高考数学试题文理科 9页

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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题文理科

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一九八一年(理科)‎ 一.(本题满分6分)‎ 设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:1.A∪B, 2.A∩B.‎ 解:1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。‎ 二.(本题满分6分)‎ 在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果:(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。‎ 解:1.选举种数P42=12(种)所有可能的选举结果:‎ AB、AC、AD、BC、BD、CD、‎ BA、CA、DA、CB、DB、DC。‎ ‎2.选举种数C43=4(种)所有可能的选举结果:‎ ABC、ABD、ACD、BCD。‎ 三.(本题满分8分)‎ 下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是。‎ A B A是B的什么条件 ‎1‎ 四边形ABCD为平行四边形 四边形ABCD为矩形 必要条件 ‎2‎ a=3‎ ‎|a|=3‎ 充分条件 ‎3‎ θ=1500‎ sinθ=‎ 充分条件 ‎4‎ 点(a,b)在圆x2+y2=R2上 a2+b2=R2‎ 充要条件 解:见上表。‎ 四.(本题满分8分)‎ 写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。‎ 证二:解析法:以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).‎ ‎ Y ‎ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ b a ‎ ‎ ‎ ‎ A O c B X ‎ 由两点距离公式得:‎ a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2‎ ‎=b2+c2-2bccosA.‎ 五.(本题满分10分)‎ 解不等式(x为未知数):‎ 解:右式=x2(x-a-b-c)>0‎ 原不等式解是x≠0,x>a+b+c。‎ 六.(本题满分10分)‎ 用数学归纳法证明等式 对一切自然数n都成立。‎ 证:略。‎ 七.(本题满分15分)‎ 设1980年底我国人口以10亿计算。‎ ‎(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?‎ ‎(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?‎ 下列对数值可供选用:‎ lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417‎ lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720‎ lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060‎ 解:1.所求人口数x(亿)是等比数列 ‎10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即 x=10×(1.02)20,‎ 两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,‎ ‎∴x=14.859(亿)‎ ‎2.设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得 ‎10×(1+y%)20≤12,‎ ‎(1+y%)20≤1.2.‎ 根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得 ‎20lg(1+y%)≤lg1.2.‎ 即 lg(1+y%)≤0.00396.‎ ‎∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.‎ 答:略。‎ 八.(本题满分17分)‎ 在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B。已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ P 1200 ‎ ‎ Q ‎ ‎ E B ‎ ‎ A ‎ ‎ ‎ ‎ F D C ‎ ‎1.求直线AB和棱a所成的角;‎ ‎2.求直线AB和平面Q所成的角。‎ 解:1.在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,‎ 从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C。‎ ‎∴∠ABC等于AB和a所成的角。‎ ‎∠ADC为两面角P-a-Q的平面角,‎ ‎∴∠ADC=1200。又AD=2,BCDE为矩形,∴CD=BE=4。‎ 连接AC,由余弦定理得 又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面。再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC。‎ 在直角△ABC中,‎ ‎2.在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于点F。‎ 因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q。‎ 在△ADF中,∠ADF=600,AD=2,∴AF=‎ 连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以 九.(本题满分17分)‎ 给定双曲线 ‎1.过点A(2,1)的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程。‎ ‎2.过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。‎ 解:设直线L的方程为 y=k(x-2)+1, (1)‎ 将(1)式代入双曲线方程,得:‎ 又设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1,x2必须是(2)的两个实根,所以有 按题意,‎ 因为在直线(1)上,所以 再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为 这就是所求的轨迹方程。‎ ‎2.设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得 设必须是(3)的两个实根,即 如果B是Q1Q2的中点,就有,即,所以有综合起来,k应满足 由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(I)无解。‎ 故满足题设中条件的直线不存在。‎ 十.(附加题,本题满分20分,计入总分)‎ 已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图)设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2, u3=a3-a2b+ab2-b3,…………,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;‎ 求证:un=un-1+un-2(n≥3)‎ 证:通项公式可写成 uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk=‎ ‎ E D ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ F O C ‎ 因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,‎ ab=AC·BC=CD2=1。‎ 一九八一年(文科)‎ 一.(本题满分6分)‎ 设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:1.A∪B, 2.A∩B.‎ 解:1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。‎ 二.(本题满分8分)‎ 化简:‎ 解:原式=。‎ 三.(本题满分6分)‎ 在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果:(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。‎ 解:1.选举种数P42=12(种)所有可能的选举结果:‎ AB、AC、AD、BC、BD、CD、‎ BA、CA、DA、CB、DB、DC。‎ ‎2.选举种数C43=4(种)所有可能的选举结果:‎ ABC、ABD、ACD、BCD。‎ 四.(本题满分10分)‎ 求函数f(x)=sinx+cosx在区间(-π,π)上的最大值。‎ 解:‎ 五.(本题满分10分)‎ 写出正弦定理,并对钝角三角形的情况加以证明。‎ 答:‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ a ‎ ‎ D ‎ ‎ c ‎ ‎ E A C ‎ ‎ b 证:引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E。‎ 设△ABC的面积为S,则 将上式除以得:‎ 六.(本题满10分)‎ 已知正方形ABCD的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B和D的坐标。‎ 解:设AC中点为M(x,y),则有 又设AC斜率为k,则k=3。因此得BD的斜率为。‎ 故有直线BD的方程:‎ 又以M点为圆心,|MA|为半径的圆的方程为 解方程(1)、(2)得B、D的坐标为(4,1)及(-2,3)。‎ ‎(注:用复数法解亦可。)‎ 七.(本题满分17分)‎ 设1980年底我国人口以10亿计算。‎ ‎(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?‎ ‎(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?‎ 下列对数值可供选用:‎ lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417‎ lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720‎ lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060‎ 解:1.所求人口数x(亿)是等比数列 ‎10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即 x=10×(1.02)20,‎ 两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,‎ ‎∴x=14.859(亿)‎ ‎2.设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得 ‎10×(1+y%)20≤12,‎ ‎(1+y%)20≤1.2.‎ 根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得 ‎20lg(1+y%)≤lg1.2.‎ 即 lg(1+y%)≤0.00396.‎ ‎∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.‎ 答:略。‎ 八.(本题满分15分)‎ ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱,过A、C、B1三点作一截面,求证:‎ 截面ACB1⊥对角面DBB1D1。‎ ‎ D1 C1 ‎ ‎ ‎ A1 B1 ‎ ‎ D C ‎ ‎ O ‎ ‎ A B 证:设AC、BD交于O点。‎ 作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形。由于AC1是正四棱柱,所以ABCD是正方形,故AC⊥BD;又BB1⊥底面ABCD,故BB1⊥AC。∴AC⊥对角面BB1D1D。‎ 已知AC在截面ACB1内,故有 截面ACB1⊥对角面BB1D1D。‎ 九.(本题满分18分)‎ ‎1.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为,求k的值。‎ ‎2.以本题(1)得到的弦为底边,以x轴上的点P为顶点做成三角形。当这三角形的面积为9时,求P的坐标。‎ ‎ ‎ ‎ Y y=2x+k ‎ ‎ ‎ ‎ P2 y2=4x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ O X ‎ ‎ P1 ‎ 解:设直线与抛物线的交点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2).解方程组:‎ ‎2.设x轴上一点P的坐标为(,0)又点P到直线P1P2的距离为h,则有。‎ 依题意得△PP1P2的面积关系:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎