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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学题库新附加题空间向量抛物线复合函数的导数

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‎1. 已知边长为6的正方体,为上靠近的三等分点,为上靠近的三等分点,是的中点.‎ ‎(1)求与平面所成角的余弦值; ‎ ‎(2)设点在线段上,且,试确定的值,使得的长度最短.‎ E A C D A B A A E A C D A B A A 解:如图建系:可得,,,.‎ ‎(1)设,,‎ 则;,‎ 设与平面所成角为,则. (5分)‎ ‎(2)由题知,,,设 ‎,,‎ 当时,的长度取得最小值. (10分)‎ ‎5. 如图,在三棱柱中,,顶点在底面上的射影恰为点B,且.‎ ‎(1)求棱与BC所成的角的大小;‎ ‎(第22题)‎ B A C A1‎ B1‎ C1‎ ‎(2)在棱上确定一点P,使,并求出二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【解】(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,‎ 则 ,‎ ‎,.‎ ‎,‎ 故与棱BC所成的角是. ………………………4分 B A C A1‎ B1‎ C1‎ z x y P ‎(2)设,则.‎ 于是(舍去),‎ 则P为棱的中点,其坐标为. …………6分 设平面的法向量为n1,‎ 则 故n1. ………………………………………………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1,0,0),则,‎ 故二面角的平面角的余弦值是. ………………………………………10分 ‎6. 已知函数,.‎ ‎(1)证明:当时,;‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎【解】(1),则.‎ 令,则. ………………………………1分 当时,, 在上为增函数.‎ 当x>0时,,在上为减函数. ………………………………3分 所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以,‎ 函数g(x)在上为减函数. …………………………………………………………4分 当x>0时,. ……………………………………………………5分 ‎(2)函数的定义域是,‎ ‎, …………………………………6分 由(1)知,‎ 当时,,‎ 当x>0时,, ‎ 所以,当时,在(-1,0)上为增函数.‎ 当x>0时,,在上为减函数. …………………………8分 故函数的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为.‎ 故x=0时有极大值0. ……………………………………………………………10分 F E C ‎1‎ B ‎1‎ A ‎1‎ C B A ‎(第22题图)‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱中,,AB=AC=a,,点E,F分别在棱,上,且,.设.‎ ‎ (1)当=3时,求异面直线与所成角的大小;‎ ‎(2)当平面⊥平面时,求的值.‎ z y x F E C ‎1‎ B ‎1‎ A ‎1‎ C B A ‎(第22题图)‎ ‎22.解:建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎(1)设a=1,则AB=AC=1,3,各点的坐标为,,,.‎ ‎,.…………2分 ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴向量和所成的角为,‎ ‎∴异面直线与所成角为.…4分 ‎(2)∵,,‎ ‎ ∴. ‎ 设平面的法向量为,‎ 则,且.‎ 即,且.‎ 令,则.‎ ‎∴=是平面的一个法向量. ………6分 同理,=是平面的一个法向量. ………8分 ‎∵平面⊥平面,‎ ‎∴.∴.‎ 解得,.‎ ‎∴当平面⊥平面时,. ………………………10分 ‎22.已知函数,,求的最大值.‎ 证明:由得,(2分)‎ 令,则,‎ 当时,,在上为增函数;‎ 当x>0时,,在上为减函数,‎ 所以在x=0处取得极大值,且,(6分)‎ 故(当且仅当时取等号),‎ 所以函数为上的减函数,(8分)‎ 则,即的最大值为0.(10分)‎ ‎22.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 已知函数,其中a>0.‎ ‎(1)若在x=1处取得极值,求a的值;‎ ‎(2)若的最小值为1,求a的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:(1) .‎ 因在处取得极值,故,解得a=1 (经检验).……………………4分 ‎(2),因 ,故ax+1>0,1+x>0.‎ 当a≥2时,在区间上,递增,的最小值为f(0)=1.‎ 当0a)‎ ‎∵ ∴= ‎∴as2+(m-a)s-m=0‎ ‎∵(as+m)(s-1)=0 ∴S=- ‎∴A1(,-2m) …………………………5′‎ ‎∵ ∴= ‎∵2at2+(m-4a)t-2m=0 ∴(2at+m)(t-2)=0‎ ‎∴t=- ∴B1(,-m) …………………………6′‎ ‎∴的直线方程为y+2m=(x- )…………………………7′‎ ‎∵直线的斜率为在单调 ‎∴所以集合M中的直线必定相交,…………………………8′‎ ‎∵直线的横截距为在单调,纵截距为在单调 ‎∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。‎ ‎3、如图,在三棱锥中,平面⊥平面,,‎ ‎.‎ ‎(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;‎ ‎ (2)若动点M在底面三角形ABC上,二面角M-PA-C的余弦值为,求BM的最小值.‎ ‎5.解:取AC中点O,因为AB=BC,所以,‎ ‎∵平面⊥平面 平面平面=AC,‎ ‎∴平面PAC ‎∴…………………………1′‎ 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为 x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ 因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1‎ 从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),‎ C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′‎ ‎∴‎ 设平面PBC的法向量,‎ 由得方程组 ‎,取…………………………3′‎ ‎∴‎ ‎∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。…………………………4′‎ ‎(2)由题意平面PAC的法向量,…………………………5′‎ 设平面PAM的法向量为 ‎∵又因为 ‎∴ 取,…………………………7′‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ 或 (舍去)‎ ‎∴B点到AM的最小值为垂直距离。…………………………10′‎ ‎22.(本小题满分10分) ‎ A BB CB EB DB PB ‎(第22题)‎ 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D,E分别为PB,PC中点.‎ ‎(1)若PA=2,求直线AE与PB所成角的余弦值;‎ ‎(2)若平面ADE⊥平面PBC,求PA的长.‎ A BB CB EB DB PB ‎(第22题)‎ y x z F ‎22.解(1)如图,取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC.以A为坐标原点,过A且与FB平行的直线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系.‎ 则A(0,0,0),B(,1,0),‎ C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),‎ 从而=(,1,-2), =(0,1,1). ‎ 设直线AE与PB所成角为θ,‎ 则cosθ=||=.‎ 即直线AE与PB所成角的余弦值为 . …………………… 4分 ‎(2)设PA的长为a,则P(0,0,a),从而=(,1,-a),=(0,2,-a).‎ 设平面PBC的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0,‎ 所以x+y-az=0,2y-az=0.‎ 令z=2,则y=a,x=a.‎ 所以n1=(a,a,2)是平面PBC的一个法向量. ‎ 因为D,E分别为PB,PC中点,所以D(,,),E(0,1,), ‎ 则=(,,),=(0,1,).‎ 设平面ADE的法向量为n2=(x,y,z),则n2·=0,n2·=0.‎ 所以x+y+z=0,y+z=0.‎ 令z=2,则y=-a,x=-a.‎ 所以n2=(-a,-a,2)是平面ADE的一个法向量. …………………… 8分 因为面ADE⊥面PBC,‎ 所以n1⊥n2,即n1·n2=(a,a,2)·(- a,-a,2)=-a2-a2+4=0,‎ 解得a=,即PA的长为. …………………… 10分 ‎23. (本小题满分10分)‎ 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,,为的中点,在线段上.‎ ‎(1)若平面,求;‎ ‎(2)设,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎(第23题)‎ ‎23. 解:(1)因为直三棱柱中,以点为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ A B C C1‎ B1‎ A1‎ F D x y z 因为,所以,‎ 所以.‎ ‎ 设则 ‎.‎ 因为⊥平面,所以.‎ ‎ 由,得或,‎ ‎ 故当⊥平面时,可得或.………………………………………………… 5分 ‎ (2)由(1)知平面的法向量为.‎ ‎ 设平面的法向量为,则由,得 ‎ 令得,‎ ‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值 ‎ ………………………………………………10分 ‎24. (本小题满分10分)‎ 已知常数,函数.‎ ‎(1)讨论在区间上的单调性;‎ ‎(2)若存在两个极值点且,求的取值范围.‎ ‎24. 解:(1)f′(x)=-=.(*)‎ 当a≥1时,f′(x)>0,此时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.‎ 当00.‎ 故f(x)在区间(0,x1)上单调递减,‎ 在区间(x1,+∞)上单调递增.‎ 综上所述,‎ 当a≥1时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;‎ 当0<a<1时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增. 4分 ‎(2)由(*)式知,当a≥1时,f′(x)≥0,‎ 此时f(x)不存在极值点,因而要使得f(x)有两个极值点,必有0-且x≠-2,‎ 所以-2>-,-2≠-2,‎ 解得a≠.此时,由(*)式易知,x1,x2分别是f(x)的极小值点和极大值点.‎ 而f(x1)+f(x2)=ln(1+ax1)-+ln(1+ax2)-=ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]-‎ =ln(2a-1)2-=ln(2a-1)2+-2.‎ 令2a-1=x.由0g(1)=0.故当0.‎ 综上所述,满足条件的a的取值范围为. ………………………………10分 ‎24. 已知动圆C过点且与直线相切.‎ ‎(1)求动圆圆心C的轨迹E方程;‎ ‎(2)设为轨迹E上异于原点O的两个不同点,直线的倾斜角分别为,‎ 且.当变化时,求证:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎24. 解:(1)………………………………………………………………………4分 ‎(2)设OA:()‎ ‎ ,‎ 由,由 下证A、B、Q(-4,4)三点共线:‎ 直线AB恒过定点Q(-4,4). …………………………………………………………10分 ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎ 己知直线与抛物线相交于两点,且)为轴上任意一点,连接并延长与抛物线分别相交于.‎ ‎(1)设斜率为,求证:为定值;‎ ‎(2)设直线与轴分别交于,令 N M M ‎,‎ 若构成等比数列,求的值.‎ ‎22.解:(1),,设A1,B1,‎ ‎,同理:…5分 ‎(2)A1B1:‎ ‎,‎ 构成的等比数列,∴而. ………………10分 ‎23.(本小题满分10分) ‎ 如图,在三棱柱中,底面为直角三角形,,顶点在底面内的射影是点,且,点是平面内一点.‎ ‎(1)若是的重心,求直线与平面所成角;‎ ‎(2)是否存在点,使且平面平面,若存在,求出线段的长度,若不存在,说明理由.‎ ‎23.解:如图以CB、CA分别为x,y轴,过C作直线Cz//BC1,以Cz为z轴 ‎(1)T是△ABC1重心 设面ABC1的法向量为 取法向量 设TA1与面ABC1所成角为. ………………5分 ‎(2)T在面ABC1内,,‎ 即.由得 ①‎ 设面CAA1C1法向量为 取 设面TA1C1法向量为 取,由平面平面得②‎ 由①②解得,存在点T,TC=. ………10分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1ABAC1,AB⊥AC,M,N分别是棱CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上.‎ ‎(1)求直线PN与平面ABC所成的角最大时,线段的长度;‎ ‎(2)是否存在点P,使平面PMN与平面ABC所成的二面A1‎ C1‎ B1‎ M C N B A P ‎(第22题)‎ 角为,若存在,请指明点P的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A1(0,0,1),B1(1,0,1),‎ M(0,1,),N(,,0),,‎ A1‎ C1‎ B1‎ M B A P x y z ‎;.……………2分 ‎(1)∵是平面ABC的一个法向量.‎ ‎∴,‎ ‎∴当时,取得最大值,此时,‎ 答:当时,取得最大值,此时.………………5分 ‎(2)设存在,,设是平面PMN的一个法向量.‎ 则得令x=3,得y=1+2,z=2-2;‎ ‎∴, ……………7分 ‎∴,化简得4(*)‎ ‎∵△=100-4413=-108<0,∴方程(*)无解,‎ ‎∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º.…………10分 ‎22. 如图,正方体的棱长为,分别在棱和上(含线段端点).‎ ‎(1)如果,试证明四点共面;‎ ‎(2)在(1)的条件下,是否存在一点,使得直线和平面所成角等于?如果存在,确定的位置;如果不存在,试说明理由.‎ 解:(1)共面;(2)与重合时 ‎23.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:,F为其焦点,点E的坐标为(2,0),设M 为抛物线C上异于顶点的动点,直线MF交抛物线C于另一点N,链接ME,NE并延长分别交 抛物线C与点P,Q.‎ ‎(1)当MN Ox时,求直线PQ与x轴的交点坐标;‎ ‎(2)当直线MN,PQ的斜率存在且分别记为k1,k2时,求证:.‎ ‎【解】(1)抛物线C:的焦点F(1,0) .‎ 当MN Ox时,直线MN的方程为 .‎ ‎ 将代入抛物线方程,得.‎ ‎ 不妨设,,‎ 则直线ME的方程为,‎ 由解得或,于是得.‎ 同理得,所以直线的方程为.‎ 故直线PQ与x轴的交点坐标(4,0).………………………………………………4分 ‎ (2)设直线MN的方程为,‎ ‎ 并设.‎ 由,‎ 于是①,从而②.‎ 设直线MP的方程为,‎ 由,‎ 所以③,④.‎ 同理⑤,⑥.‎ 由①②③④⑤⑥,得.‎ ‎ ‎ ‎ 即.…………………………………………………………………………10分 ‎22.在平面直角坐标系中,已知定点F(1,0),点在轴上运动,点在轴上,点 为平面内的动点,且满足,.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设点是直线:上任意一点,过点作轨迹的两条切线,,切点 分别为,,设切线,的斜率分别为,,直线的斜率为,求证:‎ ‎.‎ ‎【解】(1)设点,,.‎ 由可知,点是的中点,‎ 所以即所以点,.‎ 所以,. …………3分 由,可得,即.‎ 所以动点的轨迹的方程为.……………5分 ‎(2)设点,‎ 由于过点的直线与轨迹:相切,‎ 联立方程,整理得.…………7分 则,‎ 化简得.‎ 显然,,是关于的方程的两个根,所以.‎ 又,故.‎ 所以命题得证. ……………………………10分 ‎23.已知抛物线,点F为其焦点,点N(3,1)在抛物线C的内部,设点 M是抛物线C上的任意一点,的最小值为4.‎ ‎(1)求抛物线C的方程.‎ ‎(2)过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A,B,与y轴交于点P,且,试判断是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.‎ ‎23.解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为l1:x=,点M到l1的距离设为d,‎ 由抛物线定义,所以p=2,‎ 因此抛物线C的方程为y2=4x. ………………………………4分 ‎(2).‎ 理由如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),已知F(1,0),‎ 由题意知直线l的斜率k存在且不等于0,‎ 设l:y=k(x-1),则P(0,-k),‎ 由知,(1,k)=λ1(x1-1,y1)=λ2(x2-1,y2),‎ ‎∴k=λ1y1=λ2y2,‎ ‎∵k≠0,∴ …………………………………6分 将y=k(x-1)代入y2=4x得 y1+y2= ,y1y2=-4.‎ ‎∴=- ×,‎ ‎∴=k×()=为定值. ………………………………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,,设与轨迹相交于点,,与轨迹相交于点,,求的最小值.‎ ‎23.解:(1)设动点的坐标为,‎ 由题意有………………2分 化简得.‎ 当时,;当时,.‎ ‎∴动点的轨迹的方程为和.………………4分 ‎(2)由题意知,直线的斜率存在且不为,设为,则的方程为.‎ 由,得.‎ 设,则是上述方程的两个实根,‎ 于是.……6分 ‎∵,∴的斜率为.‎ 设,则同理可得.………………7分 ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当,即时,取最小值.‎ ‎∴的最小值为.………………………………10分 ‎22.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD, EF // AB,∠BAF=90º, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P在棱DF上.‎ ‎(1)若P是DF的中点, 求异面直线BE与CP所成角的余弦值; ‎ ‎(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度.‎ ‎22. (1)因为∠BAF=90º,所以AF⊥AB, ‎ 因为 平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF ∩平面ABCD= AB, ‎ 所以AF⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为矩形,‎ 所以以A为坐标原点,AB,AD,AF分别 为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.‎ 所以 ,,,.‎ 所以 ,,‎ 所以,‎ 即异面直线BE与CP所成角的余弦值为. -----------------------------5分 ‎ ‎(2)因为AB⊥平面ADF,所以平面APF的法向量为.‎ 设P点坐标为,在平面APC中,,,‎ 所以 平面APC的法向量为, ‎ 所以, ‎ 解得,或(舍). 所以. ---------------10分 ‎ ‎6.(江苏省如皋中学)在平面直角坐标系中,为坐标原点,点满足,.学科网 ‎(1)当变化时,证明点的轨迹为抛物线。并求此抛物线方程.(2)如图,在(1)的抛物线中,过点的两直线与抛物线相交,记直线的斜率为,直线的斜率为,.求证直线恒过某定点.‎ 解:(1)由,得点是线段的中点,又由,所以,因为,即为点到直线的距离,则点到定点的距离等于到定直线的距离,所以点的轨迹为以定点为焦点,定直线为准线的抛物线,所求点的轨迹的方程 。‎ ‎(2)设,‎ 设过焦点的直线方程为,代入抛物线 ,‎ 得,则,所以 ‎ 由,则。设直线方程为,代入抛物线 ,‎ 得,得,则,所以直线恒过定点。‎ ‎4.设实数a,b满足0≤a≤≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cos πb.‎ 证明:设f(x)=2x+cosπx,欲证不等式转化为f(b)≤f(a).‎ 由于f ′(x)=2-πsinπx ,f ′′(x)=-π2cosπx.‎ 当x∈(0,)时,f ′′(x)=-π2cosπx<0,当x∈(,1)时,f ′′(x)=-π2cosπx>0,‎ 所以f ′(x)在区间[0,]上单调减,在区间[,1]上单调增.‎ 因为f ′(0)=f ′(1)=2和f ′()=2-π<0,所以存在α和β, 0<α<<β<1,‎ 使得f ′(α)=f ′(β)=0,f ′(x)<0当且仅当x∈(α,β). ‎ 于是函数f(x)在区间[0,α]和[β,1]上单调增,在区间[α,β]上单调减.‎ 因为f(0)=f ()=f (1)=1,故对于x∈[0,]有f(x)≥1,对于x∈[,1]有f(x)≤1.‎ 特别地, f (b)≤1≤f (a).‎ ‎21. 已知,求函数的最小值以及取最小值时所对应的值.‎ 解:由知:‎ 当且仅当=即时取等号,‎ ‎∴当时 ‎23.已知抛物线,过其对称轴上一点作一直线交抛物线于两点,,求的斜率.‎ ‎23、解:设直线方程为,,则 由,得,则,,‎ ‎∴,∴,又,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴. …………………………………………10分 ‎22. 已知边长为6的正方体,为上靠近的三等分点,为上靠近的三等分点,是的中点.‎ E A C D A B A A ‎(1)求与平面所成角的余弦值; (2)设点在线段上,且,试确定的值,使得的长度最短.‎ E A C D A B A A ‎22.解:如图建系:可得,,,.‎ ‎(1)设,,‎ 则;,‎ 设与平面所成角为,则. (5分)‎ ‎(2)由题知,,,设 ‎,,‎ 当时,的长度取得最小值. (10分)‎ ‎23. 动圆M与圆外切,且与直线相切.‎ ‎(1) 求动圆M圆心的轨迹方程;‎ ‎(2) 已知斜率为的直线交(1) 中方程的曲线于A,B两个不同的点,定点.求证:直线与轴总围成等腰三角形.‎ ‎3.解:(1) 由条件易得:圆心的轨迹方程为…………………3分 ‎(2) 由条件可设直线方程为,则由消去得:‎ 所以若设,则有………6分 ‎,同理………………………8分 ‎()‎ 直线的倾斜角互补,即直线与x轴总围成等腰三角形.……………10分 ‎24. 如图(1),矩形的对角线交于点O,.沿AC把△ACD折起,使二面角为直面角,如图(2).‎ ‎ (1) 在图(2)中,点满足,求的值;‎ ‎ (2) 求二面角的余弦值.‎ ‎4.解:(1) 过点作交于点,,,,,,,又,,,‎ ‎,……………………2分 点满足,点在上.……………………………………………3分 在直角中,若设,则,由等面积法知,,,………………………………5分 ‎(2) ……………………………………………………………………………10分 三、空间向量 ‎13、如图所示,已知ABCD是正方形,边长为2,PD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)若,①求异面直线PC与BD所成的角,②求二面角的余弦值;‎ ‎③在PB上是否存在E点,使PC⊥平面ADE,若存在,确定点E位置,若不存在说明理由;‎ ‎(3)若,记二面角的大小为,若,求的取值范围.‎ ‎14、如图,在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱中,P是侧棱上 的一点,.(1)试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º;‎ ‎(2)在线段上是否存在一个定点,使得对任意的m,⊥AP,并证明你的结论. ‎ A B C D P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ C1‎ x y z ‎13、如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),‎ ‎ A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0),(1分)‎ ‎ (1)(2分)‎ ‎ ∴ (3分)‎ ‎ ∴ ,∴异面直线PC与BD所成的角为60°(4分)‎ ‎(2)假设在PB上存在E点,使PC⊥平 ADE,记(5分)‎ ‎ (6分)‎ ‎ ∴ 若PC⊥平面ADE,则有PC⊥AE,(7分)‎ 即,∴(8分)‎ 又∵面,∴,∴PC⊥平面ADE. (9分)‎ ‎∴存在E点且E为PB的中点时,PC⊥平面ADE. (10分)‎ ‎(3)‎ ‎14、(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),‎ B1(1,1,1), D1(0,0,2).‎ 所以 又由的一个法向量.‎ 设与所成的角为,‎ 则=,解得.‎ 故当时,直线AP与平面所成角为60º. …………………………5分 ‎(2)若在上存在这样的点Q,设此点的横坐标为x,‎ 则.‎ 依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于 即Q为的中点时,满足题设的要求. ………………………10分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 已知点在抛物线:上.‎ ‎(1)若的三个顶点都在抛物线上,记三边,,所在直线的斜率分别为,,,求的值;‎ ‎(2)若四边形的四个顶点都在抛物线上,记四边,,,所在直线的斜率分别为,,,,求的值.‎ ‎22.解:(1)由点在抛物线,得,抛物线:,………3分 设,,‎ ‎.…7分 ‎(2)另设,则. ‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=BD.‎ ‎(1)若PM=PA,求证:MN⊥AD;‎ ‎(2)若二面角M-BD-A的大小为,求线段MN的长度.‎ C ‎·‎ ‎·‎ P M A B D N ‎(第22题图)‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 证明:连接AC,BD交于点O,以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴建立空间直角坐标系.‎ 因为PA=AB=,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).‎ ‎(1)由=,得N(0,,0),由=,得M(,0,),‎ 所以=(-,,-),=(-1,-1,0).‎ 因为·=0.所以MN⊥AD. ………………………………………4分 ‎(2)因为M在PA上,可设=λ,得M(λ,0,1-λ).‎ 所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).‎ 设平面MBD的法向量n=(x,y,z),‎ 由得 其中一组解为x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取n=(λ-1,0,λ).………………………………8分 因为平面ABD的法向量为=(0,0,1),‎ 所以cos=||,即=,解得λ=, ‎ 从而M(,0,),N(0,,0),‎ 所以MN==. ………………………………………10分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在空间直角坐标系A - xyz中,已知斜四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形,点B,D,B1分别在x,y,z轴上,B1A = 3,P是侧棱B1B上的一点,BP = 2PB1 .‎ ‎(1)写出点C1,P,D1的坐标;‎ ‎(2)设直线C1E⊥平面D1PC,E在平面ABCD内,‎ 求点E的坐标.‎ ‎22.解:(1)C1(0,3,3),P(1,0,2),‎ D1(-3,3,3). ………… 3分 ‎(2)∵C(3,3,0),‎ ‎∴ =(-2,-3,2),‎ ‎ =(-6,0,3). ………… 5分 设E(m,n,0),‎ 则 =(m,n - 3,-3). ‎ ‎∵C1E⊥平面D1PC,‎ ‎∴ ………… 7分 则 ‎ ‎∴,n = 2.‎ 则点E的坐标为(,2,0).………… 10分 A y x O B G F F1‎ ‎17. (本小题15分)设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;‎ ‎(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是 否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有 几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标). ‎ ‎17. 解:(1)由得,‎ 当得,G点的坐标为,‎ ‎,,‎ 过点G的切线方程为即,‎ 令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,‎ 即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;7分 ‎(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,同理 以为直角的只有一个;‎ 若以为直角,则点在以为直径的圆上,而以为直径的圆与抛物线有两个交点。所以以为直角的有两个;‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。………………15分 x y P O Q F ‎(第17题)‎ ‎17. (本小题15分)已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P 的直线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且 PQ与C在点P处的切线垂直? ‎ 若存在, 求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,则, 即a = 4 .‎ 故所求抛物线C的方程为x2 = 4y . …………………(5分)‎ ‎(Ⅱ) 解:设P(x1, y1), Q(x2, y2) , ‎ 则抛物线C在点P处的切线方程是,‎ 直线PQ的方程是.‎ 将上式代入抛物线C的方程, 得,‎ 故 x1+x2=, x1x2=-8-4y1,所以 x2=-x1 , y2=+y1+4 .‎ 而=(x1, y1-1), =(x2, y2-1),‎ ×=x1 x2+(y1-1) (y2-1)=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1‎ ‎=-4(2+y1)+ y1(+y1+4)-(+2y1+4)+1=-2y1 --7‎ ‎=(+2y1+1)-4(+y1+2)=(y1+1)2-==0, ‎ 故 y1=4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .‎ 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,已知点,P是动点,且POA的三边所在直线的斜 率满足kOP+kOA=kPA.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且,直线OP与QA交于点M,是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥‎ BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.‎ ‎(1)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值; ‎ ‎(2)线段EA上是否存在点F,使EC// 平面FBD?若存在,求出;若不存在,说明理由. ‎ ‎23.设抛物线C的方程为,M为直线上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线,切点分别为.‎ ‎(1)当时,求证:直线恒过定点;‎ ‎(2)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使为直角三角形.若存在,有几个这样的点;若不存在,说明理由.‎ ‎22. 过抛物线y2=4x上一点A(1,2)作抛物线的切线,分别交x轴于点B,交y轴于点D,‎ 点C(异于点A)在抛物线上,点E在线段AC上,满足=λ1;点F在线段BC上,满足 ‎=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD与EF交于点P.‎ ‎(1)设,求;‎ A B D x y O E F C P ‎(第22题图)‎ ‎(2)当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.‎ ‎3. 如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,⊥AC,M是的中点,N是BC的中点,点P在直线上,且满足.‎ ‎(Ⅰ)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大?‎ P N M A B C ‎(Ⅱ)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为,试确定点P的位置.‎ ‎2.解:直线l的普通方程为:,设椭圆C上的点到直线l距离为.‎ ‎∴当时,,当时,.‎ ‎3.解:(1)以AB,AC,分别为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 平面ABC的一个法向量为则 (*)‎ 于是问题转化为二次函数求最值,而当最大时,最大,所以当时,‎ ‎.‎ ‎(3)已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为,即可得到平面ABC的一个法向量为 ‎,设平面PMN的一个法向量为,.‎ 由得 ,解得.‎ 令于是由 ‎,‎ 解得的延长线上,且.‎ ‎23.在平面直角坐标系中,已知焦点为的抛物线上有两个动点、,且满足, 过、两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M. ‎ (1) 求:的值; ‎ (2) 证明:为定值. ‎ ‎23.解:设 焦点F(0,1)‎ ‎ ‎ ‎ 消得 化简整理得 ‎(定值)‎ ‎(2)抛物线方程为 过抛物线A、B两点的切线方程分别为和 即和 联立解出两切线交点的坐标为 ‎=(定值)‎ ‎2. 已知抛物线的方程为,直线截抛物线所得弦.‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 抛物线上是否存在异于点、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1) 由解得,‎ 所以,所以.‎ ‎(2) 由(1)得,,‎ 假设抛物线上存在异于点、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.‎ 令圆的圆心为,则由得 得,‎ 因为抛物线在点处的切线斜率,‎ 又该切线与垂直,所以 所以 因为,所以.‎ 故存在点且坐标为.‎ ‎17.(本小题满分16分)‎ 已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切.‎ 过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.‎ O l x y A B F ‎·‎ M 第17题 ‎(1)求⊙M和抛物线的方程;‎ ‎(2)若为抛物线上的动点,求的最小值;‎ ‎(3)过上的动点向⊙M作切线,切点为,‎ 求证:直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.‎ ‎17.解:(Ⅰ)因为,即,所以抛物线C的方程为……… 2分 设⊙M的半径为,则,所以的方程为……………… 5分 ‎ (Ⅱ)设,则=……8分 所以当时, 有最小值为2 ……………………………………………………………10分 ‎ (Ⅲ)以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦………………… 11分 设点,则,所以⊙Q的方程为…13分 从而直线QS的方程为(*)………………………………………………………………14分 ‎ 因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为 ……………16分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 已知动圆过点且与直线相切.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点作一条直线交轨迹于两点,轨迹在两点处的切线相交于点,为线段的中点,求证:轴.‎ O F x y ‎·‎ ‎·‎ P 第22题 ‎22.(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分 证明:设, ∵, ∴ ,∴ 的斜率分别 O F x y ‎·‎ ‎·‎ P 第22题 为,故的方程为,的方程为 …7分 即,两式相减,得,又,‎ ‎∴ 的横坐标相等,于是………………10分 ‎23.如图,已知抛物线的准线为,为上的一个动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,再分别过,两点作的垂线,垂足分别为,.‎ ‎(1)求证:直线必经过轴上的一个定点,并写出点的坐标;‎ ‎(2)若,,的面积依次构成等差数列,求此时点的坐标.‎ A B C D N O x y A B C D N O x y E Q ‎23.解法一:(1)因为抛物线的准线的方程为,所以可设点的坐标分别为,,,则,, 由,得,求导数得,于是,即,‎ 化简得,‎ 同理可得,‎ 所以和是关于的方程 两个实数根,所以,且.‎ 在直线的方程中,‎ 令,‎ 得=为定值,‎ 所以直线必经过轴上的一个定点,即抛物线的焦点.……………5分 ‎(2)由(1)知,所以为线段的中点,取线段的中点,‎ 因为是抛物线的焦点,所以,所以,‎ 所以 ‎,‎ 又因为,,‎ 所以,,成等差数列,即成等差数列,‎ 即成等差数列,所以,,‎ 所以,,‎ 时,,,‎ 时,,,所以所求点的坐标为.‎ ‎……………………………………………………………………………10分 解法二:(1)因为已知抛物线的准线的方程为,所以可设点的坐标分别为,,,则,,‎ 设过点与抛物线相切的直线方程为,与抛物线方程联立,消去得,‎ 因为直线与抛物线相切,所以,即,解得,此时两切点横坐标分别为,‎ 在直线的方程中,令得 ‎=为定值,‎ 所以直线必经过轴上的一个定点,即抛物线的焦点.……………5分 ‎(2)由(1)知两切线的斜率分别为,则,所以,‎ 连接,则直线斜率为,‎ 又因为直线的斜率,‎ 所以,‎ 所以,又因为,所以,‎ 所以和的面积成等差数列,所以成等差数列,‎ 所以成等差数列,所以,,‎ 所以,,‎ 时,,,‎ 时,,,‎ 所以所求点的坐标为. ………………………………10分 C A B P B1‎ C1‎ A1‎ 第22题图 ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱中,,,,动点满足,当时,.‎ ‎(1)求棱的长;‎ ‎(2)若二面角的大小为,求的值.‎ 解:(1)以点为坐标原点,分别为轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 设,则,,,‎ 所以,,, ………………2分 当时,有 解得,即棱的长为. ………………4分 ‎(2)设平面的一个法向量为,‎ 则由,得,即,‎ 令,则,所以平面的一个法向量为,………………6分 又平面与轴垂直,所以平面的一个法向量为,‎ 因二面角的平面角的大小为,‎ 所以,结合,解得. ………………10分 ‎22.(本小题满分10分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥AC,AB=AC=A1B=2,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B.(1)求异面直线AA1与BC所成角的大小;(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=,并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值.‎ ‎22.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0, 2, 0),B(2, 0 , 0),A1(0,-2, 2),B1(4, 0 , 2).从而,=(0,-2, 2),==(-2, 2, 0). ‎ 记与的夹角为θ,则有cosθ===-.‎ 又由异面直线AA1与BC所成角的范围为(0,π),可得异面直线AA1与BC所成的角为60º. ‎ ‎ ………………4分 ‎(2)记平面PAB和平面ABA1的法向量分别为m和n,则由题设可令m=(x, y, z),且有平面ABA1的法向量为n=(0,2,0).设=λ=(-2λ, 2λ, 0),则P(4-2λ, 2λ, 2).‎ 于是AP==,解得λ=或λ=.‎ 又可知λ∈(0, 1),则λ=舍去,故有λ=.从而,P为棱B1C1的中点,则坐标为P(3, 1, 2). ‎ 由平面PAB的法向量为m,故m⊥且m⊥.‎ 由m·=0,即(x, y, z)·(3, 1 ,2)=0,解得3x+y+2z=0; ①‎ 由m·=0,即(x, y, z)·(-1,-1,-2)=0,解得-x-y-2z=0,②‎ 解方程①、②可得,x=0,y+2z=0,令y=-2,z=1,‎ 则有m=(0,-2, 1) . ‎ 记平面PAB和平面ABA1所成的角为β,则cosβ====-.‎ 故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是. ………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知点,,动点满足.‎ ‎ (1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎ (2)在直线:上取一点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为.问:是否存在点,使得直线//?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎23.(1)设,则,,,‎ 由,得,化简得.‎ 故动点的轨迹的方程. …………………………………………………………5分 ‎(2)直线方程为,设, ,.‎ 过点的切线方程设为,代入,得,‎ 由,得,所以过点的切线方程为,……7分 同理过点的切线方程为.所以直线MN的方程为,………9分 又//,所以,得,而,‎ 故点的坐标为. ……………………………………………………………………10分 ‎23.如图,A、B、C是抛物线上三个不同的动点,直线AB过点,直线BC过点,求证:直线AC过一定点,并求该定点坐标.‎ ‎23.解:当时,,‎ ‎∴直线AB方程为.‎ ‎∵,∴直线AB方程为.‎ 当时也符合. ………………………………4分 同理:直线BC:,直线AC:.‎ ‎∵直线AB过,∴.‎ ‎∵直线BC过,∴.‎ ‎∴. ……………………………………………………8分 ‎∴.即.‎ 令得.所以直线AC过一定点.……………………………………10分 ‎(第22题)‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 如图,三棱锥P-ABC中,已知平面PAB⊥平面ABC,‎ AC⊥BC,AC=BC=2a,点O,D分别是AB,PB的中点,PO⊥AB,连结CD.‎ ‎(1)若,求异面直线PA与CD所成角的余弦 值的大小;‎ ‎(2)若二面角A-PB-C的余弦值的大小为,求PA.‎ ‎22.解:连结OC.‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABC,PO⊥AB,∴PO⊥平面ABC.从而PO⊥AB,PO⊥OC.‎ ‎∵AC=BC,点O是AB的中点,∴OC⊥AB.且. ……………2分 如图,建立空间直角坐标系.‎ ‎(1),.‎ ‎,,, ‎ ‎,. …………4分 从而, .‎ ‎∵,‎ ‎∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为. ……………………………6分 ‎(2)设,则.∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴OC⊥平面PAB.‎ 从而是平面PAB的一个法向量.‎ 不妨设平面PBC的一个法向量为,‎ ‎∵,, ∴‎ 不妨令x=1,则y=1,,则. ………………………8分 由已知,得,化简,得.‎ ‎∴. …………………………………10分 ‎22.已知斜率为的直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A、B两点。设线段AB的中点为M ‎(1)求点M的轨迹方程;‎ ‎(2)若时,点M到直线(为常数,)的距离总不小于,求的取值范围 ‎22. 斜率为1的直线与抛物线交于不同两点,求线段中点的轨迹方程.‎ 22. 解:设直线方程:,‎ 将代入,得,……2分 所以……6分 ‎,,……9分 线段中点的轨迹方程为:.……10分 ‎(第23题图)‎ ‎23.如图,在四棱锥中,已知底面,,,,异面直线和所成角等于. ‎ ‎(1)求直线和平面所成角的正弦值的大小;‎ ‎(2)在棱是否存在一点,使二面角的余弦值为?若存在,指出在棱上的位置;若不存在,说明理由.‎ ‎23.解:以为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴, .‎ 又,异面直线和所成角等于,‎ ‎∴,即,解得. …………………2分 ‎(1).设平面的一个法向量为,则由 得 …………………………4分 取,∵,‎ ‎∴直线和平面所成角的正弦值为. …………………………………6分 ‎(2)假设存在.设,且,则,.‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则由 得 ………………………………………8分 取,又平面的法向量,‎ 由,得,解得或(不合题意).‎ 所以存在这样的点,为的靠近的三等分点. ………………………10分 ‎22.过直线上的动点作抛物线的两切线,为切点.‎ ‎(1)若切线的斜率分别为,求证:为定值;‎ ‎(2)求证:直线过定点.‎ ‎22.(1)设过作抛物线的切线的斜率为,则切线的方程为,‎ 与方程联立,消去,得. ‎ 因为直线与抛物线相切,所以,‎ 即. 由题意知,此方程两根为,所以(定值).‎ ‎(2)设,由,得.‎ 所以在点处的切线斜率为:,因此,切线方程为:.‎ 由,化简可得,.‎ 同理,得在点处的切线方程为.‎ 因为两切线的交点为,故,.‎ 所以两点在直线上,即直线的方程为:.‎ 当时,,所以直线经过定点.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交于两点,为抛物线的准线与轴的交点.‎ 第22题图 ‎(1)若求直线的斜率;(2)求的最大值. ‎ ‎22.⑴因为抛物线焦点为,.‎ 当轴时,,,此时,与矛盾,……………2分 所以设直线的方程为,代入,得,‎ 则,, ①所以,所以,②…4分 因为,所以,将①②代入并整理得,,‎ 所以.………………………………………………………………………………6分 ‎⑵因为,所以,当且仅当,即时,取等,所以,所以的最大值为.……………………10分 ‎22. (本小题满分10分)‎ 如图,在各棱长均为的三棱柱中,侧面底面,.‎ ‎(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;‎ ‎(第22题)‎ ‎(2)已知点满足,在直线上是否存在点,使?若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎22. 解:(1)∵侧面底面,作于点,∴平面.‎ 又,且各棱长都相等,∴,,. ‎ 故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ‎,,,,‎ ‎∴,,. ‎ 设平面的法向量为,‎ 则 解得. ‎ 由. ‎ 而侧棱与平面所成角,即是向量与平面的法向量所成锐角的余角,‎ ‎∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为. …………5分 ‎(2)∵,而 ∴‎ 又∵,∴点的坐标为. ‎ 假设存在点符合题意,则点的坐标可设为,∴.‎ ‎∵,为平面的法向量,‎ ‎∴由,得. ‎ 又平面,故存在点,使,其坐标为,即恰好为点.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱中,已知,,.‎ ‎(第22题图)‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎(1)求异面直线与夹角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角平面角的余弦值.‎ ‎22.如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系.‎ ‎(第22题图)‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 则,,,,所以,,‎ ‎,.‎ ‎(1)因为,‎ 所以异面直线与夹角的余弦值为.‎ ‎ …………………………4分 ‎(2)设平面的法向量为,‎ 则 即 取平面的一个法向量为;‎ 设平面的法向量为,则 即 取平面的一个法向量为;‎ 则,‎ 所以二面角平面角的余弦值为. …………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物 的准线方程为 过点M(0,-2)作抛物线的切线MA,切点为A(异于点O).直线过点M与抛物线交于两点B,C,与直线OA交于点N.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎ (2)试问: 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由。‎ ‎23.(1)由题设知,,即 所以抛物线的方程为…………………………………………………………2分 ‎(2).……………………………………5分 所以直线的方程为. ……………………………………………… 6分 设直线方程为,得,‎ 所以.…………………………………………… 7分 得.………………………… 8分 所以,‎ 故为定值2.……………………………10分 ‎22C B A D E 第22题图 . 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,,‎ ‎,90°.‎ ‎ (1)求异面直线与所成角的大小;‎ ‎ (2)求二面角的余弦值.‎ ‎【解】设BE的中点为O,连结AO,DO,‎ 由于AB=AE,BO=OE,‎ 所以AO⊥BE,同理.‎ 又因为平面ABE⊥平面BCDE,平面平面BCDE=BE,所以AO⊥平面BCDE,‎ 由题意,,所以.‎ 解法一:(1)不妨设,以O为坐标原点,‎ C B A D E 第22题图 O xE yE zE 建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则 ,,,‎ ‎,. ………………3分 所以,,‎ 因为,‎ 所以与的夹角为120°,‎ 所以异面直线AB与DE所成角为60°.………………………………………5分 ‎(2)设平面ACE的法向量为,‎ 因为,,‎ 所以,,所以,且,取,得,‎ 所以,,又平面的法向量为,‎ 设二面角的平面角为,由,‎ 因此,二面角的余弦值为. ……………………………10分 解法二:(1)不妨设,以B为原点,建立如图所示空间直角坐标系B-xyz,‎ C B A D E 第22题图 O xE yE zE 则,,则,,,…3分 则,,‎ 因为,‎ 所以与的夹角为120°,‎ 所以异面直线AB与DE所成角为60°. …………………………………5分 ‎(2)设平面ACE的法向量为,,,‎ 所以, ,解得 设平面的法向量为,,,‎ 所以, ,解得 设二面角的平面角为,则,‎ 因此,二面角的余弦值为. ……………………………10分 ‎22.如图,抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点,,‎ 均在抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若的平分线垂直于轴,证明直线的斜率为定值.‎ P A B O 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为 ‎ 因为点在抛物线上,所以,得.……………………3分 故所求抛物线的方程是 . ……………………4分 ‎(II)由题:,所以……………………6分 ‎,所以,‎ 所以. ……………………8分 ‎ ……………………10分 ‎18. 已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)过的直线与相交于、两点,若的垂直平分线与相交于、两点,且、、、四点在同一圆上,求的方程.‎ ‎【解析】 (1)设,代入得.‎ 所以,.‎ 由题设得.解得或.‎ 所以的方程为.‎ ‎(2)依题意知与坐标轴不垂直,故可设的方程为().‎ 代入得.‎ 设,,则,.‎ 故的中点为..‎ 又的斜率为,所以的方程为.‎ 将上式代入,并整理得.‎ 设,,则,.‎ 故的中点为..‎ 由于垂直平分,故、、、四点在同一圆上等价于,‎ 从而,‎ 即.‎ 化简得,解得或.‎ 所求直线的方程为:或.‎