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- 2021-05-13 发布
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抢分点1 函数、导数及其应用
【重温高考】
1、(2009北京文)
设函数.
(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.
【抢分点】(1)常见函数求导;
(2)导数的相关概念、几何意义;
(3)函数的单调区间。
2、(2009北京理)(本小题共13分)
设函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.
【抢分点】(1)利用导数研究函数的单调性和极值;
(2)解不等式;
(3)分类讨论思想。
3、(2009广东卷理)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
函数有两个零点,即;
若,,
函数有两个零点,即;
当时,方程有一解, ,
函数有一零点
★抢分点综上,当时,函数有一零点;
当(),或()时,
函数有两个零点;
当时,函数有一零点
【抢分点】(1)利用导数研究函数的单调性和极值;
(2)距离公式;
(3)分类讨论思想。
4、(2009江西卷文)
设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
【抢分点】(1)函数求导;
(2)函数最值、恒成立问题;
(3)函数零点(根)的问题、讨论思想。
5、(2009天津卷文)
设函数
(Ⅰ)当曲线处的切线斜率
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅲ)已知函数有三个互不相同的零点0,,且。若对任意的,恒成立,求m的取值范围。
因为
若,而,不合题意
若则对任意的有
则又,所以函数在的最小值为0,于是对任意的,恒成立的充要条件是,解得
综上,m的取值范围是
【抢分点】(1)导数的几何意义,导数的运算;
(2)函数与方程的根的关系;
(3)解不等式。
6、(2009湖南卷理)
某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为万元。
(Ⅰ)试写出关于的函数关系式;
(Ⅱ)当=640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?
【抢分点】(1)函数的实际应用问题,题中找数学关系;
(2)利用导数求最值问题。
7、(2009年上海卷理)
已知函数的反函数。定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”;若函数与
互为反函数,则称满足“积性质”。
(1) 判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3) 设函数对任何,满足“积性质”。求的表达式。
综上所述,,此时,其反函数就是,
而,故与互为反函数 。
【抢分点】(1)反函数的相关概念;
(2)函数中新定义类题型。
8、(2009上海卷文)
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数(),表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x 7时,掌握程度的增长量f(x+1)- f(x)总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],
(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
【抢分点】(1)分段函数及实际应用题;
(2)函数单调性。
9、(2009湖南卷文)
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若在处取得最小值,记此极小值为,求的定义域和值域。
【解析】(Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称,
【抢分点】(1)导函数的应用,最值问题;
(2)函数图像的对称性;
(3)函数单调性,定义域、值域。
(4)分类讨论思想。
10、(2009山东卷理)
两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数;
(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。
【抢分点】(1)函数的实际应用题,找函数关系;
(1) 利用导数求最值。
【预测10】
【预测题】
预测1
设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线 平行,导函数的最小值为
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值
【预测理由】题型常规,考点为:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数的奇偶性。
预测2
已知函数且是的两个极值点,,
(1)求的取值范围;
(2)若,对恒成立。求实数的取值范围;
【预测理由】考点交叉,考点为:利用导数研究函数的单调性、极值、等式恒成立问题。
预测3
已知定义在R上的函数,其中a为常数.
(I)若x=1是函数的一个极值点,求a的值;
(II)若函数在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(III)若函数,在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
【预测理由】综合性强,考点为:利用导数研究函数的单调性、极值、函数构造。
预测4
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.
【预测理由】难度适中,考点为:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、证明。
预测5
已知在函数的图象上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
(Ⅰ)求m、n的值;
(Ⅱ)是否存在最小的正整数k,使得不等式恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;
【预测理由】考生易入手,考点为:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题。
预测6
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【预测理由】考查综合性强,考点为:导函数图像、导数几何意义、方程的零点问题、点间距离。
预测7
已知是函数的一个极值点,其中,
(I)求与的关系式;
(II)求的单调区间;
(III)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围.
【预测理由】小题层次区分度大,考点为:利用导数研究函数的单调性和极值、导数几何意义。
预测8
已知有极大值和极小值.
(1)求+的值;
(2)设曲线的极值点为A、B,求证:线段AB的中点在上.
【预测理由】具有较强的数学意义,不难下笔。考点为:导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、中点坐标表示。
预测9
设实数a为正数,函数.
(1) 当时,求曲线在处的切线方程;
(2) 当时,求函数的最小值.
【预测理由】小题层次区分度大,考点为:导数的含义、利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论思想。
预测10
已知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围;
(3)若函数的图像与轴无交点,求实数的取值范围.
【预测理由】小题层次区分度大,考点为:导数的含义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数图像、函数与方程思想。
(II)①当a=0时,在区间(-1,0)上是增函数,符合题意;
②当;
当a>0时,对任意符合题意;
当a<0时,当符合题意;
记 ,则 .
当变化时,变化情况如下表:★抢分点
0
0
0
极大值
极小值
由的单调性,★抢分点当极大值或极小值时,方程
又
因此,当
若,,
函数有两个零点,即;
★抢分点
当时,方程有一解, ,
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减.
(III)由已知得,即
又所以即①
设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
所以曲线在处的切线方程为:。
(2)①当时,,
,恒成立。 在上增函数。
故当时,★抢分点
② 当时,,
而,所以此时的最小值为
所以函数的最小值为
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