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- 2021-05-13 发布
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2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.=( )
A.- - i B.- + i C.- - i D.- + i
解析:选D
2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z },则A中元素的个数为 ( )
A.9 B.8 C.5 D.4
解析:选A 问题为确定圆面内整点个数
3.函数f(x)= 的图像大致为 ( )
解析:选B f(x)为奇函数,排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B
4.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
解析:选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3
5.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
解析:选A e= c2=3a2 b=a
6.在ΔABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )
A.4 B. C. D.2
解析:选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4
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7.为计算S=1- + - +……+ - ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4
解析:选B
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A. B. C. D.
解析:选C 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个其和为30的为7+23,11+19,13+17,共3种情形,所求概率为P==
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:选C 建立空间坐标系,利用向量夹角公式可得。
10.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
解析:选A f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
11.已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数,满足f(1-x)= f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
解析:选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
12.已知F1,F2是椭圆C: +=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,ΔP F1F2为等腰三角形,∠F1F2P=1200,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
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解析:选D AP的方程为y=(x+a),∵ΔP F1F2为等腰三角形 ∴|F2P|=| F1F2|=2c,
过P作PH⊥x轴,则∠PF2H=600, ∴|F2H|=c,|PH|=c, ∴P(2c, c),代入AP方程得4c=a
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________.
解析:y=2x
14.若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为__________.
解析:9
15.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=__________.
解析:- 两式平方相加可得
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若ΔSAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为__________.
解析:设圆锥底面圆半径为r,依题SA=r, 又SA,SB所成角的正弦值为,则×2r2×=5
∴r2=40, S=π×r×r=40
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为−16.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
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(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5 (亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
20.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为300,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
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解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.
连结OB.因为AB=BC=AC,所以ΔABC为等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
(2)如图,以O为坐标原点,建立如图空间直角坐标系.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2), =(0,0,2)
取平面PAC的法向量=(2,0,0).
设M(a,2-a,0)(0= .由已知得|cos<,n>|=.
∴== 解得a=-4(舍去),a=.
所以n=(- ,,- ).又=(0,2,-2),所以cos<,n>=.
所以PC与平面PAN所成角的正弦值为.
21.(12分)
已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.
设函数g(x) (x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x-1)2e-x.
当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减.
而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.
(2)设函数h(x)=1-ax 2e-x.
f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.
(i)当a≤时,h(x)>0,h(x)没有零点;
(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2) e-x.
当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.
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所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
故h(2)=1- 是h(x)在[0,+∞)的最小值.
①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)没有零点;
②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;
③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点,
由(1)知,当x>0时,ex=x2,所以h(4a)=1->1-=1- >0
故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.
综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα,
当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得2cosα+sinα=0,,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时, 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.得a≤-6或aα2,
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
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