‎（2）设，则．‎ ‎∵，∴．∴‎ ‎∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．……6分 又，∴直线的方程为．‎ 令，得．又，为的中点，∴．……8分 ‎∴，．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴．∴直线与圆相切．‎ ‎4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经 过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.‎ 第 37 页 共 38 页 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若直线不过点M，试问是否为定值？并说明理由。 ‎ ‎（Ⅰ），-------------------------2分 依题意设椭圆方程为：把点代入，得 ‎ 椭圆方程为-------------------------------4分 ‎（Ⅱ）把代入椭圆方程得：，‎ 由△可得----------------------------------6分 ‎（Ⅲ）设，A,B与M不重合，‎ ‎，-------------------8分 ‎，‎ 为定值0.---- --------12分 ‎5.已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎ (Ⅰ)设椭圆方程为，由题意点在椭圆上，‎ 所以+=1，解得………………5分 第 37 页 共 38 页 ‎(Ⅱ)当直线斜率不存在时，易求，所以 由得，直线的方程为．………………7分 当直线斜率存在时，‎ 所以，‎ 由得 即 因为，所以 此时，直线的方程为 ‎6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）求的取值范围；‎ ‎ （3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。‎ ‎ (1)解：由题意知，∴，即 又，∴ 故椭圆的方程为 ‎ ‎(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为 由得： 由得： 设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则　　① ∴ ∴‎ 第 37 页 共 38 页 ‎ ∵，∴，∴ ∴的取值范围是． ‎ ‎(3)证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2) 直线AE的方程为，令y = 0得： 又，∴ 由将①代入得：x = 1，∴直线AE与x轴交于定点(1，0)．‎ ‎7.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于 A．B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由。‎ 解析：（Ⅰ）由 因直线相切，，∴，‎ ‎………………2分 ‎∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 ‎ 形，∴ 故所求椭圆方程为 ‎ ‎ （Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：‎ 当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程： ‎ 由 即两圆公共点（0，1）‎ 因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1） ‎ 第 37 页 共 38 页 ‎ （ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）‎ ‎ （ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：‎ 由 ‎ 记点． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴TA⊥TB, ‎ ‎ 综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．‎ ‎8.设椭圆的两个焦点是，且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为 ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若直线与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围。‎ ‎ ‎ 第 37 页 共 38 页 ‎9.已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．‎ ‎ (I)由题可知： …………2分 第 37 页 共 38 页 解得，‎ ‎ 椭圆C的方程为…………………………4分 ‎ （II）设直线：，，，，，‎ 由得.…………6分 所以，. ……………………8分 ‎ 而 ‎，，…………10分 ‎∴三点共线 ‎10.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)．‎ ‎(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；‎ ‎(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．‎ 解：（1）由=及解得a2=4，b2=3， ‎ 椭圆方程为；…………………………………………………………2分 设A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得 第 37 页 共 38 页 ‎（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即 ‎ 又，，两式相减得 ‎; ………………………6分 ‎（2）由（1）知，点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标满足，‎ 点P的坐标为（1，）, m=-3， 于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0， ‎ 因此△PAB的重心坐标为(0，0)．即原点是△PAB的重心.‎ ‎∵x1+x2=-1，y1+y2=-，∴AB中点坐标为（，），………………………10分 ‎ ‎ 又，，两式相减得 ‎; ‎ ‎∴直线AB的方程为y+=(x+),即x+2y+2=0.‎ ‎11.已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．‎ ‎（1）证明：直线的斜率互为相反数；‎ ‎（2）求面积的最小值；‎ ‎（3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：‎ ‎①直线的斜率是否互为相反数？ ②面积的最小值是多少？‎ ‎（1）设直线的方程为．‎ 由 可得 ．‎ 设，则．‎ 第 37 页 共 38 页 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎．‎ 又当垂直于轴时，点关于轴，显然．‎ 综上，． ---------------- 5分 ‎（2）=．‎ 当垂直于轴时，．‎ ‎∴面积的最小值等于． ------10分 ‎（3）推测：①；‎ ‎②面积的最小值为． ------- 13分 ‎12.已知椭圆E：=1（a＞b＞o）的离心率e=，且经过点（,1），O为坐标原点。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎　（Ⅱ）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线 x=－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，‎ 切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程.‎ 解：（1）椭圆的标准方程为：‎ ‎ （2）连接QM，OP，OQ，PQ和MO交于点A，‎ 有题意可得M（-4，m），∵∠PMQ=600‎ ‎∴∠OMP=300，∵，‎ ‎∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)‎ ‎∴直线OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,‎ ‎,设直线PQ的方程为y=x+n ‎∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300,‎ ‎,即O到直线PQ的距离为,‎ 第 37 页 共 38 页 ‎(负数舍去),∴PQ的方程为x-y+2=0‎ ‎13.设抛物线C1：x 2＝4 y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称．‎ ‎(Ⅰ) 求曲线C2的方程；‎ ‎(Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，‎ 所以方程为． …………5分 ‎(Ⅱ)解：设，，,．‎ 的导数为，则切线的方程，‎ 又，得，‎ 因点在切线上,故．‎ 同理, ．‎ 所以直线经过两点，‎ 即直线方程为,即，‎ 代入得，则,，‎ 所以 ，‎ 由抛物线定义得，．‎ 所以，‎ 由题设知，，即，‎ 第 37 页 共 38 页 解得，从而．‎ 综上，存在点满足题意，点的坐标为 ‎ 或 ．‎ ‎ …………15分 ‎14.在平面直角坐标系中，已知圆和圆，‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎ (1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 结合点到直线距离公式，得： w.w.w.zxxk.c.o.m ‎ 化简得：[来源:Z。xx。k.Com]‎ 求直线的方程为：或，即或 ‎(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：[来源:Zxxk.Com]‎ ‎，即：‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.zxxk.c.o.m ‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 第 37 页 共 38 页 关于的方程有无穷多解，有：‎ 解之得：点P坐标为或。‎ ‎（方法二）因为为数列中的项，‎ 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。‎ ‎15.已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。‎ 解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）‎ 所以椭圆方程为。 ……………4分 ‎（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得 ‎ 设,,因为点在椭圆上，所以 ‎ ‎ ‎ ………8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得 第 37 页 共 38 页 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为。‎ ‎16．已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；‎ ‎（Ⅲ）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由双曲线E：，得： ，，．……2分 又圆C过原点，所以圆C的方程为． ……………………4分 ‎（Ⅱ）由题意，设，代入，得，…………5分 所以的斜率为，的方程为．………………6分 所以到的距离为， ……………………………………7分 直线FG被圆C截得的弦长为 ……………………………9分 ‎(Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),则由，得 整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11分 又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 ②‎ 第 37 页 共 38 页 ‎②代入①，得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13分 又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知，…………………………14分 解得：s= -12, t=0. …………………………………………………………………15分 所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12,0）．‎ ‎17. 椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．已知的最大值为，最小值为．‎ ‎ （１）求椭圆的方程；‎ ‎ （２）若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 解析：（1） 是椭圆上任一点,且，‎ ‎……………………2分 当时，有最小值；当或时, 有最大值．‎ ‎， ， ．‎ 椭圆方程为。……………………4分 ‎（2）　设，，将代入椭圆方程得 ‎．‎ 第 37 页 共 38 页 ‎………………6分 ‎，，，‎ 为直径的圆过点，，‎ 或都满足，……………………9分 若直线恒过定点不合题意舍去，‎ 若直线：恒过定点。‎ ‎18. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.‎ 若直线的斜率为1,求的长;‎ 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. ‎ 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为. …………1分 由,得. …………2分 抛物线的焦点为,. …………3分 抛物线D的方程为. …………4分 ‎(2)设,. …………5分 直线的方程为：, …………6分 联立,整理得: …………7分 ‎=.…………9分 第 37 页 共 38 页 ‎ ‎ ‎19.已知圆C1的方程为，定直线l的方程为．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；‎ ‎（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值．‎ 解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则 ‎ ，且 ————2分 A ‎ 可得 ．‎ 由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程． ————5分 ‎（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为 第 37 页 共 38 页 ‎．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为． —————9分 把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为．所以 ‎ ‎ ‎20．已知椭圆经过点，它的焦距为，它的左、右顶点分别为，是该椭圆上的一个动点（非顶点），点 是点关于轴的对称点，直线相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求点的轨迹方程．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题意得：c=1， ① ②‎ ‎····················3分 由①、②得 所以所求椭圆的标准方程为···········6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设 所以 两式相乘得：‎ 由于点在椭圆上，所以代入上式得 ‎····················13分 ‎21.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = 第 37 页 共 38 页 ‎，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． ‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若，求m的取值范围．‎ ‎（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，‎ ‎∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝1　 5′‎ ‎（2）由＝λ，‎ ‎∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合= 7′‎ 当O点与P点重合=时，m=0‎ 当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。‎ 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0‎ Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）‎ x1＋x2＝， x1x2＝　 11′‎ ‎∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0‎ 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 13′‎ m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，‎ 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝ ‎ 第 37 页 共 38 页 ‎22．设抛物线M方程为，其焦点为F，P（（为直线与抛物线M的 一个交点，‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB 为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．‎ y x B Q O F A 解：（1） （舍去）‎ ‎ --5分 ‎ （2）若直线的斜率不存在，则Q只可能为，此时不是等边三角形，舍去，--7分 若直线的斜率存在，设直线的方程为（），设直线与抛物线的交点坐标为A（）、B（）‎ ‎ ，‎ 设存在，，设Q到直线的距离为 有题意可知：‎ 第 37 页 共 38 页 ‎---10分 ‎ 由①可得：------③‎ ‎③代入②得：，‎ 化简得：----14分，‎ 为所求点-----15分 ‎23.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.‎ ‎（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，使，且.‎ 解：（Ⅰ）设点，由得. …………2分 ‎ 由,得，即. …………… 4分 ‎ 又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是 ‎. …………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物 线的两个交点,所以直线的斜率不为 第 37 页 共 38 页 ‎. ……………………………………7分 ‎ 当直线斜率不存在时，得，不合题意； ……8分 ‎ 当直线斜率存在且不为时，设，代入得 ‎ ，‎ ‎ 则，解得. …………9分 ‎ 代入原方程得，由于，所以，由,‎ ‎ 得，∴. ……………………………………………………12分 ‎24.如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的右顶点作直线与圆 相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ y P A B C O x 解（1）∵∴‎ 第 37 页 共 38 页 ‎∴∴‎ 依椭圆的定义有： ‎ ‎∴， 又，∴ ‎ ‎∴椭圆的标准方程为……………………………………………7分 ‎（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，‎ 也可以给满分.）‎ 椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.‎ 假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，‎ 则，圆心到直线的距离 ‎ 当直线斜率不存在时，的方程为，‎ 此时圆心到直线的距离（符合）‎ 当直线斜率存在时，设的方程为，即，‎ ‎∴圆心到直线的距离，无解 综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为 x A(4,2)‎ O y P F ‎25.如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：设抛物线的准线为，过作于，过作于 第 37 页 共 38 页 ‎，‎ B x A(4,2)‎ O y P F ‎ （1）由抛物线定义知 C ‎(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为： 5分 ‎（2）假设存在点，设过点的直线方程为，‎ 显然，，设，，由以为直径的圆恰过坐标 原点有 ① 6分 把代人得 由韦达定理 ② 7分 又 ③ ‎ ‎②代人③得 ④‎ ‎②④代人①得 ‎ 动直线方程为必过定点 10分 当不存在时，直线交抛物线于,仍然有， ‎ 综上：存在点满足条件 12分 注：若设直线BC的方程为可避免讨论.‎ ‎26.已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，。‎ 第 37 页 共 38 页 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果直线与椭圆相交于，若，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；‎ ‎（3）过点作直线（与轴不垂直）与椭圆交于两点，与轴交于点，若，，证明：为定值。‎ 解：（1）由已知 ‎………………………3分 所以椭圆方程为。………………………5分 ‎（2）依题意可设，且有 又 ‎，将代入即得 所以直线与直线的交点必在双曲线上。……………………10分 ‎（3）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，……………11分 设、、，则两点坐标满足方程组 消去并整理，得， ‎ 所以， ① ， ② ……………………13分 因为，所以，‎ 即所以，又与轴不垂直，所以，‎ 所以，同理。 …………………………14分 第 37 页 共 38 页 所以。‎ 将①②代入上式可得。 …………………………16分 ‎27.已知抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点。‎ ‎（1）求·的值；（2）设=，求△ABO的面积S的最小值；‎ ‎（3）在（2）的条件下若S≤，求的取值范围。‎ ‎⑴根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得-4my-4=0.‎ 设A、B点的坐标分别为（，），（，）（﹥0﹥），则=-4.‎ 因为=4，=4，所以==1，‎ 故·=+=-3 ………………………………………………4分 ‎(2)因为=，所以（1-，-）=（-1，）即 1-=-①‎ ‎ -=②‎ 又=4③ =4④ ，由②③④消去，后，得到=，将其代入①，注意到﹥0，解得=。‎ 从而可得=-，=2，故△OAB的面积S=·=‎ 因为≧2恒成立,故△OAB的面积S的最小值是2………(8分).(3)由 ≦解之的≦≦ ‎ ‎28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.‎ 若直线的斜率为1,求的长;‎ 第 37 页 共 38 页 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.‎ ‎ 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为. …………1分 由,得. …………2分 抛物线的焦点为,. …………3分 抛物线D的方程为. …………4分 ‎(2)设,. …………5分 直线的方程为：, …………6分 联立,整理得: …………7分 ‎=.…………9分 ‎ (ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得: …………10分 ‎ …………11分 即=‎ ‎=‎ ‎== …………13分 当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.‎ ‎ …………14分 因此存在直线满足题意 …………15分 ‎ ‎ 第 37 页 共 38 页