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- 2021-05-13 发布
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四川南充2019年高三第一次高考适应性考试-数学理
数学试卷(理科)
(考试时间120分钟,满分150分)
一、 选择题(每题5分,共50分)
1.是虚数单位,复数=( )
A. B. C. D.
2.已知全集,集合,,则( )
A. B.
C. D.
3.设是三条不同的直线,是两个不同的平面,则的一个充分条件是( )
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
5.为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )
A.向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
6.函数 的图像大致为下图的( )
7.执行如下图的程序框图,则输出的值是( )
开始
输出S
结束
是
否
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为,、是方程的两个根,则等于( )
A. B. C. D.
9.已知中,点是的中点,过点的直线分别交直线、于、两点,若,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.已知、为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,则此椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
填空题(每题5分,共25分)
11.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:),可得这个几何体的体积是 .
12.若的展开式中的系数是,则实数的值是 .
13.在体积为的三棱锥的棱上任取一点,则三棱锥的体积大于的概率是 .
14.已知是直线上的动点,、是圆的两条切线,、是切点,是圆心,那么四边形面积的最小值为 .
15.对于三次函数,定义是函数的导函数。若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心。根据这一发现,对于函数,则…的值为 .
解答题(共6小题,共75分)
16.(此题满分12分)
已知的三个内角、、所对的边分别为、、;向量,,且.
(I)求的大小;
(II)若,求
17.(此题满分12分)
某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段,现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,制成如下频率分布表:
分数(分数段)
频数(人数)
频率
①
0.16
22
②
14
0.28
③
④
合计
50
1
(I)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);
(II)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答4道小题,只要答对2道题就终止答题,并获得一等奖,如果前三道题都答错,就不再答第四题。某同学进入决赛,每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率;
②记该同学决赛中答题个数为,求的分布列及数学期望.
18.(此题满分13分)
如图,是边长为3的正方形,平面,,,与平面所成的角.
(I)求证:平面
(II)求二面角的余弦值;
(III)设点是线段上一个动点,试确定的位置,使得平面,并证明你的结论.
19.(此题满分12分)
设数列的各项都为正数,其前项和为,已知对任意,是和的等差中项.
(I)证明数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(II)证明.
20.(此题满分12分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离为3.
(I)求椭圆的方程;
(II)是否存在斜率为,且过定点的直线,使与椭圆交于两个不同的点、,且,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由
21.(此题满分14分)
设函数.
(I)求函数的最小值;
(II)设,讨论函数的单调性;
(III)斜率为的直线与曲线交于、两点,求证:.
南充市高2018届第一次高考适应性考试
数学理科答案
一、 选择题(50分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 A D C A B C D A D C
二、 填空题(25分)
11. ; 12. 2 ; 13. ; 14. 2 ; 15. 3018
三、 解答题(75分)
16.(此题满分12分)
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
17. (此题满分12分)
解:(Ⅰ) ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 …………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:P = 0.4
①该同学恰好答满4道题而获得一等奖,即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对
才获得一等奖,则有 ……………………………6分
②因为只要答对2道题就终止答题,并获得一等奖,所以该同学答题个数为2、3、4.
即X= 2、3、4
分布列为:
……………………………12分
18.(此题满分13分)
解:(Ⅰ证明:因为DE⊥平面ABCD,
所以DE⊥AC.
因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
从而AC⊥平面BDE. ……………………………4分
(Ⅱ)因为DA,DC,DE两两垂直,
所以建立空间直角坐标系D-xyz如下图.
因为BE与平面ABCD所成角为60°,
即∠DBE=60°,
所以=.
因为正方形ABCD的边长为3,所以BD=3,
所以DE=3,AF=.
则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),
所以=(0,-3,),=(3,0,-2),
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=,则n=(4,2,).
因为AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的一个法向量,=(3,-3,0),
所以cos〈n,〉===.
因为二面角为锐角,所以二面角F-BE-D的余弦值为. …………………9分
(Ⅲ)点M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).
则=(t-3,t,0),
因为AM∥平面BEF,
所以·n=0,
即4(t-3)+2t=0,解得t=2.
此时,点M坐标为(2,2,0),BM=BD,符合题意. …………………………13分
19.(此题满分12分)
(Ⅱ)因为,则. ………10分
所以2(. …12分
20.(此题满分12分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由已知得.
设右焦点为,由题意得 ……………………………2分
.
椭圆的方程为. ……………………4分
21.(此题满分14分)
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
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