全国高考新课标卷数学文科高考试题 13页

‎2012年新课标1卷数学(文科)‎ 第I卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在一组样本数据（，），（，），…，（，）（，，，…，不全相等）‎ 的散点图中，若所有样本点（，）（=1，2，…，）都在直线上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ）‎ A．－1 B．0 C． D．1‎ ‎4．设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，‎ 否 是 是 结束 输出A，B 开始 输入，，，…，‎ ‎，，‎ 否 是 否 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶 ‎ 点C在第一象限，若点（，）在△ABC内部，‎ ‎ 则的取值范围是（ ）‎ A．（，2） B．（0，2） ‎ C．（，2） D．（0，）‎ ‎6．若执行右边和程序框图，输入正整数（）和 ‎ 实数，，…，，输出A，B，则（ ）‎ A．为，，…，的和 ‎ B．为，，…，的算术平均数 C．和分别是，，…，中最大的数和最小的数 ‎ D．和分别是，，…，中最小的数和最大的数 ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A．6 B．9 C．12 D．15‎ ‎8．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的 距离为，则此球的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，‎ ‎，则C的实轴长为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎11．当时，，则的取值范围是（ ）‎ A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）‎ ‎12．数列{}满足，则{}的前60项和为（ ）‎ A．3690 B．3660 C．1845 D．1830‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为_________。‎ ‎14．等比数列的前项和为，若，则公比___________。‎ ‎15．已知向量,夹角为45°，且，，则_________。‎ ‎16．设函数的最大值为，最小值为，则____________。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知分别为△ABC三个内角的对边，。‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，△ABC的面积为，求 ‎18．（本小题满分12分）‎ 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，‎ 求当天的利润不少于75元的概率。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。‎ ‎（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，‎ 求坐标原点到，距离的比值。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数。‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若，为整数，且当时，，求的最大值。‎ 请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 ‎ ‎22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲 如图，，分别为边，的中点，直线 交的外接圆于，两点。若∥，证明：‎ ‎（1)；‎ ‎（2）∽‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设为上任意一点，求的取值范围。‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数。‎ ‎（1)当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含[1，2]，求的取值范围。‎ ‎2012年全国卷文科数学答案 第I卷（共60分）‎ ‎1.B【解析】因为，，所以 .故选择B。‎ ‎2.D【解析】因为，所以，故选择D。‎ ‎3.D【解析】因为中，，所以样本相关系数，又所有样本点（，）（=1， 2，…，）都在直线上，所以样本相关系数，故选择D。‎ ‎4.C【解析】如图所示，是等腰三角形，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 又，所以，解得，‎ 因此，故选择C。‎ ‎5.A【解析】正△ABC内部如图所示，‎ A（1，1），B（1，3），C（，2）。‎ ‎ 将目标函数化为，‎ 显然在B（1，3）处，；‎ 在C（，2）处，。‎ ‎ 因为区域不包括端点，所以，故选择A。‎ ‎6.C【解析】由程序框图可知，A表示，，…，中最大的数，B表示，，…，中最小的数，故选择C。‎ ‎7.B【解析】由三视图可知，该几何体为 三棱锥A-BCD， 底面△BCD为 底边为6，高为3的等腰三角形，‎ ‎ 侧面ABD⊥底面BCD，‎ AO⊥底面BCD，‎ 因此此几何体的体积为 ‎，故选择B。‎ ‎8.B 【解析】如图所示，由已知，，在中，球的半径，‎ 所以此球的体积，故选择B。‎ ‎9.A【解析】由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，‎ 得的最小正周期，从而。‎ 由此，由已知处取得最值，‎ 所以，结合选项，知，故选择A。‎ ‎10. C【解析】设等轴双曲线C的方程为，‎ 即（），‎ 抛物线的准线方程为，‎ 联立方程，解得，‎ 因为，‎ 所以，从而，‎ 所以，，，‎ 因此C的实轴长为，故选择C。‎ ‎11.B 【解析】显然要使不等式成立，必有。‎ ‎ 在同一坐标系中画出与的图象。‎ ‎ 若时，，‎ ‎ 当且仅当， ，即 解得，故选择B。‎ ‎12.D【解析】因为，所以，，，，，，……，，，。‎ 由，可得；‎ 由，可得；‎ ‎…‎ 由，可得；‎ ‎。‎ 又，，，…，，，‎ 所以 ‎ 。‎ 故选择D。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ ‎13【答案】。‎ ‎ 【解析】由已知，根据导数的几何意义知切线斜率，‎ 因此切线方程为，即。‎ ‎14【答案】。‎ ‎ 【解析】由已知得，，‎ ‎ 因为，所以 而，所以，解得。‎ ‎15【答案】。‎ ‎ 【解析】由已知。‎ ‎ 因为，所以，即，‎ ‎ 解得。‎ ‎16【答案】2。‎ ‎ 【解析】。‎ 令，则。‎ 因为为奇函数，所以。‎ 所以。‎ ‎17【解析】（1）根据正弦定理，得， ，‎ 因为，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 因为，所以，即，‎ 而，，从而，解得。‎ ‎（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，‎ 则，化简得，‎ 从而解得，。‎ ‎18【解析】（1）当日需求量时，利润；当日需求量时，利润。所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式为（）.‎ ‎（2）①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，则这100天的日利润（单位：元）的平均数为 ‎（元）。‎ ‎②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。故当天的利润不少于75元的概率为。‎ ‎19【解析】（1）在中，，‎ ‎ 得：，‎ ‎ 同理：，‎ ‎ 得：。‎ 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，，‎ 所以平面。‎ 又平面，所以 而，所以平面。‎ 又平面，故平面BDC1⊥平面BDC。‎ ‎（2）由已知AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，‎ ‎ 设，，则。‎ ‎ 由（1），平面，所以为四棱锥的高，‎ 所以。‎ ‎ 因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为。‎ ‎20. 【解析】‎ ‎（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，‎ 且|BD|=，圆F的半径，‎ 又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离 ‎。‎ 因为△ABD的面积为，‎ 所以，即，‎ 所以，由，解得。‎ 从而抛物线C的方程为，‎ 圆F的圆心F（0，1），半径，‎ 因此圆F的方程为。‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线上，‎ 则AB为圆F的直径，∠ADB=90°，‎ 根据抛物线的定义，得，‎ 所以，‎ 从而直线的斜率为或。‎ 当直线的斜率为时，直线的方程为，‎ 原点O到直线的距离。‎ 依题意设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。‎ 所以直线的方程为，原点O到直线的距离。‎ 因此坐标原点到，距离的比值为。‎ 当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。‎ ‎21【解析】（1）函数的定义域为（－∞，+∞），且。‎ 当时，，在（－∞，+∞）上是增函数；‎ 当时，令，得。‎ 令，得，所以在上是增函数，‎ 令，得，所以在上是减函数，‎ ‎（2）若，则，。‎ ‎ 所以，‎ ‎ 故当时，等价于 ‎ ，‎ 即当时，（）。 ①‎ 令，则。‎ 由（1）知，函数在单调递增，‎ 而，，所以在存在唯一的零点。‎ 故在存在唯一的零点。设此零点为，则。‎ 当时，；当时，。‎ 所以在的最小值为。‎ 又由，可得，所以，‎ 由于①式等价于，‎ 故整数的最大值为2。‎ ‎22. 【解析】（1）因为，分别为边，的中点，‎ ‎ 所以∥。‎ ‎ 又已知∥，所以四边形BCFD是平行四边形，‎ ‎ 所以CF=BD=AD。‎ ‎ 而∥，连结AF，‎ 所以ADCF是平行四边形，故CD=AF。‎ 因为∥，所以BC=AF，故CD=BC。‎ ‎ （2）因为∥，故GB=CF。‎ 由（1）可知BD=CF，所以GB=BD。‎ 所以。‎ 因为∥，所以，‎ 从而， ①‎ 由（1），所以，‎ 从而，②‎ 由①，②得∽。‎ ‎ ‎ ‎23.【解析】（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，‎ 因为点A的极坐标为（2，），所以点B的极坐标为（2，），‎ 点C的极坐标为（2，），‎ 点D的极坐标为（2，），‎ 因此点A的直角坐标为（1，），‎ 点B的直角坐标为（，1），‎ 点C的直角坐标为（－1，－），‎ 点D的直角坐标为（，－1）。‎ ‎ （2）设P（，），‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 因为，因此的取值范围为[32，52]。‎ ‎24.【解析】（1）当时，。‎ ‎ 所以不等式可化为 ‎，或，或。‎ 解得，或。‎ 因此不等式的解集为或。‎ ‎ （2）由已知即为，‎ 也即。‎ 若的解集包含[1，2]，则，，‎ 也就是，，‎ 所以，，从而，‎ 解得。因此的取值范围为。‎