浙江高考理科数学试题及解析 20页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ ‎ 数 学（理科）‎ 选择题部分（共40分）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 ‎1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[0，1）‎ B．‎ ‎（0，2]‎ C．‎ ‎（1，2）‎ D．‎ ‎[1，2]‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8cm3‎ B．‎ ‎12cm3‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a1d＞0，dS4＞0‎ B．‎ a1d＜0，dS4＜0‎ C．‎ a1d＞0，dS4＜0‎ D．‎ a1d＜0，dS4＞0‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．‎ ‎∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n ‎　‎ C．‎ ‎∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0‎ D．‎ ‎∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（　　）‎ 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）‎ ‎　‎ A．‎ 命题①和命题②都成立 B．‎ 命题①和命题②都不成立 ‎　‎ C．‎ 命题①成立，命题②不成立 D．‎ 命题①不成立，命题②成立 ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ f（sin2x）=sinx B．‎ f（sin2x）=x2+x C．‎ f（x2+1）=|x+1|‎ D．‎ f（x2+2x）=|x+1|‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠A′DB≤α B．‎ ‎∠A′DB≥α C．‎ ‎∠A′CB≤α D．‎ ‎∠A′CB≥α ‎　‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是　　　　　　，渐近线方程是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=　　　　　　，f（x）的最小值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　　　　　　，单调递减区间是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=　　　　　　，y0=　　　　　　，|=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．‎ ‎（1）证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．‎ ‎（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；‎ ‎（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2015•浙江）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）‎ ‎（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；‎ ‎（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ ‎ 数 学（理科）‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）‎ ‎1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[0，1）‎ B．‎ ‎（0，2]‎ C．‎ ‎（1，2）‎ D．‎ ‎[1，2]‎ 考点：‎ 交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ 求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．‎ 解答：‎ 解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，‎ 解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），‎ ‎∴∁RP=（0，2），‎ ‎∵Q=（1，2]，‎ ‎∴（∁RP）∩Q=（1，2），‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8cm3‎ B．‎ ‎12cm3‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．‎ 解答：‎ 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，‎ 所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a1d＞0，dS4＞0‎ B．‎ a1d＜0，dS4＜0‎ C．‎ a1d＞0，dS4＜0‎ D．‎ a1d＜0，dS4＞0‎ 考点：‎ 等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．‎ 解答：‎ 解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，‎ 由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．‎ ‎∵d≠0，∴，‎ ‎∴，‎ ‎=＜0．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．‎ ‎∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n ‎　‎ C．‎ ‎∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0‎ D．‎ ‎∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0‎ 考点：‎ 命题的否定．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：命题为全称命题，‎ 则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．‎ 解答：‎ 解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，‎ 过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，‎ 由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，‎ 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，‎ ‎|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，‎ 则===，‎ 故选：A 点评：‎ 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（　　）‎ 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）‎ ‎　‎ A．‎ 命题①和命题②都成立 B．‎ 命题①和命题②都不成立 ‎　‎ C．‎ 命题①成立，命题②不成立 D．‎ 命题①不成立，命题②成立 考点：‎ 复合命题的真假．菁优网版权所有 专题：‎ 集合；简易逻辑．‎ 分析：‎ 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，‎ ‎③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．‎ 解答：‎ 解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，‎ 若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，‎ 命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），‎ ‎∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]‎ ‎≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，‎ 故选：A 点评：‎ 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ f（sin2x）=sinx B．‎ f（sin2x）=x2+x C．‎ f（x2+1）=|x+1|‎ D．‎ f（x2+2x）=|x+1|‎ 考点：‎ 函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．‎ 解答：‎ 解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；‎ 取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；‎ ‎∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；‎ ‎∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；‎ B．取x=0，则f（0）=0；‎ 取x=π，则f（0）=π2+π；‎ ‎∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；‎ ‎∴该选项错误； ‎ C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；‎ 这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；‎ ‎∴该选项错误；‎ D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；‎ 令t2﹣1=x，则t=；‎ ‎∴；‎ 即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；‎ ‎∴该选项正确．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠A′DB≤α B．‎ ‎∠A′DB≥α C．‎ ‎∠A′CB≤α D．‎ ‎∠A′CB≥α 考点：‎ 二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；空间角．‎ 分析：‎ 解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．‎ 解答：‎ 解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；‎ ‎②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，‎ α=∠A′OE，连结AA′，‎ 易得∠ADA′＜∠AOA′，‎ ‎∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α 综上所述，∠A′DB≥α，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是　2　，渐近线方程是　y=±x　．‎ 考点：‎ 双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．‎ 解答：‎ 解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，‎ ‎∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．‎ 故答案为：2；y=±x．‎ 点评：‎ 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=　0　，f（x）的最小值是　　．‎ 考点：‎ 函数的值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 解答：‎ 解：∵f（x）=，‎ ‎∴f（﹣3）=lg10=1，‎ 则f（f（﹣3））=f（1）=0，‎ 当x≥1时，f（x）=，即最小值，‎ 当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，‎ 故f（x）的最小值是．‎ 故答案为：0；．‎ 点评：‎ 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，单调递减区间是　[kπ+，kπ+]（k∈Z）　．‎ 考点：‎ 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的求值．‎ 分析：‎ 由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．‎ 解答：‎ 解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1‎ ‎=（1﹣cos2x）+sin2x+1‎ ‎=sin（2x﹣）+，‎ ‎∴原函数的最小正周期为T==π，‎ 由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，‎ ‎∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ 故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ 点评：‎ 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=　　．‎ 考点：‎ 对数的运算性质．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．‎ 解答：‎ 解：∵a=log43，可知4a=3，‎ 即2a=，‎ 所以2a+2﹣a=+=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是　　．‎ 考点：‎ 异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 专题：‎ 空间角．‎ 分析：‎ 连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．‎ 解答：‎ 解：连结ND，取ND ‎ 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，‎ ‎∵AN=2，‎ ‎∴ME==EN，MC=2，‎ 又∵EN⊥NC，∴EC==，‎ ‎∴cos∠EMC===．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是　3　．‎ 考点：‎ 函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 不等式的解法及应用；直线与圆．‎ 分析：‎ 根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．‎ 解答：‎ 解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，‎ 如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，‎ 在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，‎ 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，‎ 利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；‎ 在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，‎ 即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），‎ 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，‎ 利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．‎ 综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=　1　，y0=　2　，|=　2　．‎ 考点：‎ 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；空间向量及应用．‎ 分析：‎ 由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．‎ 解答：‎ 解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，‎ ‎∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），‎ 则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），‎ ‎∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），‎ ‎∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2‎ ‎=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，‎ 由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，‎ 此时t2=1，故|==2‎ 故答案为：1；2；2‎ 点评：‎ 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为3，求b的值．‎ 考点：‎ 余弦定理．菁优网版权所有 专题：‎ 解三角形．‎ 分析：‎ ‎（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．‎ ‎（2）由=×=3，可得c，即可得出b．‎ 解答：‎ 解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，‎ 又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，‎ ‎∴a2=b2﹣=，即a=．‎ ‎∴cosC===．‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴sinC==．‎ ‎∴tanC==2．‎ ‎（2）∵=×=3，‎ 解得c=2．‎ ‎∴=3．‎ 点评：‎ 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．‎ ‎（1）证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．‎ 考点：‎ 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；‎ ‎（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．‎ 则BC=AC=2，A1O==，‎ 易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），‎ A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），‎ ‎=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），‎ ‎=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），‎ ‎∵•=0，∴A1D⊥OA1，‎ 又∵•=0，∴A1D⊥BC，‎ 又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；‎ ‎（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），‎ 由，得，‎ 取z=1，得=（，0，1），‎ 设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），‎ 由，得，‎ 取z=1，得=（0，，1），‎ ‎∴cos＜，＞===，‎ 又∵该二面角为钝角，‎ ‎∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．‎ 点评：‎ 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．‎ ‎（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；‎ ‎（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ ‎（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；‎ ‎（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．‎ 解答：‎ 解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，‎ 因为|a|≥2，所以或≥1，‎ 所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，‎ 所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，‎ 所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥|a|≥2；‎ ‎（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；‎ 又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，‎ 所以|a|+|b|的最大值为3．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．‎ ‎（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，‎ 设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，‎ 由于点P在直线y=mx+上，∴=+，‎ ‎∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，‎ 解得m2，∴或m．‎ ‎（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，‎ ‎∴S△OAB==|n|•=，‎ 由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，‎ ‎∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，‎ 当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．‎ 点评：‎ 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2015•浙江）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）‎ ‎（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；‎ ‎（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．‎ 考点：‎ 数列的求和；数列与不等式的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．‎ 分析：‎ ‎（1）通过题意易得0＜an≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；‎ ‎（2）通过=an﹣an+1累加得Sn=﹣an+1，利用数学归纳法可证明≥an≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．‎ 解答：‎ 证明：（1）由题意可知：0＜an≤（n∈N*），‎ 又∵a2=a1﹣=，∴==2，‎ 又∵an﹣an+1=，∴an＞an+1，∴≥1，‎ ‎∴==≤2，‎ ‎∴1≤≤2（n∈N*）；‎ ‎（2）由已知，=an﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，‎ 累加，得Sn=++…+=a1﹣an+1=﹣an+1，‎ 易知当n=1时，要证式子显然成立；‎ 当n≥2时，=．‎ 下面证明：≥an≥（n≥2）．‎ 易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则ak+1=﹣+，‎ 由二次函数单调性知：an+1≥﹣+=≥，‎ an+1≤﹣+=≤，‎ ‎∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，‎ 故对n≥2，均有≥an≥，‎ ‎∴=≥≥=，‎ 即（n∈N*）．‎ 点评：‎ 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎