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  • 2021-05-13 发布

高考文科数学江西卷word解析版

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‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 文史类(江西卷)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(2013江西,文1)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在(  ).‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 解析:z=i(-2-i)=1-2i,在复平面上的对应点为(1,-2),在第四象限,故选D.‎ ‎2.(2013江西,文2)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=(  ).‎ A.4 B.‎2 C.0 D.0或4‎ 答案:A 解析:当a=0时,显然不成立;当a≠0时.由Δ=a2-‎4a=0,得a=4.故选A.‎ ‎3.(2013江西,文3)若,则cos α=(  ).‎ A. B. C. D.‎ 答案:C 解析:cos α=.故选C.‎ ‎4.(2013江西,文4)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是(  ).‎ A. B. C. D.‎ 答案:C 解析:从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为.故选C.‎ ‎5.(2013江西,文5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.‎07 C.02 D.01‎ 答案:D 解析:所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.‎ ‎6.(2013江西,文6)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(  ).‎ A.(-∞,-1) B.(-1,0)‎ C.(0,1) D.(1,+∞)‎ 答案:A 解析:原不等式等价于①或②‎ ‎①无解,解②得x<-1.故选A.‎ ‎7.(2013江西,文7)阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是(  ).‎ A.S<8 B.S<‎9 C.S<10 D.S<11‎ 答案:B 解析:i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9,结束.所以填入的条件是“S<9”.故选B.‎ ‎8.(2013江西,文8)一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为(  ).‎ A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π 答案:A 解析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成.所以体积V=4×10×5+×π·32·2=200+9π.故选A.‎ ‎9.(2013江西,文9)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=(  ).‎ A.2∶ B.1∶‎2 C.1∶ D.1∶3‎ 答案:C 解析:射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).‎ 如图所示,知tan α=,∴sin α=.‎ 由抛物线的定义知|MF|=|MG|,‎ ‎∴.故选C.‎ ‎10.(2013江西,文10)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为‎1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆 O沿l1以‎1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为(  ).‎ 答案:B 解析:假设经过t秒后,圆心移到O1,则有∠EO‎1F=2∠AO‎1F,且cos∠AO‎1F=1-t.‎ 而x=1·∠EO‎1F,∴y=cos x=cos ∠EO‎1F=cos 2∠AO‎1F=2cos2∠AO‎1F-1=2(1-t)2-1=2t2-4t+1=2(t-1)2-1,t∈[0,1].故选B.‎ 第Ⅱ卷 注意事项:‎ 第Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.(2013江西,文11)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=________.‎ 答案:2‎ 解析:切线斜率k==2,‎ 又y′=αxα-1在点(1,2)处,y′|x=1=α,故α=2.‎ ‎12.(2013江西,文12)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.‎ 答案:6‎ 解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn==2(-1+2n)≥100,∴2n≥51,∴n≥6.‎ ‎13.(2013江西,文13)设f(x)=sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.‎ 答案:[2,+∞)‎ 解析:∵f(x)=sin 3x+cos 3x=2sin∈[-2,2],又∵|f(x)|≤a恒成立,∴a≥2.‎ ‎14.(2013江西,文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是________.‎ 答案:‎ 解析:圆心在直线x=2上,所以切点坐标为(2,1).‎ 设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t2=(1-t)2,∴,半径.‎ 所以圆C的方程为.‎ ‎15.(2013江西,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.‎ 答案:4‎ 解析:作FO⊥平面CED,则EO⊥CD,FO与正方体的侧棱平行,所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(2013江西,文16)(本小题满分12分)正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.‎ 由于{an}是正项数列,所以an=2n.‎ ‎(2)由an=2n,,则,‎ ‎.‎ ‎17.(2013江西,文17)(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.‎ ‎(1)求证:a,b,c成等差数列;‎ ‎(2)若,求的值.‎ 解:(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,‎ 因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B.‎ 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.‎ ‎(2)由,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,‎ 即有5ab-3b2=0,所以.‎ ‎18.(2013江西,文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值;‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ 解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.‎ ‎(2)数量积为-2的有·,共1种;‎ 数量积为-1的有·,·,·,·,·,·,共6种;‎ 数量积为0的有·,·,·,·,共4种;‎ 数量积为1的有·,·,·,·,共4种.‎ 故所有可能的情况共有15种.‎ 所以小波去下棋的概率为;‎ 因为去唱歌的概率为,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=.‎ ‎19.(2013江西,文19)(本小题满分12分)如图,直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.‎ ‎(1)证明:BE⊥平面BB‎1C1C;‎ ‎(2)求点B1到平面EA‎1C1的距离.‎ ‎ (1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.‎ 在Rt△BFE中,BE=.‎ 在Rt△CFB中,BC=.‎ 在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,‎ 故BE⊥BC.‎ 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1,‎ 所以BE⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎(2)解:三棱锥EA1B‎1C1的体积V=AA1·=.‎ 在Rt△A1D‎1C1中,A‎1C1=.‎ 同理,EC1=,‎ A1E=.‎ 故=.‎ 设点B1到平面EA‎1C1的距离为d,则三棱锥B‎1A1C1E的体积 V=·d·=,‎ 从而,.‎ ‎20.(2013江西,文20)(本小题满分13分)椭圆C:(a>b>0)的离心率,a+b=3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:‎2m-k为定值.‎ 解:(1)因为,‎ 所以,.‎ 代入a+b=3,得,a=2,b=1.‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2),①‎ ‎①代入,解得P.‎ 直线AD的方程为:.②‎ ‎①与②联立解得M.‎ 由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知,解得N.‎ 所以MN的斜率为m=,‎ 则‎2m-k=(定值).‎ 方法二:设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则,‎ 直线AD的方程为:,‎ 直线BP的方程为:,‎ 直线DP的方程为:,令y=0,由于y0≠1可得N,‎ 联立 解得M,‎ 因此MN的斜率为 m=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=,‎ 所以‎2m-k=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=(定值).‎ ‎21.(2013江西,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;‎ ‎(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.‎ 解:(1)当时,,.‎ ‎(2)f(f(x))=‎ 当0≤x≤a2时,由解得x=0,‎ 因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;‎ 当a2<x≤a时,由解得∈(a2,a),‎ 因,‎ 故为f(x)的二阶周期点:‎ 当a<x<a2-a+1时,由(x-a)=x解得∈(a,a2-a+1),‎ 因,‎ 故不是f(x)的二阶周期点;‎ 当a2-a+1≤x≤1时,‎ 由解得∈(a2-a+1,1),因=,‎ 故为f(x)的二阶周期点.‎ 因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,,.‎ ‎(3)由(2)得A,‎ B,‎ 则,,‎ 因为a∈,有a2+a<1,‎ 所以 ‎=.‎ ‎(或令g(a)=a3-‎2a2-‎2a+2,‎ g′(a)=‎3a2-‎4a-2‎ ‎=,‎ 因a∈(0,1),g′(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为,‎ 故对于任意a∈,g(a)=a3-‎2a2-‎2a+2>0,‎ ‎),‎ 则S(a)在区间上单调递增,‎ 故S(a)在区间上的最小值为,最大值为.‎