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第一编 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念及其基本运算
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.(2009·海南)已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩∁NB=____________.
解析 ∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},
∴∁NB={1,2,4,5,7,8,…}.
∴A∩∁NB={1,5,7}.
答案 {1,5,7}
2.(2010·南京模拟)已知集合M={x|y2=x+1},P={x|y2=-2(x-3)},那么M∩P=________.
解析 由M:x=y2-1≥-1,即M={x|x≥-1},
由P:x=-y2+3≤3,即P={x|x≤3},
所以M∩P={x|-1≤x≤3}.
答案 {x|-1≤x≤3}
3.(2009·陕西改编)若不等式x2-x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则M∩N
为________.
解析 不等式x2-x≤0的解集M={x|0≤x≤1},
f(x)=ln(1-|x|)的定义域N={x|-1},
∴(∁UM)∩(∁UP)={x|x≤0或2或x≤-1},
则M∩N={x|x>2},所以∁U(M∩N)={x|x≤2}.
答案 {x|x≤2}
6.(2009·珠海模拟)已知集合A中有10个元素,集合B中有6个元素,全集U中有18个元
素,且有A∩B≠∅,设集合∁U(A∪B)中有x个元素,则x的取值范围是________.
解析 因为当集合A∩B中仅有一个元素时,集合∁U(A∪B)中有3个元素,当A∩B中有6
个元素时,∁U(A∪B)中有8个元素,即3≤x≤8且x为整数.
答案 3≤x≤8且x为整数
7.(2010·淮安模拟)对于任意两个集合M,N,定义:M-N={x|x∈M,x∉N},M*N=(M-N)∪(N
-M),设M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},则M*N=____________.
解析 因为M=[0,+∞),N=[-3,3],
所以M-N=(3,+∞),N-M=[-3,0),
所以M*N=[-3,0)∪(3,+∞).
答案 [-3,0)∪(3,+∞)
8.(2010·南通模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2+2ny+n2-4=0,x,y∈R},B={(x,y)|x2+
y2-6mx-4ny+9m2+4n2-9=0,x,y∈R},若A∩B为单元素集,则点P(m,n)构成的集
合为________________.
解析 因为A∩B为单元素集,即圆x2+(y+n)2=4与圆(x-3m)2+(y-2n)2=9相切,此
=3+2或=3-2,
即m2+n2=或m2+n2=.
答案 {(m,n)|m2+n2=或m2+n2=}
9.(2010·盐城模拟)设全集U=R,A={x|>0},∁UA=[-1,-n],则m2+n2=________.
解析 由∁UA=[-1,-n],知A=(-∞,-1)∪(-n,+∞),即不等式>0的解集为
(-∞,-1)∪(-n,+∞),所以-n=1,-m=-1,因此m=1,n=-1,所以m2+n2=
2.
答案 2
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)(2010·盐城模拟)已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={x|20},且满足(A∪B)∩C=∅,(A∪B)∪C=R,求实数b,c的值.
解 因为A={x|-2≤x≤1},B={x|13或x<-2},
则不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2},
即方程x2+bx+c=0的两根分别为-2和3,
则b=-(3-2)=-1,c=3×(-2)=-6.
11.(16分)(2010·扬州模拟)设A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+
2x-8=0}.
(1)若A∪B=A∩B,求实数a的值;
(2)若A∩B≠∅,且A∩C=∅,求实数a的值;
(3)若A∩B=A∩C≠∅,求实数a的值.
解 (1)因为A∪B=A∩B,所以A=B,又因为B={2,3},
则a=5且a2-19=6同时成立,所以a=5.
(2)因为B={2,3},C={-4,2},且A∩B≠∅,A∩C=∅,则只有3∈A,即a2-3a-10=0,
即a=5或a=-2,由(1)可知,当a=5时,A=B={2,3},此时A∩C≠∅,与已知矛盾,
所以a=5舍去,故a=-2.
(3)因为B={2,3},C={-4,2},且A∩B=A∩C≠∅,
此时只有2∈A,
即a2-2a-15=0,得a=5或a=-3,
由(1)可知,当a=5时不合题意,故a=-3.
12.(16分)(2010·绍兴模拟)已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的
前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R}.试问下
列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明:
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠∅.
解 (1)在等差数列{an}中,对一切n∈N*,有Sn=,则==(a1+an),
这表明点(an,)适合方程y=(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上.
(2)设(x,y)∈A∩B,
则x,y是方程组的解,
由方程组消去y得2a1x+a21=-4,
当a1=0时,方程2a1x+a21=-4无解,
此时A∩B=∅;
当a1≠0时,
方程2a1x+a21=-4只有一个解x=,
此时,方程组只有一解,
故上述方程组至多有解,
所以A∩B至多有一个元素.
(3)取a1=1,d=1,对一切的n∈N*,
有an=a1+(n-1)d=n>0,>0,
这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,
另外,由于a1=1≠0,如果A∩B≠∅,
那么根据(2)的结论,A∩B至多有一个元素(x0,y0),而x0==-<0,y0=
=-<0,这样的(x0,y0)∉A,产生矛盾,故a1=1,d=1时,A∩B=∅,所以,当a1≠0时,一定有A∩B≠∅是不正确的.
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.(2008·湖北理,2)若非空集合A、B、C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则下列说法
中正确的是________(填序号).
①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
③“x∈C”是“x∈A”的充要条件
④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
解析 由题意知,A、B、C的关系用图来表示.
若x∈C,不一定有x∈A,而x∈A,则必有x∈C,
因此“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
答案 ②
2.(2009·重庆改编)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是
________________.
解析 原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数.
答案 若一个数的平方是正数,则它是负数
3.(2009·苏州调研)命题“若a>b,则ac2>bc2 (a,b∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题
中,真命题的个数为________个.
解析 若a>b,c2=0,则ac2=bc2.∴原命题为假.
若ac2>bc2,则c2≠0且c2>0,则a>b.∴逆命题为真.
又∵逆命题与否命题等价,∴否命题也为真.
又∵逆否命题与原命题等价,∴逆否命题为假.
答案 2
4.(2009·天津改编)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的____________条件.
解析 当x=1时,x3=x成立.
若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1;不一定得到x=1.
答案 充分不必要
5.(2010·徐州模拟)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数
y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的
取值范围是__________________.
解析 命题p等价于Δ=a2-16≥0,∴a≤-4或a≥4;
命题q等价于-≤3,∴a≥-12.
p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q一真一假.
∴实数a的取值范围为(-4,4)∪(-∞,-12).
答案 (-4,4)∪(-∞,-12)
6.(2009·安徽改编)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的____________条件.
解析 由于a>b,且c>d⇒a+c>b+d,
而a+c>b+dD⇒/a>b且c>d,
所以“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
7.(2010·青岛模拟)“a<0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的____________条
件.
解析 当a<0时,Δ=4-4a>0,由韦达定理知x1·x2=<0,故此一元二次方程有一个正根
和一个负根,符合题意;当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0,因为当a=0
时,该方程仅有一根为-,所以a不一定小于0.由上述推理可知,“a<0”是方程“ax2
+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
8.(2009·广东汕头二模)已知命题p:方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一
个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0.若命题“p或q”是假命题,则a的取值范围是
______________________.
解析 由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,
显然a≠0,∴x=-或x=.
∵x∈[-1,1],故|-|≤1或||≤1,
∴|a|≥1.
只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.
∴命题“p或q”为真命题时,|a|≥1或a=0.
∵命题“p或q”为假命题,
∴a的取值范围为{a|-1bc,则abc真命题
否命题 当c<0时,若ac≤bc,则a≥b真命题
逆否命题 当c<0时,若a≥b,则ac≤bc真命题.
(2)逆命题 若a=0或b=0,则ab=0真命题
否命题 若ab≠0,则a≠0且b≠0真命题
逆否命题 若a≠0且b≠0,则ab≠0真命题.
11.(16分)(2009·江苏省华罗庚中学第一次教学质量检测)已知a>0,a≠1,设p:函数y=loga(x
+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p
且q为假命题,p或q为真命题,求a的取值范围.
解 若p为真,则00即(2a-3)2-4>0解得a<或a>.
∵p且q为假,p或q为真,
∴p与q中有且只有一个为真命题.(a>0且a≠1)
(1)⇒⇒≤a<1
(2)⇒⇒a>
综上所述,a的取值范围为[,1)∪(,+∞).
12.(16分)(2009·江苏省徐州六县一区联考)已知m∈R,设p:不等式|m2-5m-3|≥3;q:函
数f(x)=x3+mx2+(m+)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使p且q为真命题的m的取值
范围.
解 由已知不等式得
m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5;
不等式②的解为m≤-1或m≥6.
所以,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,p为真命题.
对函数f(x)=x3+mx2+(m+)x+6求导得,
f′(x)=3x2+2mx+m+,
令f′(x)=0,即3x2+2mx+m+=0,
当且仅当Δ>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值.
由Δ=4m2-12m-16>0得m<-1或m>4,
所以,当m<-1或m>4时,q为真命题.
综上所述,使p且q为真命题时,实数m的取值范围为
(-∞,-1)∪(4,5]∪[6,+∞).
§1.3 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.(2009·天津改编)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是________________________.
解析 命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”.
答案 对任意的x∈R,2x>0
2.(2010·镇江模拟)“△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是
__ __________________.
答案 △ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角
3.(2009·苏南四市模拟)命题“∃x∈R,x≤1或x2>4”的否定是__________________.
解析 已知命题为存在性命题,故其否定应是全称命题.
答案 ∀x∈R,x>1且x2≤4
4.(2010·石家庄模拟)已知m、n是不同的直线,α、β是不重合的平面.
命题p:若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
命题q:若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β.
下面的命题中,①p∨q;②p∧q;③p∨綈p;④綈p∧q.
真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).
解析 ∵命题p是假命题,命题q是真命题.
∴綈p是真命题,綈q是假命题,
∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p∨綈q是假命题,
綈p∧q是真命题.
答案 ①④
5.(2009·济宁模拟)已知命题p:∃x∈R,使sin x=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.
给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;③命题“綈p∨q”
是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题.其中正确的是_______________________.
解析 因p为假命题,q为真命题,故綈p是真命题,綈q是假命题;所以p∧q是假命题,
p∧綈q是假命题,綈p∨q是真命题.
答案 ②③
6.(2009·潍坊模拟)下列命题中真命题的个数为__________.
①p:∀x∈R,x2-x+≥0;
②q:所有的正方形都是矩形;
③r:∃x∈R,x2+2x+2≤0;
④s:至少有一个实数x,使x2+1=0.
解析 x2-x+=(x-)2≥0,故①是真命题;x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故③是假命题;
易知②是真命题,④是假命题.
答案 2
7.(2010·江西三校联考)设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题:
①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值;
②若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,且x≠x0,有f(x)0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根;
(2)若x、y都是奇数,则x+y是奇数;
(3)若abc=0,则a、b、c中至少有一个为零.
解 (1)否命题:若m≤0,则关于x的方程x2+x-m=0
无实数根,是假命题.
命题的否定:若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0无实数根,是假命题.
(2)否命题:若x、y不都是奇数,则x+y不是奇数,是假命题.
命题的否定:若x、y都是奇数,则x+y不是奇数,是真命题.
(3)否命题:若abc≠0,则a、b、c全不为0,是真命题.
命题的否定:若abc=0,则a、b、c全不为0,是假命题.
11.(16分)(2009·江苏盐城模拟)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-ln x-a≥0”与命题q:“∃
x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题,求实数a的取值范围.
解 ∵∀x∈[1,2],x2-ln x-a≥0,
∴a≤x2-ln x,x∈[1,2],
令f(x)=x2-ln x,x∈[1,2],
则f′(x)=x-,
∵f′(x)=x->0(x∈[1,2]),
∴函数f(x)在[1,2]上是增函数.
∴f(x)min=,∴a≤.
又由命题q是真命题得Δ=4a2+32+24a≥0,
解得a≥-2或a≤-4.
因为命题p与q均为真命题,
所以a的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,].
12.(16分)(2010·镇江调研卷)已知命题p:lg(x2-2x-2)≥0,命题q:|1-|<1.若p是真命题,
q是假命题,求实数x的取值范围.
解 由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,
∴x≥3或x≤-1;
由|1-|<1,得-1<1-<1,
∴0
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