人民教育出版版高考数学选修41过关检测第2讲直线与圆的位置关系基础训练 8页

‎2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练：过关检测 第2讲 直线与圆的位置关系 ‎(时间：90分钟　满分：120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的)‎ ‎1．如图所示，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为 ‎(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析　过O作OH⊥CD，连接OD，则DH＝CD，由相交弦定理知AE·BE＝CE·DE，而AE＝EB＝4.可设CE＝4x，则DE＝9x，所以4×4＝4x×9x，解得x＝，‎ 即OH＝＝ ＝.‎ 答案　A ‎2．如图所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC、BD相交于点Q，则图中相似三角形共有 ‎(　　)．‎ A．4对 B．2对 C．5对 D．3对 解析　由∠PAC＝∠PBD，可知△PAC∽△PBD，‎ 又∵∠ADB＝∠ACB，∴△AQD∽△BQC.‎ 又由割线定理得PD·PA＝PC·PB，‎ 且∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCD.‎ 又∵∠BAQ＝∠CDQ，∠BQA＝∠DQC，‎ ‎∴△AQB∽△DQC.∴总共有4对相似三角形．‎ 答案　A ‎3．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，若∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于 ‎(　　)．‎ A．120° B．136°‎ C．144° D．150°‎ 解析　要求圆心角∠BOD的度数，需求圆周角∠A的度数，由圆的内接四边形的性质知：∠A＝∠DCE，即求出∠ECD的度数．而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，可求出∠ECD＝72°，即∠A＝72°，故∠BOD＝2∠A＝144°.‎ 答案　C ‎4．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝‎10 cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是 ‎(　　)．‎ A．‎5 cm B．‎4 cm C．‎3 cm D．‎2 cm 解析　观察图形与分析已知条件可利用垂径定理来解．连接OC，则CP＝CD＝‎5 cm，设AP＝x，则PB＝5x，OC＝3x，OP＝2x，在Rt△OCP中，OC2＝CP2＋OP2，即(3x)2＝52＋(2x)2，解得x＝，故OC＝3x＝‎3 cm.‎ 答案　C ‎5．如图所示，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是 ‎(　　)．‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 解析　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，‎ ‎∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.‎ 答案　B ‎6．如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.‎ 其中正确的有 ‎(　　)．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　根据割线定理知①式正确，②③④不正确．‎ 答案　A ‎7．如图所示，已知O是圆心，直径AB和弦CD相交于点P，PA ‎＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于 ‎(　　)．‎ A．3　　 B．‎8　‎‎　 ‎ C．12　　 D．14‎ 解析　要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知：PA·PB＝PC·PD，解得PB＝＝＝12，故AB＝PA＋PB＝14.‎ 答案　D ‎8．如图，锐角三形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，则∠OEC＝(　　)．‎ A．5°　　 B．10°　　 ‎ C．15°　　 D．20°‎ 解析　连接OC.∵∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝80°.∵OE⊥AB，∴E为的中点．∴、和的度数均为80°.∴∠EOC＝80°＋80°＝160°.∴∠OEC＝10°.‎ ‎ 答案　B ‎9．如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于 ‎(　　)．‎ A. B. C．2 D．4‎ 解析　要求，注意到sin α＝，sin β＝，‎ 即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.‎ 答案　B ‎10．如图，AT切⊙O于T，若AT＝6，AE＝3，AD＝4， DE＝2，则BC等于 ‎(　　)．‎ A．3　　 B．‎4　‎‎　 ‎ C．6　　 D．8‎ 解析　∵AT为⊙O的切线，‎ ‎∴AT2＝AD·AC.‎ ‎∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.‎ ‎∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，‎ ‎∴△EAD∽△CAB，即＝，‎ ‎∴BC＝＝＝6.‎ 答案　C 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在横线上)‎ ‎11．如图所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，D为垂足，AB＝8，若BD＝3AD，则CD＝________.‎ 解析　连接AC，BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ C为⊙O上一点，‎ ‎∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，D为垂足，‎ 由射影定理得CD2＝AD·BD.‎ 又∵AB＝8＝AD＋DB，BD＝3AD，‎ ‎∴AD＝2，BD＝6.故CD2＝2×6＝12，∴CD＝2.‎ 答案　2 ‎12．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.‎ 解析　依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.‎ 答案　 ‎13．已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________．‎ 解析　如图所示，延长OP分别交⊙O于C、D两点．‎ 不妨设该圆的半径为r，则有PC＝OC－OP＝r－5，PD＝OP＋OD＝r＋5，‎ ‎∴PA·PB＝PC·PD，‎ ‎∴r2－25＝24，∴r＝7.‎ 答案　7‎ ‎14．(2012·广东高考)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作图O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.‎ ‎ 解析　连结OA，由圆周角定理得∠AOC＝60°，又由切线的性质得OA ‎⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝.‎ 答案　 ‎15．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为______．‎ 解析　由题意可知△PBC∽△PDA，于是由＝＝，得＝＝＝.‎ 答案　 ‎16．如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．‎ 解析　∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，‎ 又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.‎ 答案　4π 三、解答题(本大题共5小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)如图，PT切⊙O于T，PAB、PDC是圆O的两条割线，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的长和弦BC的长．‎ 解　由已知可得PT2＝PA·PB，‎ 且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.‎ 同理可得PC＝9，∴CD＝5.‎ ‎∵PD·PC＝PA·PB，∴＝，‎ ‎∴△PDA∽△PBC，‎ ‎∴＝⇒＝，∴BC＝6.‎ ‎18．(10分)如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．‎ ‎(1)求∠ADF的度数；‎ ‎(2)AB＝AC，求AC∶BC.‎ 解　(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.‎ 又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.‎ ‎∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD 即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，‎ ‎∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.‎ ‎(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，‎ ‎∴△ACE∽△BCA，‎ ‎∴＝，又∵AB＝AC，∠ADF＝45°，‎ ‎∴∠B＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△ABE中，＝＝tan∠B＝tan 30°＝.‎ ‎19．(12分)如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E.‎ 求证：(1)IE＝EC；‎ ‎(2)IE2＝ED·EA.‎ 证明　(1)连接IC，∵I为内心，‎ ‎∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.‎ ‎∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.‎ ‎∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，‎ ‎∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.‎ ‎(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，‎ ‎∴△ECD∽△EAC，∴＝，‎ ‎∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.‎ ‎20．(12分)如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.‎ 求证：AB2＝4AP·BQ.‎ 证明　法一　连接OP、OQ，如图所示．‎ ‎∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，‎ ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.‎ 又AP、BQ为⊙O的切线，‎ AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.‎ ‎∴AP∥BQ.‎ ‎∴∠A＝∠B＝90°，‎ ‎∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.‎ ‎∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.‎ ‎∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.‎ ‎∴△AOP∽△BQO.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.‎ 法二　连接OC.‎ 同上可证得∠2＋∠3＝90°.‎ ‎∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.‎ 在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，‎ 利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.‎ OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.‎ 法三　如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.‎ ‎∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，‎ ‎∴∠A＝∠B＝90°，‎ AP＝PC，CQ＝BQ.‎ ‎∴四边形ABDP为矩形，‎ PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.‎ 在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，‎ ‎∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.‎ ‎∴4AP·BQ＝AB2.‎ ‎21．(12分)如图，BC为⊙O的直径，＝，过点A的切线与CD的延长线交于点E.‎ ‎(1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？‎ ‎(2)若AD＝2，ED∶EA＝1∶2，求⊙O的半径；‎ ‎(3)求∠CAD的正弦值．‎ 解　(1)∠AED＝90°，连结AB.‎ ‎∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.‎ ‎∵AE切 ⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACD.‎ 又＝，∴∠ACB＝∠ACD，‎ ‎∴∠EAD＝∠ACB.‎ 又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠B.‎ ‎∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB＝90°.‎ ‎(2)∵AD＝2，ED∶EA＝1∶2，∠AED＝90°，‎ ‎∴ED＝2，EA＝4.‎ 又＝，∴AB＝AD＝2，又△EAD∽△ACB，‎ ‎∴＝，∴BC＝＝＝10.‎ ‎∴⊙O半径为5.‎ ‎(3)过D作DF⊥AC于F.‎ ‎∵在△ABC中，AC＝4，在△AEC中，CE＝8，‎ ‎∴CD＝6.又易知△CDF∽△CBA，‎ ‎∴＝，∴DF＝＝＝.‎ ‎∴sin∠CAD＝＝＝.‎