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- 2021-05-13 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数 学(理科)全解全析
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,,则( )
A. B.{5} C. D.
解析:B
2.若函数的反函数图象过点,则函数的图象必过点( )
A. B. C. D.
解析:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选C
3.若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( )
A.0 B. C. D.
解析:因为,所以向量与垂直,选D
4.设等差数列的前项和为,若,,则( )
A.63 B.45 C.36 D.27
解析:由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差,所以S=45,选B
5.若,则复数在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:取θ=π得=-1+i,第二象限,选B
6.若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( )
A. B. C. D.
解析:函数为,令得平移公式,所以向量,选A
7.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
解析:由有关性质排除A、B、D,选C
8.已知变量满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:画出可行域为一三角形,三顶点为(1,3)、(1,6)和(),表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)时取最大值6,当(x,y)=()时取最小值,选A
9.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
解析:从中任取两个球共有种取法,其中取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法,概率为,选D
10.设是两个命题:,则是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:p:或,q:,结合数轴知是的充分而不必要条件,选A
11.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为( )
A. B. C. D.
解析:因为,设,根据双曲线定义得,所以,,为直角三角形,其面积为,选B
12.已知与是定义在上的连续函数,如果与仅当时的函数值为0,且,那么下列情形不可能出现的是( )
A.0是的极大值,也是的极大值
B.0是的极小值,也是的极小值
C.0是的极大值,但不是的极值
D.0是的极小值,但不是的极值
解析:根据题意和图形知当0是的极大值时,不是的极值是不可能的,选C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.已知函数在点处连续,则 .
解析:因为在点处连续,所以,填-1
14.设椭圆上一点到左准线的距离为10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则= .
解析:椭圆左准线为,左焦点为(-3,0),P(,由已知M为PF中点,M(,所以
15.若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上,则此球的体积为 .
解析:根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由得R=,球体积为
16.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第个数为,若,,,,则不同的排列方法有 种(用数字作答).
解析:分两步:(1)先排,=2,有2种;=3有2种;=4有1种,共有5种;(2)再排,共有种,故不同的排列方法种数为5×6=30,填30
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数(其中)
(I)求函数的值域;
(II)若对任意的,函数,的图象与直线有且仅有两个不同的交点,试确定的值(不必证明),并求函数的单调增区间.
本小题主要考查三角函数公式,三角函数图像和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.
(I)解:
5分
由 得
可知函数的值域为。 7分
(II)解:由题设条件及三角函数图像和性质可知,的周期为,又由,得,即得。 9分
于是有,再由,解得
。
所以的单调增区间为 12分
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,,分别为棱的中点,为棱上的点,二面角为.
(I)证明:;
(II)求的长,并求点到平面的距离.
本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维能力
(I)证明:连结,
三棱柱是直三棱柱,
平面,
为在平面内的射影.
中,,为中点,
,
.
,
. 4分
(II)解法一:过点作的平行线,
交的延长线于,连结.
分别为的中点,
.
又,.
.
平面,
为在平面内的射影.
.
为二面角的平面角,.
在中,,,
.
作,垂足为,
,,
平面,
平面平面,
平面.
在中,,,
,即到平面的距离为.
,
平面,
到平面的距离与到平面的距离相等,为.
解法二:过点作的平行线,交的延长线于,连接.
分别为的中点,
.
又,
.
平面,
是在平面内的射影,
.
为二面角的平面角,.
在中,,,
. 8分
设到平面的距离为,
.
,,
,
,
,即到平面的距离为. 12分
19.(本小题满分12分)
某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示:
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4
P=164-3q
中
0.4
P=101-3q
差
0.2
p=70-3q
设分别表示市场情形好、中差时的利润,随机变量,表示当产量为,而市场前景无法确定时的利润.
(I)分别求利润与产量的函数关系式;
(II)当产量确定时,求期望;
(III)试问产量取何值时,取得最大值.
本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.
(I)解:由题意可得
同理可得
4分
(II)解:由期望定义可知
8分
(III)解:由(II)可知是产量的函数,设
得令解得
由题意及问题的实际意义可知,当时,取得最大值,即最大时的产量为10.
20.(本小题满分14分)
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是Δ的外接圆(点为圆心)
(I)求圆的方程;
(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.
本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.
(I)解法一:设两点坐标分别为,,由题设知
.
解得,
所以,或,.
设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为
. 4分
解法二:设两点坐标分别为,,由题设知
.
又因为,,可得.即
.
由,,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上.
设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为. 4分
(II)解:设,则
. 8分
在中,,由圆的几何性质得
,, 10分
所以,由此可得
.
则的最大值为,最小值为. 12分
21.(本小题满分12分)
已知数列,与函数,,满足条件:b1=b,an=.
(I)若f(x)=tx+1,t≠0,t≠2,,,且存在,求t的取值范围;并求(用表示)
(II)若函数为上的增函数,,,,证明对任意,an+1k时,即在闭区间上成立即可。因为在闭区间上连续,故在闭区间上有最大值,设其为k,于是在t>k时,在闭区间上恒成立,
即在闭区间上为减函数。 7分
(III)设,即
,
易得
。 9分
令,则,易知。当时,;当时,。故当时,取最小值,。所以
,
于是对任意的,都有,即。 12分