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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题辽宁卷理科

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‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 数 学(理科)全解全析 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,,则( )‎ A. B.{5} C. D. ‎ 解析:B ‎2.若函数的反函数图象过点,则函数的图象必过点( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选C ‎3.若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( )‎ A.0 B. C. D.‎ 解析:因为,所以向量与垂直,选D ‎4.设等差数列的前项和为,若,,则( )‎ A.63 B.‎45 ‎ C.36 D.27‎ 解析:由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差,所以S=45,选B ‎5.若,则复数在复平面内所对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:取θ=π得=-1+i,第二象限,选B ‎6.若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:函数为,令得平移公式,所以向量,选A ‎7.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )‎ A.若,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 解析:由有关性质排除A、B、D,选C ‎8.已知变量满足约束条件则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析:画出可行域为一三角形,三顶点为(1,3)、(1,6)和(),表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)时取最大值6,当(x,y)=()时取最小值,选A ‎9.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:从中任取两个球共有种取法,其中取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法,概率为,选D ‎10.设是两个命题:,则是的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:p:或,q:,结合数轴知是的充分而不必要条件,选A ‎11.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:因为,设,根据双曲线定义得,所以,,为直角三角形,其面积为,选B ‎12.已知与是定义在上的连续函数,如果与仅当时的函数值为0,且,那么下列情形不可能出现的是( )‎ A.0是的极大值,也是的极大值 B.0是的极小值,也是的极小值 C.0是的极大值,但不是的极值 D.0是的极小值,但不是的极值 解析:根据题意和图形知当0是的极大值时,不是的极值是不可能的,选C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.‎ ‎13.已知函数在点处连续,则 .‎ 解析:因为在点处连续,所以,填-1‎ ‎14.设椭圆上一点到左准线的距离为10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则= .‎ 解析:椭圆左准线为,左焦点为(-3,0),P(,由已知M为PF中点,M(,所以 ‎15.若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上,则此球的体积为 .‎ 解析:根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由得R=,球体积为 ‎16.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第个数为,若,,,,则不同的排列方法有 种(用数字作答).‎ 解析:分两步:(1)先排,=2,有2种;=3有2种;=4有1种,共有5种;(2)再排,共有种,故不同的排列方法种数为5×6=30,填30‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知函数(其中)‎ ‎(I)求函数的值域;‎ ‎(II)若对任意的,函数,的图象与直线有且仅有两个不同的交点,试确定的值(不必证明),并求函数的单调增区间.‎ 本小题主要考查三角函数公式,三角函数图像和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.‎ ‎(I)解:‎ ‎ 5分 由 得 可知函数的值域为。 7分 ‎(II)解:由题设条件及三角函数图像和性质可知,的周期为,又由,得,即得。 9分 于是有,再由,解得 ‎。‎ 所以的单调增区间为 12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,在直三棱柱中,,,分别为棱的中点,为棱上的点,二面角为.‎ ‎(I)证明:;‎ ‎(II)求的长,并求点到平面的距离.‎ 本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维能力 ‎(I)证明:连结,‎ 三棱柱是直三棱柱,‎ 平面,‎ 为在平面内的射影.‎ 中,,为中点,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎. 4分 ‎(II)解法一:过点作的平行线,‎ 交的延长线于,连结.‎ 分别为的中点,‎ ‎.‎ 又,.‎ ‎.‎ 平面,‎ 为在平面内的射影.‎ ‎.‎ 为二面角的平面角,.‎ 在中,,,‎ ‎.‎ 作,垂足为,‎ ‎,,‎ 平面,‎ 平面平面,‎ 平面.‎ 在中,,,‎ ‎,即到平面的距离为.‎ ‎,‎ 平面,‎ 到平面的距离与到平面的距离相等,为.‎ 解法二:过点作的平行线,交的延长线于,连接.‎ 分别为的中点,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ 平面,‎ 是在平面内的射影,‎ ‎.‎ 为二面角的平面角,.‎ 在中,,,‎ ‎. 8分 设到平面的距离为,‎ ‎.‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,即到平面的距离为. 12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本与产量的函数关系式为 该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示:‎ 市场情形 概率 价格与产量的函数关系式 好 ‎0.4‎ P=164-3q 中 ‎0.4‎ P=101-3q 差 ‎0.2‎ p=70-3q 设分别表示市场情形好、中差时的利润,随机变量,表示当产量为,而市场前景无法确定时的利润.‎ ‎(I)分别求利润与产量的函数关系式;‎ ‎(II)当产量确定时,求期望;‎ ‎(III)试问产量取何值时,取得最大值.‎ 本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.‎ ‎(I)解:由题意可得 ‎ ‎ 同理可得 ‎ 4分 ‎(II)解:由期望定义可知 ‎ 8分 ‎(III)解:由(II)可知是产量的函数,设 得令解得 由题意及问题的实际意义可知,当时,取得最大值,即最大时的产量为10. ‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是Δ的外接圆(点为圆心)‎ ‎(I)求圆的方程;‎ ‎(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.‎ 本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.‎ ‎(I)解法一:设两点坐标分别为,,由题设知 ‎.‎ 解得,‎ 所以,或,.‎ 设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为 ‎. 4分 解法二:设两点坐标分别为,,由题设知 ‎.‎ 又因为,,可得.即 ‎.‎ 由,,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上.‎ 设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为. 4分 ‎(II)解:设,则 ‎. 8分 在中,,由圆的几何性质得 ‎,, 10分 所以,由此可得 ‎.‎ 则的最大值为,最小值为. 12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知数列,与函数,,满足条件:b1=b,an=.‎ ‎(I)若f(x)=tx+1,t≠0,t≠2,,,且存在,求t的取值范围;并求(用表示)‎ ‎(II)若函数为上的增函数,,,,证明对任意,an+1k时,即在闭区间上成立即可。因为在闭区间上连续,故在闭区间上有最大值,设其为k,于是在t>k时,在闭区间上恒成立,‎ 即在闭区间上为减函数。 7分 ‎(III)设,即 ‎, ‎ 易得 ‎。 9分 令,则,易知。当时,;当时,。故当时,取最小值,。所以 ‎,‎ 于是对任意的,都有,即。 12分