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  • 2021-05-13 发布

高考数学抢分必备抢分点函数导数及其应用

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抢分点1 函数、导数及其应用 ‎【重温高考】‎ ‎1、(2009北京文)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.‎ ‎【抢分点】(1)常见函数求导;‎ ‎(2)导数的相关概念、几何意义;‎ ‎(3)函数的单调区间。‎ ‎2、(2009北京理)(本小题共13分)‎ 设函数 ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.‎ ‎【抢分点】(1)利用导数研究函数的单调性和极值;‎ ‎(2)解不等式;‎ ‎(3)分类讨论思想。‎ ‎3、(2009广东卷理)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ 函数有两个零点,即;‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 当时,方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎★抢分点综上,当时,函数有一零点;‎ 当(),或()时,‎ 函数有两个零点;‎ 当时,函数有一零点 ‎【抢分点】(1)利用导数研究函数的单调性和极值;‎ ‎(2)距离公式;‎ ‎(3)分类讨论思想。‎ ‎4、(2009江西卷文)‎ 设函数.‎ ‎(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;‎ ‎(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.‎ ‎【抢分点】(1)函数求导;‎ ‎(2)函数最值、恒成立问题;‎ ‎(3)函数零点(根)的问题、讨论思想。‎ ‎5、(2009天津卷文)‎ 设函数 ‎(Ⅰ)当曲线处的切线斜率 ‎(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;‎ ‎(Ⅲ)已知函数有三个互不相同的零点0,,且。若对任意的,恒成立,求m的取值范围。‎ 因为 若,而,不合题意 若则对任意的有 则又,所以函数在的最小值为0,于是对任意的,恒成立的充要条件是,解得 综上,m的取值范围是 ‎【抢分点】(1)导数的几何意义,导数的运算;‎ ‎(2)函数与方程的根的关系;‎ ‎(3)解不等式。‎ ‎6、(2009湖南卷理)‎ 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为万元。‎ ‎ (Ⅰ)试写出关于的函数关系式;‎ ‎ (Ⅱ)当=‎640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?‎ ‎【抢分点】(1)函数的实际应用问题,题中找数学关系;‎ ‎(2)利用导数求最值问题。‎ ‎7、(2009年上海卷理)‎ ‎ 已知函数的反函数。定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”;若函数与 互为反函数,则称满足“积性质”。‎ (1) 判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;‎ (2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;‎ (3) 设函数对任何,满足“积性质”。求的表达式。‎ 综上所述,,此时,其反函数就是,‎ 而,故与互为反函数 。 ‎ ‎【抢分点】(1)反函数的相关概念;‎ ‎(2)函数中新定义类题型。‎ ‎8、(2009上海卷文)‎ 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数(),表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.‎ ‎(1)证明:当x 7时,掌握程度的增长量f(x+1)- f(x)总是下降;‎ ‎(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],‎ ‎(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.‎ ‎【抢分点】(1)分段函数及实际应用题;‎ ‎(2)函数单调性。‎ ‎9、(2009湖南卷文)‎ 已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.‎ ‎(Ⅰ)求b的值;‎ ‎(Ⅱ)若在处取得最小值,记此极小值为,求的定义域和值域。‎ ‎【解析】(Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称,‎ ‎【抢分点】(1)导函数的应用,最值问题;‎ ‎(2)函数图像的对称性;‎ ‎(3)函数单调性,定义域、值域。‎ ‎(4)分类讨论思想。‎ ‎10、(2009山东卷理)‎ 两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎(1)将y表示成x的函数;‎ ‎(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。‎ ‎【抢分点】(1)函数的实际应用题,找函数关系;‎ (1) 利用导数求最值。‎ ‎【预测10】‎ ‎【预测题】‎ 预测1‎ 设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线 平行,导函数的最小值为 ‎(Ⅰ)求,,的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值 ‎ ‎【预测理由】题型常规,考点为:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数的奇偶性。‎ 预测2‎ 已知函数且是的两个极值点,,‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)若,对恒成立。求实数的取值范围;‎ ‎【预测理由】考点交叉,考点为:利用导数研究函数的单调性、极值、等式恒成立问题。‎ 预测3‎ 已知定义在R上的函数,其中a为常数.‎ ‎ (I)若x=1是函数的一个极值点,求a的值;‎ ‎ (II)若函数在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围;‎ ‎ (III)若函数,在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.‎ ‎【预测理由】综合性强,考点为:利用导数研究函数的单调性、极值、函数构造。‎ 预测4‎ 已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.‎ ‎【预测理由】难度适中,考点为:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、证明。‎ 预测5‎ 已知在函数的图象上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 ‎ (Ⅰ)求m、n的值;‎ ‎ (Ⅱ)是否存在最小的正整数k,使得不等式恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;‎ ‎【预测理由】考生易入手,考点为:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题。‎ 预测6‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ ‎【预测理由】考查综合性强,考点为:导函数图像、导数几何意义、方程的零点问题、点间距离。‎ 预测7‎ 已知是函数的一个极值点,其中,‎ ‎(I)求与的关系式;‎ ‎(II)求的单调区间;‎ ‎(III)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围.‎ ‎【预测理由】小题层次区分度大,考点为:利用导数研究函数的单调性和极值、导数几何意义。‎ 预测8‎ 已知有极大值和极小值.‎ ‎ (1)求+的值;‎ ‎ (2)设曲线的极值点为A、B,求证:线段AB的中点在上.‎ ‎【预测理由】具有较强的数学意义,不难下笔。考点为:导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、中点坐标表示。‎ 预测9‎ 设实数a为正数,函数.‎ (1) 当时,求曲线在处的切线方程;‎ (2) 当时,求函数的最小值.‎ ‎【预测理由】小题层次区分度大,考点为:导数的含义、利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论思想。‎ 预测10‎ 已知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若关于的方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若函数的图像与轴无交点,求实数的取值范围.‎ ‎【预测理由】小题层次区分度大,考点为:导数的含义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数图像、函数与方程思想。‎ ‎ (II)①当a=0时,在区间(-1,0)上是增函数,符合题意;‎ ‎②当;‎ ‎ 当a>0时,对任意符合题意;‎ ‎ 当a<0时,当符合题意;‎ 记 ,则 .‎ 当变化时,变化情况如下表:★抢分点 ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 由的单调性,★抢分点当极大值或极小值时,方程 又 因此,当 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ ‎★抢分点 当时,方程有一解, , ‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故有上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减.‎ ‎(III)由已知得,即 又所以即①‎ 设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,‎ ‎ 所以曲线在处的切线方程为:。‎ ‎ (2)①当时,,‎ ‎,恒成立。 在上增函数。‎ 故当时,★抢分点 ‎② 当时,,‎ 而,所以此时的最小值为 所以函数的最小值为