高考理科数学全国卷二试题及答案 11页

‎2005年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案 ‎（黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆）‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上 ‎3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ‎ ‎ 如果事件A、Ｂ相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 ‎　‎ 一、选择题 ‎（１）函数的最小正周期是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（２）正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是 ‎（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 ‎（３）函数的反函数是 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎（４）已知函数在内是减函数，则 ‎（A）０＜≤１（B）－１≤＜０（C）≥１（D）≤－１‎ ‎（５）设、、、，若为实数，则 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎（６）已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（７）锐角三角形的内角、满足，则有 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎（８）已知点，，．设的平分线与相交于，那么有，其中等于 ‎（A）２（B）（C）－３（D）－‎ ‎（９）已知集合，，则为 ‎（A）或（B）或 ‎（C）或　　　　（D）或 ‎（10）点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为 ‎（A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10）‎ ‎（11）如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则 ‎（A）（B）（C）++（D）=‎ ‎（12）将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ‎（A）（B）2+（C）4+（D）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 ‎3．本卷共10小题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 ‎（13）圆心为(1,2)且与直线相切的圆的方程为_____________． ‎ ‎（14）设为第四象限的角，若，则_____________．‎ ‎（15）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____________个．‎ ‎（16）下面是关于三棱锥的四个命题：‎ ‎①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 设函数，求使的取值范围．‎ ‎（18） （本小题满分12分）‎ 已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列．又，…．‎ ‎（Ⅰ）证明为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．‎ ‎（注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令 为本场比赛的局数．求的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知，函数．‎ ‎（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1-6: CDBBCC 7-12:ACACBC ‎(2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力，通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.‎ ‎(12) 解析一：由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1‎ 如图一所示显然设分别为的中点，‎ 图一 在棱长为2的正四面体中，‎ ‎, ‎ ‎∴　，且.‎ 作，则，‎ 由于,‎ ‎∴ ‎ ‎∴　‎ 故选C 解析二：由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1　如图二所示,　正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体，其相似比为：‎ ‎,所以 所以 图二 解析三：由题意，四个半径为1的小球的球心 ‎,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1　如图二所示,正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体，从而有 ‎,‎ 又, 所以 由于,‎ 所以 ‎13.；14. ；15. 192；16. ①，④‎ ‎(13)分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x－12y－7=0的距离：，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容易得到圆的方程：‎ ‎（16）分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等。由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心(本题的中心)1个、旁心3个。因此不能保证三棱锥是正三棱锥．‎ ‎17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力 解：∵f (x)=2|x+1|－|x－1|≥2=, 即|x+1|－|x－1|≥‎ 当x≤ －1时，原不等式化为：－2≥(舍)；‎ 当－11时, 原不等式化为：2≥,‎ 此时,x>1‎ 故原不等式的解集为：‎ ‎18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力 ‎⑴证明：设{an}中首项为a1，公差为d.‎ ‎∵lga1,lga2,lga4成等差数列 ∴2lga2=lga1·lga4 ∴a22=a1·a4. ‎ 即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0或d=a1‎ 当d=0时, an=a1, bn=, ∴，∴为等比数列；‎ 当d=a1时, an=na1 ,bn=，∴，∴为等比数列 综上可知为等比数列 ‎⑵∵无穷等比数列{bn }各项的和 ‎∴|q|<1, 由⑴知，q=, d=a1 . bn=‎ ‎∴, ∴a1=3‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎19. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力 解：ξ的所有取值为3,4,5‎ P(ξ=3)=；‎ P(ξ=4)=；‎ P(ξ=5)= ‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.28‎ ‎0.3744‎ ‎0.3456‎ ‎∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656‎ ‎20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力 解：方法一：‎ ‎⑴取PA中点G, 连结FG, DG ‎ ‎ ‎⑵设AC, BD交于O，连结FO.‎ 设BC=a, 则AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.‎ 设C到平面AEF的距离为h.‎ ‎∵VC－AEF=VF－ACE, ∴ ‎ 即 ∴ ‎ ‎∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.‎ 即AC与平面AEF所成角为 方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，‎ ‎（1）证明：‎ 设，其中，则，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎（2）解：由得，‎ 可得 ‎，‎ 则异面直线AC，PB所成的角为，‎ ‎，‎ 又，AF为平面AEF内两条相交直线，‎ ‎，‎ AC与平面AEF所成的角为，‎ 即AC与平面AEF所成的角为 ‎21. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等式的性质等基本知识及综合分析能力 解：∵. 即.‎ 当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴. ‎ 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.‎ ‎∵F(0, 1) ∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0分别代入椭圆中得：|MN|=, |PQ|=2‎ ‎∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2‎ 当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，代入椭圆中得 ‎(k2+2)x2+2kx－1=0, ‎ ‎∴x1+x2=, x1·x2=‎ ‎∴‎ 同理可得：‎ ‎∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|==‎ ‎(当且仅当即时，取等号).‎ 又S四边形PMQN =，∴此时, S四边形PMQN 综上可知：(S四边形PMQN )max=2, (S四边形PMQN )min=‎ ‎22. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 解：⑴令=0 即[x2－2(a－1)x－2a]ex=0 ∴x2－2(a－1)x－2a=0‎ ‎∵△=[2(a－1)]2+8a=4(a2+1)>0 ∴x1=, x2=‎ 又∵当x∈(－∞, )时，>0；‎ 当x∈(, )时，<0；‎ 当x∈(, +∞)时，>0‎ ‎∴x1, x2分别为f (x)的极大值与极小值点.‎ 又∵；当时.‎ 而f ()=<0.‎ ‎∴当x=时，f (x)取得最小值 ‎⑵f (x)在[－1, 1]上单调，则≥ 0(或≤ 0)在[－1, 1]上恒成立 而=[x2－2(a－1)x－2a]ex, 令g(x)= x2－2(a－1)x－2a=[x－(a－1)]2－(a2+1).‎ ‎∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0) ‎ 当g(x) ≥ 0在[－1, 1]上恒成立时，有 ‎①当－1≤ a－1 ≤1即0≤ a ≤2时, g(x)min=g(a－1)= －(a2+1) ≥ 0(舍)；‎ ‎②当a－1>1即a ≥ 2时, g(x)min=g(1)= 3－4a ≥ 0 ∴a≤(舍).‎ 当g(x) ≤ 0在[－1, 1]上恒成立时，有 ‎①当－1≤ a－1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1时, g(x)max=g(1)=3－4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；‎ ‎②当0< a－1 ≤ 1即1< a ≤ 2时, g(x)max=g(－1)= －1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；‎ ‎③当1< a－1即a > 2时, g(x)max=g(－1)= －1 ≤ 0, ∴a >2‎ 故a∈[,+∞) ‎