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- 2021-05-13 发布
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第一部分 专题一 第三讲 不等式及线性规划
A组
1．若a>b>0，c B．<
C．> D．<
[解析] 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，
所以A，B错误；
＝－，＝－，
所以<，
所以C错误．故选D．
2．下列不等式一定成立的是( C )
A．lg(x2＋)>lgx(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
[解析] 应用基本不等式：x，y>0，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证一正二定三相等，
而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
3．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，
11
x2)，且x2－x1＝15，则a等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
4．(2017·长春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(ex)>0的解集为( D )
A．{x|x<－1或x>－ln3}
B．{x|－1－ln3}
C．{x|x>－ln3}
D．{x|x<－ln3}
[解析] f(x)>0的解集为{x|－10得－10的解集为{x|x<－ln3}．
5．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( C )
A．4 B．9
C．10 D．12
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2取得最大值．由，解得，故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C．
6．(文)若实数x、y满足不等式组则w＝的取值范围是( D )
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
11
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M(x，y)与点P(－1,1)连线斜率的取值范围．
由图可知wmin＝＝－，wmax<1，
∴w∈[－，1)．
(理)已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( D )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,3] D．[1,4]
[解析] 作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，易知当点M为点C(0,2)时，·取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M为点B(1,1)时，·取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以·的取值范围为[1,4]，故选D．
7．某企业生产甲、乙两种新产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
[解析] 设企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得x，y满足：不等式组表示的可行域是以O(0,0)，
11
A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( C )
A．[1,2] B．(0，]
C．[，2] D．(0,2]
[解析] 因为loga＝－log2a，所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C．
9．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( B )
A． B．
C．1 D．2
[解析] 画出可行域，如图所示，
由
得A(1，－2a)，则直线y＝z－2x过点A(1，－2a)时，z＝2x＋y取最小值1，故2×1－2a＝1，解得a＝.
10．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是( C )
A．2－21)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，
则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或
解得m<2＋2.
11
11．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( A )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.又AC2＋BD2≥2AC·BD，则AC·BD≤10，
∴S四边形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，
当且仅当AC＝BD＝时等号成立．
12．函数f(x)＝若f(x0)≤，则x0的取值范围是( C )
A．(log2，) B．(0，log2]∪[，＋∞)
C．[0，log2]∪[，2] D．(log2，1)∪[，2]
[解析] ①当0≤x0<1时，2x0≤，x0≤log2，
∴0≤x0≤log2.
②当1≤x0≤2时，4－2x0≤，x0≥，
∴≤x0≤2，故选C．
13．(2018·衡水中学高三调研)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是(，e2).
[解析] ∵|f(1＋lnx)|<1，∴－10，则＋的最小值为＋.
[解析] ∵点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，
∴2m＋n＝2，
∵＋＝(＋)＝(2＋＋＋1)≥(3＋2＝＋，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
∴＋的最小值为＋.
16．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，－)∪[1，＋∞).
[解析] 对于函数
f(x)＝
当x≤1时，f(x)＝－(x－)2＋≤；
当x>1时，f(x)＝logx<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，
则m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.
B组
1．(2018·山东菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( A )
A．9 B．8
C．4 D．2
11
[解析] 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
2．(2018·天津二模)已知函数f(x)＝，则不等式f(1－x2)>f(2x)的解集是( D )
A．{x|－1－1＋}
C．{x|－1－－1}
[解析] 由f(x)＝可得当x≤1时，函数f(x)为减函数，则由f(1－x2)>f(2x)可得或解得x<－1－或－1，所以不等式f(1－x2)>f(2x)的解集是{x|x<－1－或x>－1}．
3．已知x，y满足约束条件 若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( B )
A． 3 B． 2
C． －2 D． －3
[解析] 由约束条件可画可行域如图，解得A(2,0)，B(1,1)．若过点A(2,0)时取最大值4，则a＝2，验证符合条件；若过点B(1,1)时取最大值4，则a＝3，而若a＝3，则z＝3x＋y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点)，不符合题意. (也可直接代入排除)
4．(2018·德州模拟)若a＝，b＝，c＝，则( C )
11
A．a1，所以b>a，
＝＝＝log2532>1，
所以a>c，
故b>a>c.
5．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( A )
A． B．
C． D．不存在
[解析] 由an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，
则a6q＝a6＋，所以q2－q－2＝0.
因为q>0，所以q＝2，
因为＝4a1，所以a·qm＋n－2＝16a，
所以m＋n－2＝4，
所以m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．
6．若变量x，y满足则点P(2x－y，x＋y)表示区域的面积为( D )
A． B．
C． D．1
[解析] 令2x－y＝a，x＋y＝b，
解得
代入x，y的关系式得
画出不等式组表示的平面区域如图．
11
易得阴影区域面积S＝×2×1＝1.
7．(2018·临沂模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( D )
A．[，＋∞) B．(0,1]
C．[1，) D．(0,1]∪[，＋∞)
[解析] 不等式组表示区域如图．
由图可知，0}，则f(10x)>0的解集为{x|x<－lg_2}.
[解析] 由题意知，一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，因为f(10x)>0，所以－1<10x<，即x0时，f(x)＝x＋≥2，若f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a≤2.
11．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝2，当x1、x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有>0，若f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]、a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是[－1,1].
[解析] ∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴当x1、x2∈[－1,1]且x1＋x2≠0时，
>0等价于>0，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．
∵f(1)＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
要使f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]，a∈[－1，1]恒成立，
即－2≥m2－2am－5对所有a∈[－1,1]恒成立，
∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，
则即∴－1≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[－1,1]．
12．(2017·天津卷，16)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放
时长(分钟)
广告播放时
长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
11
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
[解析] (1)由已知x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，
当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组
得
则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
11
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