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- 2021-05-13 发布
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第07节 解三角形及其应用举例
A 基础巩固训练
1.【2018届甘肃省一诊】中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”,通过数形结合,给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中,以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成,这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设AE=也,BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.
故答案为:D.
2.【2018届高三训练(29)】北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上,已知国歌长度为50秒,升旗手匀速升旗的速度为( )
A. (米/秒) B. (米/秒)
C. (米/秒) D. (米/秒)
【答案】A
10
3. 要测量顶部不能到达的电视塔的高度, 在点测得塔顶的仰角是,在点测得塔顶的仰角是,并测得水平面上的,则电视塔的高度为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意,设,则中, ,可得,同理可得中, , 在中, , 由余弦定理得, ,整理得: ,解之得或(舍),即电视塔的高度为米,故选D.
4.两灯塔与海洋观察站的距离都为,灯塔在的北偏东,在的南偏东,则两灯塔之间距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意画出图形,如图所示:
10
易得∠ACB=90°,AC=BC=a.
在△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=2a2,
所以AB=(km).
故选C .
5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
【答案】A
【解析】设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,
根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
B能力提升训练
1.如下图所示,在河岸AC测量河的宽度BC,图中所标的数据a,b,c,α,β是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是( )
A.c和α B.c和b
C.c和β D.b和α
【答案】D
10
【解析】根据直角三角形的特征,只要知道一条边和一个夹角即可求出河宽.
2.【2015高考湖北】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 m.
【答案】
3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( )
A.35海里 B.35海里
C.35海里 D.70海里
【答案】D
【解析】设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,EF===70.
4.【2019届高考全程训练月考二】某观测站在目标的南偏西方向,从出发有一条南偏东走向的公路,在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去,走到达,此时测得距离为,若此人必须在分钟内从处到达处,则此人的最小速度为( )
10
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得∠CAB=25°+35°=60°,BC=31,CD=21,BD=20,可得,那么,
于是在△ABC中, =24,
在△ABC中,BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos60°,即312=242+AB2-24AB,解得AB=35或AB=-11(舍去),因此AD=AB-BD=35-20=15.
故此人在D处距A处还有15 km,若此人必须在20分钟,即小时内从D处到达A处,则其最小速度为15÷=45(km/h).
故选B.
5.【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求, 的长度大于1米,且比长0.5米,为了稳固广告牌,要求越短越好,则最短为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
10
C思维扩展训练
1. 如图:D, C,B三点在地面同一直线上,DC=,从C,D两点测得A点仰角分别是,(),则A点离地面的高度AB等于( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】因为,所以.
2.【2018届赣州二模】如图所示,为了测量,处岛屿的距离,小明在处观测,,分别在处的北偏西、北偏东方向,再往正东方向行驶40海里至处,观测在处的正北方向,在处的北偏西方向,则,两处岛屿间的距离为( )
10
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里
【答案】A
【解析】在中,,所以,
由正弦定理可得:,解得,
在中,,所以,
在中,由余弦定理可得:
,解得.
3.【2017安徽马鞍山二模】在边长为2的正三角形的边上分别取两点,点关于线段的对称点正好落在边上,则长度的最小值为____.
【答案】
【解析】显然两点关于折线对称,连接,可得,则有,设, ,再设,则有,在中, , ,又,在中,由正弦定理知,即, ,所以当时,即时, ,此时取得最小值,且,则的最小值为,故答案为.
4.如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面的射击线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .
10
【答案】
【解析】由勾股定理可得,,过作,交于,连结,则,设,则,由得,,在直角中,,故,令,,令得,,代入得,,故的最大值为.
5. 【2018届江苏海安上学期第一次测试】如图,已知是一幢6层的写字楼,每层高均为3m,在正前方36m处有一建筑物,从楼顶处测得建筑物的张角为.
(1)求建筑物的高度;
(2)一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物.已知从摄影位置看景物所成张角最大时,拍摄效果最佳.问:该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)?
10
【答案】(1)30米;(2) 当时,张角最大,拍摄效果最佳.
【解析】试题分析:(1)先作于,构造直角三角形,然后运用两角差的正切公式求出,再求出;(2)先依据题设求出,,然后建立目标函数,通过求函数的最值使得问题获解:
解:(1)如图,作于,则.
所以,.
因为,
所以.
所以.
答:建筑物的高度为30米.
因为函数在上是单调增函数,
所以当时,张角最大,拍摄效果最佳.
10
答:该人在6层拍摄时效果最好.
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