2015高考数学题库新附加题空间向量抛物线复合函数的导数 60页

‎1. 已知边长为6的正方体，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，是的中点.‎ ‎（1）求与平面所成角的余弦值； ‎ ‎（2）设点在线段上，且，试确定的值，使得的长度最短．‎ E A C D A B A A E A C D A B A A 解：如图建系：可得,,,.‎ ‎（1）设，,‎ 则；，‎ 设与平面所成角为，则． （5分）‎ ‎（2）由题知,,,设 ‎，，‎ 当时，的长度取得最小值． （10分）‎ ‎5. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且．‎ ‎（1）求棱与BC所成的角的大小；‎ ‎（第22题）‎ B A C A1‎ B1‎ C1‎ ‎（2）在棱上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ 则 ，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 故与棱BC所成的角是． ………………………4分 B A C A1‎ B1‎ C1‎ z x y P ‎（2）设，则．‎ 于是（舍去），‎ 则P为棱的中点，其坐标为． …………6分 设平面的法向量为n1，‎ 则 故n1． ………………………………………………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1,0,0)，则，‎ 故二面角的平面角的余弦值是． ………………………………………10分 ‎6. 已知函数，．‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ ‎【解】（1），则.‎ 令，则. ………………………………1分 当时，， 在上为增函数.‎ 当x＞0时，，在上为减函数. ………………………………3分 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以，‎ 函数g(x)在上为减函数. …………………………………………………………4分 当x＞0时，． ……………………………………………………5分 ‎（2）函数的定义域是，‎ ‎， …………………………………6分 由（1）知，‎ 当时，，‎ 当x＞0时，， ‎ 所以，当时，在（－1，0）上为增函数.‎ 当x＞0时，,在上为减函数. …………………………8分 故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.‎ 故x=0时有极大值0． ……………………………………………………………10分 F E C ‎1‎ B ‎1‎ A ‎1‎ C B A ‎（第22题图）‎ ‎22． (本小题满分10分)‎ 如图，在直三棱柱中，，AB=AC=a，，点E，F分别在棱，上，且，．设．‎ ‎ （1）当=3时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）当平面⊥平面时，求的值．‎ z y x F E C ‎1‎ B ‎1‎ A ‎1‎ C B A ‎（第22题图）‎ ‎22．解：建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎（1）设a=1，则AB=AC=1，3，各点的坐标为,，，．‎ ‎，．…………2分 ‎∵,，‎ ‎∴．‎ ‎∴向量和所成的角为，‎ ‎∴异面直线与所成角为．…4分 ‎（2）∵，，‎ ‎ ∴． ‎ 设平面的法向量为，‎ 则，且．‎ 即，且．‎ 令，则．‎ ‎∴=是平面的一个法向量． ………6分 同理，=是平面的一个法向量． ………8分 ‎∵平面⊥平面，‎ ‎∴．∴．‎ 解得，．‎ ‎∴当平面⊥平面时，． ………………………10分 ‎22．已知函数，，求的最大值.‎ 证明：由得，（2分）‎ 令，则，‎ 当时，，在上为增函数；‎ 当x＞0时，，在上为减函数，‎ 所以在x=0处取得极大值，且，（6分）‎ 故（当且仅当时取等号），‎ 所以函数为上的减函数，（8分）‎ 则，即的最大值为0．（10分）‎ ‎22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 已知函数，其中a＞0．‎ ‎(1)若在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎(2)若的最小值为1，求a的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：(1) ．‎ 因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)．……………………4分 ‎(2)，因 ，故ax+1＞0，1+x＞0．‎ 当a≥2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1．‎ 当0a)‎ ‎∵ ∴= ‎∴as2+(m-a)s-m=0‎ ‎∵(as+m)(s-1)=0 ∴S=- ‎∴A1(，-2m) …………………………5′‎ ‎∵ ∴= ‎∵2at2+(m-4a)t-2m=0 ∴(2at+m)(t-2)=0‎ ‎∴t=- ∴B1(，-m) …………………………6′‎ ‎∴的直线方程为y+2m=(x- )…………………………7′‎ ‎∵直线的斜率为在单调 ‎∴所以集合M中的直线必定相交，…………………………8′‎ ‎∵直线的横截距为在单调，纵截距为在单调 ‎∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。‎ ‎3、如图，在三棱锥中，平面⊥平面，,‎ ‎.‎ ‎(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；‎ ‎ (2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.‎ ‎5.解：取AC中点O,因为AB=BC，所以,‎ ‎∵平面⊥平面 平面平面=AC,‎ ‎∴平面PAC ‎∴…………………………1′‎ 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为 x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ 因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1‎ 从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),‎ C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′‎ ‎∴‎ 设平面PBC的法向量，‎ 由得方程组 ‎，取…………………………3′‎ ‎∴‎ ‎∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。…………………………4′‎ ‎（2）由题意平面PAC的法向量，…………………………5′‎ 设平面PAM的法向量为 ‎∵又因为 ‎∴ 取，…………………………7′‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ 或 （舍去）‎ ‎∴B点到AM的最小值为垂直距离。…………………………10′‎ ‎22．(本小题满分10分) ‎ A BB CB EB DB PB ‎（第22题）‎ 如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．‎ ‎（1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；‎ ‎（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．‎ A BB CB EB DB PB ‎（第22题）‎ y x z F ‎22．解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．‎ 则A(0，0，0)，B(，1，0)，‎ C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，‎ 从而＝(，1，－2)， ＝(0，1，1)． ‎ 设直线AE与PB所成角为θ，‎ 则cosθ＝||＝．‎ 即直线AE与PB所成角的余弦值为 ． …………………… 4分 ‎（2）设PA的长为a，则P(0，0，a)，从而＝(，1，－a)，＝(0，2，－a)．‎ 设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0，‎ 所以x＋y－az＝0，2y－az＝0．‎ 令z＝2，则y＝a，x＝a．‎ 所以n1＝(a，a，2)是平面PBC的一个法向量． ‎ 因为D，E分别为PB，PC中点，所以D(，，)，E(0，1，)， ‎ 则＝(，，)，＝(0，1，)．‎ 设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·＝0，n2·＝0．‎ 所以x＋y＋z＝0，y＋z＝0．‎ 令z＝2，则y＝－a，x＝－a．‎ 所以n2＝(－a，－a，2)是平面ADE的一个法向量． …………………… 8分 因为面ADE⊥面PBC，‎ 所以n1⊥n2，即n1·n2＝(a，a，2)·(－ a，－a，2)＝－a2－a2＋4＝0，‎ 解得a＝，即PA的长为． …………………… 10分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，为的中点，在线段上．‎ ‎（1）若平面，求;‎ ‎（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎（第23题）‎ ‎23. 解：（1）因为直三棱柱中，以点为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ A B C C1‎ B1‎ A1‎ F D x y z 因为，所以,‎ 所以.‎ ‎ 设则 ‎.‎ 因为⊥平面，所以.‎ ‎ 由，得或，‎ ‎ 故当⊥平面时，可得或．………………………………………………… 5分 ‎ （2）由（1）知平面的法向量为．‎ ‎ 设平面的法向量为，则由,得 ‎ 令得，‎ ‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值 ‎ ………………………………………………10分 ‎24. （本小题满分10分）‎ 已知常数，函数.‎ ‎(1)讨论在区间上的单调性；‎ ‎(2)若存在两个极值点且，求的取值范围．‎ ‎24. 解：(1)f′(x)＝－＝.(*)‎ 当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．‎ 当00.‎ 故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，‎ 在区间(x1，＋∞)上单调递增．‎ 综上所述，‎ 当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；‎ 当0＜a＜1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． 4分 ‎(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，‎ 此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0－且x≠－2，‎ 所以－2>－，－2≠－2，‎ 解得a≠.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点．‎ 而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－＋ln(1＋ax2)－＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－‎ ＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2＋－2.‎ 令2a－1＝x.由0g(1)＝0.故当0.‎ 综上所述，满足条件的a的取值范围为. ………………………………10分 ‎24. 已知动圆C过点且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆圆心C的轨迹E方程；‎ ‎（2）设为轨迹E上异于原点O的两个不同点，直线的倾斜角分别为，‎ 且.当变化时，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎24. 解：（1）………………………………………………………………………4分 ‎（2）设OA：（）‎ ‎ ,‎ 由，由 下证A、B、Q（-4,4）三点共线：‎ 直线AB恒过定点Q（-4,4）. …………………………………………………………10分 ‎22．(本小题满分10分)‎ ‎ 己知直线与抛物线相交于两点，且）为轴上任意一点，连接并延长与抛物线分别相交于．‎ ‎（1）设斜率为，求证：为定值；‎ ‎（2）设直线与轴分别交于，令 N M M ‎，‎ 若构成等比数列，求的值．‎ ‎22.解：（1），，设A1，B1，‎ ‎，同理：…5分 ‎（2）A1B1：‎ ‎，‎ 构成的等比数列，∴而. ………………10分 ‎23．(本小题满分10分) ‎ 如图，在三棱柱中，底面为直角三角形，，顶点在底面内的射影是点，且，点是平面内一点．‎ ‎（1）若是的重心，求直线与平面所成角；‎ ‎（2）是否存在点，使且平面平面，若存在，求出线段的长度，若不存在，说明理由．‎ ‎23.解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz//BC1，以Cz为z轴 ‎（1）T是△ABC1重心 设面ABC1的法向量为 取法向量 设TA1与面ABC1所成角为. ………………5分 ‎（2）T在面ABC1内，，‎ 即.由得 ①‎ 设面CAA1C1法向量为 取 设面TA1C1法向量为 取，由平面平面得②‎ 由①②解得,存在点T，TC=. ………10分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．‎ ‎（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段的长度；‎ ‎（2）是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成的二面A1‎ C1‎ B1‎ M C N B A P ‎（第22题）‎ 角为，若存在，请指明点P的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），‎ M（0，1，），N（，，0），，‎ A1‎ C1‎ B1‎ M B A P x y z ‎；．……………2分 ‎（1）∵是平面ABC的一个法向量．‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最大值，此时，‎ 答：当时，取得最大值，此时．………………5分 ‎（2）设存在，，设是平面PMN的一个法向量．‎ 则得令x=3，得y=1+2，z=2-2；‎ ‎∴， ……………7分 ‎∴，化简得4（*）‎ ‎∵△＝100－4413＝－108＜0，∴方程（*）无解，‎ ‎∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º．…………10分 ‎22. 如图，正方体的棱长为，分别在棱和上（含线段端点）．‎ ‎（1）如果,试证明四点共面；‎ ‎（2）在（1）的条件下，是否存在一点，使得直线和平面所成角等于？如果存在，确定的位置；如果不存在，试说明理由．‎ 解：（1）共面；（2）与重合时 ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M 为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交 抛物线C与点P，Q．‎ ‎（1）当MN Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；‎ ‎（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：．‎ ‎【解】（1）抛物线C：的焦点F(1，0) ．‎ 当MN Ox时，直线MN的方程为 ．‎ ‎ 将代入抛物线方程，得．‎ ‎ 不妨设，，‎ 则直线ME的方程为，‎ 由解得或，于是得．‎ 同理得，所以直线的方程为．‎ 故直线PQ与x轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 ‎ （2）设直线MN的方程为，‎ ‎ 并设．‎ 由，‎ 于是①，从而②．‎ 设直线MP的方程为，‎ 由，‎ 所以③，④．‎ 同理⑤，⑥．‎ 由①②③④⑤⑥，得．‎ ‎ ‎ ‎ 即．…………………………………………………………………………10分 ‎22．在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点 为平面内的动点，且满足，．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点 分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：‎ ‎．‎ ‎【解】（1）设点，，．‎ 由可知，点是的中点，‎ 所以即所以点，．‎ 所以，． …………3分 由，可得，即．‎ 所以动点的轨迹的方程为．……………5分 ‎（2）设点，‎ 由于过点的直线与轨迹：相切，‎ 联立方程，整理得．…………7分 则，‎ 化简得．‎ 显然，，是关于的方程的两个根，所以．‎ 又，故．‎ 所以命题得证． ……………………………10分 ‎23．已知抛物线，点F为其焦点，点N(3，1)在抛物线C的内部，设点 M是抛物线C上的任意一点，的最小值为4．‎ ‎（1）求抛物线C的方程.‎ ‎（2）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A，B，与y轴交于点P，且，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．‎ ‎23．解：（1）抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为l1:x=,点M到l1的距离设为d,‎ 由抛物线定义，所以p=2,‎ 因此抛物线C的方程为y2=4x. ………………………………4分 ‎（2）.‎ 理由如下：设A(x1,y1),B(x2,y2),已知F(1,0)，‎ 由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，‎ 设l:y=k(x-1),则P(0，-k),‎ 由知，(1,k)=λ1(x1-1,y1)=λ2(x2-1,y2),‎ ‎∴k=λ1y1=λ2y2,‎ ‎∵k≠0,∴ …………………………………6分 将y=k(x-1)代入y2=4x得 y1+y2= ,y1y2=-4.‎ ‎∴=- ×,‎ ‎∴=k×()=为定值. ………………………………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．‎ ‎23．解：（1）设动点的坐标为，‎ 由题意有………………2分 化简得．‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴动点的轨迹的方程为和．………………4分 ‎（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，设为，则的方程为．‎ 由，得．‎ 设，则是上述方程的两个实根，‎ 于是．……6分 ‎∵，∴的斜率为．‎ 设，则同理可得．………………7分 ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，取最小值．‎ ‎∴的最小值为．………………………………10分 ‎22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．‎ ‎（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； ‎ ‎（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．‎ ‎22. （1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB， ‎ 因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， ‎ 所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别 为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 所以 ，，，．‎ 所以 ，，‎ 所以，‎ 即异面直线BE与CP所成角的余弦值为． -----------------------------5分 ‎ ‎（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．‎ 设P点坐标为，在平面APC中，，，‎ 所以 平面APC的法向量为， ‎ 所以， ‎ 解得，或（舍）． 所以． ---------------10分 ‎ ‎6.（江苏省如皋中学）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．学科网 ‎（1）当变化时，证明点的轨迹为抛物线。并求此抛物线方程．（2）如图，在（1）的抛物线中，过点的两直线与抛物线相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，．求证直线恒过某定点．‎ 解：（1）由，得点是线段的中点，又由，所以，因为，即为点到直线的距离，则点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，所求点的轨迹的方程 。‎ ‎(2)设，‎ 设过焦点的直线方程为，代入抛物线 ，‎ 得，则，所以 ‎ 由，则。设直线方程为，代入抛物线 ，‎ 得，得，则，所以直线恒过定点。‎ ‎4．设实数a，b满足0≤a≤≤b≤1，证明：2(b－a)≤cosπa－cos πb．‎ 证明：设f(x)＝2x＋cosπx，欲证不等式转化为f(b)≤f(a)．‎ 由于f ′(x)＝2－πsinπx ，f ′′(x)＝－π2cosπx．‎ 当x∈(0，)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＜0，当x∈(，1)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＞0，‎ 所以f ′(x)在区间[0，]上单调减，在区间[，1]上单调增．‎ 因为f ′(0)＝f ′(1)＝2和f ′()＝2－π＜0，所以存在α和β， 0＜α＜＜β＜1，‎ 使得f ′(α)＝f ′(β)＝0，f ′(x)＜0当且仅当x∈(α，β)． ‎ 于是函数f(x)在区间[0，α]和[β，1]上单调增，在区间[α，β]上单调减．‎ 因为f(0)＝f ()＝f (1)＝1，故对于x∈[0，]有f(x)≥1，对于x∈[，1]有f(x)≤1．‎ 特别地， f (b)≤1≤f (a)．‎ ‎21. 已知，求函数的最小值以及取最小值时所对应的值．‎ 解：由知：‎ 当且仅当=即时取等号，‎ ‎∴当时 ‎23．已知抛物线，过其对称轴上一点作一直线交抛物线于两点，，求的斜率.‎ ‎23、解：设直线方程为，，则 由，得，则，，‎ ‎∴，∴，又，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴. …………………………………………10分 ‎22. 已知边长为6的正方体，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，是的中点.‎ E A C D A B A A ‎（1）求与平面所成角的余弦值； （2）设点在线段上，且，试确定的值，使得的长度最短.‎ E A C D A B A A ‎22.解：如图建系：可得,,,.‎ ‎（1）设，,‎ 则；，‎ 设与平面所成角为，则. （5分）‎ ‎（2）由题知,,,设 ‎，，‎ 当时，的长度取得最小值. （10分）‎ ‎23. 动圆M与圆外切,且与直线相切.‎ ‎(1) 求动圆M圆心的轨迹方程;‎ ‎(2) 已知斜率为的直线交(1) 中方程的曲线于A,B两个不同的点,定点.求证:直线与轴总围成等腰三角形.‎ ‎3.解：(1) 由条件易得：圆心的轨迹方程为…………………3分 ‎(2) 由条件可设直线方程为，则由消去得：‎ 所以若设，则有………6分 ‎，同理………………………8分 ‎()‎ 直线的倾斜角互补，即直线与x轴总围成等腰三角形．……………10分 ‎24. 如图(1),矩形的对角线交于点O,.沿AC把△ACD折起,使二面角为直面角,如图(2).‎ ‎ (1) 在图(2)中,点满足,求的值;‎ ‎ (2) 求二面角的余弦值.‎ ‎4.解：(1) 过点作交于点，，，，，，，又，，，‎ ‎，……………………2分 点满足，点在上．……………………………………………3分 在直角中，若设，则，由等面积法知，，，………………………………5分 ‎(2) ……………………………………………………………………………10分 三、空间向量 ‎13、如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD.‎ ‎（1）若，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角的余弦值；‎ ‎③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；‎ ‎（3）若，记二面角的大小为，若，求的取值范围.‎ ‎14、如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上 的一点，.（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；‎ ‎（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论. ‎ A B C D P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ C1‎ x y z ‎13、如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），‎ ‎ A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），（1分）‎ ‎ （1）（2分）‎ ‎ ∴ （3分）‎ ‎ ∴ ，∴异面直线PC与BD所成的角为60°（4分）‎ ‎（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记（5分）‎ ‎ （6分）‎ ‎ ∴ 若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，（7分）‎ 即，∴（8分）‎ 又∵面，∴，∴PC⊥平面ADE. （9分）‎ ‎∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE. （10分）‎ ‎（3）‎ ‎14、（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),‎ B1(1,1,1), D1(0,0,2).‎ 所以 又由的一个法向量.‎ 设与所成的角为，‎ 则=，解得.‎ 故当时，直线AP与平面所成角为60º. …………………………5分 ‎（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，‎ 则.‎ 依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于 即Q为的中点时，满足题设的要求. ………………………10分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知点在抛物线：上.‎ ‎（1）若的三个顶点都在抛物线上，记三边，，所在直线的斜率分别为，，，求的值；‎ ‎（2）若四边形的四个顶点都在抛物线上，记四边，，，所在直线的斜率分别为，，，，求的值.‎ ‎22．解：（1）由点在抛物线，得，抛物线：，………3分 设，，‎ ‎.…7分 ‎(2)另设，则. ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．‎ ‎（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；‎ ‎（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．‎ C ‎·‎ ‎·‎ P M A B D N ‎(第22题图)‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．‎ 因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．‎ ‎（1）由＝，得N(0，，0)，由＝，得M(，0，)，‎ 所以＝(－，，－)，＝(－1，－1，0)．‎ 因为·＝0．所以MN⊥AD． ………………………………………4分 ‎（2）因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．‎ 所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．‎ 设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，‎ 由得 其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分 因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，‎ 所以cos＝||，即＝，解得λ＝， ‎ 从而M(，0，)，N(0，，0)，‎ 所以MN＝＝． ………………………………………10分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在空间直角坐标系A - xyz中，已知斜四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A = 3，P是侧棱B1B上的一点，BP = 2PB1 ．‎ ‎（1）写出点C1，P，D1的坐标；‎ ‎（2）设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，‎ 求点E的坐标．‎ ‎22．解：（1）C1（0，3，3），P（1，0，2），‎ D1（-3，3，3）． ………… 3分 ‎（2）∵C（3，3，0），‎ ‎∴ =（-2，-3，2），‎ ‎ =（-6，0，3）． ………… 5分 设E（m，n，0），‎ 则 =（m，n - 3，-3）． ‎ ‎∵C1E⊥平面D1PC，‎ ‎∴ ………… 7分 则 ‎ ‎∴，n = 2．‎ 则点E的坐标为（，2，0）．………… 10分 A y x O B G F F1‎ ‎17. （本小题15分）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ ‎(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是 否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有 几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． ‎ ‎17. 解：（1）由得，‎ 当得，G点的坐标为，‎ ‎，，‎ 过点G的切线方程为即，‎ 令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，‎ 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；7分 ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个；‎ 若以为直角，则点在以为直径的圆上，而以为直径的圆与抛物线有两个交点。所以以为直角的有两个；‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。………………15分 x y P O Q F ‎(第17题)‎ ‎17. （本小题15分）已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P 的直线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且 PQ与C在点P处的切线垂直? ‎ 若存在, 求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,则, 即a = 4 .‎ 故所求抛物线C的方程为x2 = 4y . …………………(5分)‎ ‎(Ⅱ) 解:设P(x1, y1), Q(x2, y2) , ‎ 则抛物线C在点P处的切线方程是,‎ 直线PQ的方程是.‎ 将上式代入抛物线C的方程, 得,‎ 故 x1+x2=, x1x2=－8－4y1,所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .‎ 而＝(x1, y1－1), ＝(x2, y2－1),‎ ×＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1‎ ‎＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1＝－2y1 －－7‎ ‎＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)＝(y1＋1)2－＝＝0, ‎ 故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .‎ 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，P是动点，且POA的三边所在直线的斜 率满足kOP+kOA=kPA．‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥‎ BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．‎ ‎（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值； ‎ ‎（2）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由． ‎ ‎23．设抛物线C的方程为，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为．‎ ‎（1）当时，求证：直线恒过定点；‎ ‎（2）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形．若存在，有几个这样的点；若不存在，说明理由．‎ ‎22． 过抛物线y2=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，‎ 点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足 ‎=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．‎ ‎（1）设，求；‎ A B D x y O E F C P ‎(第22题图)‎ ‎（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．‎ ‎3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.‎ ‎（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？‎ P N M A B C ‎（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.‎ ‎2．解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.‎ ‎∴当时，，当时，.‎ ‎3．解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 平面ABC的一个法向量为则 （*）‎ 于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，‎ ‎.‎ ‎（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为 ‎，设平面PMN的一个法向量为，.‎ 由得 ，解得.‎ 令于是由 ‎，‎ 解得的延长线上，且.‎ ‎23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ． ‎ （1） 求：的值； ‎ （2） 证明：为定值． ‎ ‎23.解：设 焦点F（0,1）‎ ‎ ‎ ‎ 消得 化简整理得 ‎（定值）‎ ‎（2）抛物线方程为 过抛物线A、B两点的切线方程分别为和 即和 联立解出两切线交点的坐标为 ‎=（定值）‎ ‎2. 已知抛物线的方程为，直线截抛物线所得弦.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1) 由解得,‎ 所以，所以.‎ ‎(2) 由(1)得，,‎ 假设抛物线上存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.‎ 令圆的圆心为，则由得 得，‎ 因为抛物线在点处的切线斜率，‎ 又该切线与垂直，所以 所以 因为，所以.‎ 故存在点且坐标为.‎ ‎17．(本小题满分16分)‎ 已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．‎ 过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.‎ O l x y A B F ‎·‎ M 第17题 ‎（1）求⊙M和抛物线的方程；‎ ‎（2）若为抛物线上的动点,求的最小值；‎ ‎（3）过上的动点向⊙M作切线,切点为,‎ 求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为,即,所以抛物线C的方程为……… 2分 设⊙M的半径为,则,所以的方程为……………… 5分 ‎ （Ⅱ）设,则=……8分 所以当时, 有最小值为2 ……………………………………………………………10分 ‎ （Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦………………… 11分 设点,则,所以⊙Q的方程为…13分 从而直线QS的方程为(*)………………………………………………………………14分 ‎ 因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为 ……………16分 ‎22.（本小题满分10分）‎ 已知动圆过点且与直线相切.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.‎ O F x y ‎·‎ ‎·‎ P 第22题 ‎22.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分 证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别 O F x y ‎·‎ ‎·‎ P 第22题 为，故的方程为，的方程为 …7分 即，两式相减，得，又，‎ ‎∴ 的横坐标相等，于是………………10分 ‎23.如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，．‎ ‎（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；‎ ‎（2）若，，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标．‎ A B C D N O x y A B C D N O x y E Q ‎23.解法一：（1）因为抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，， 由，得，求导数得，于是，即，‎ 化简得，‎ 同理可得，‎ 所以和是关于的方程 两个实数根，所以，且．‎ 在直线的方程中，‎ 令，‎ 得=为定值，‎ 所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………5分 ‎(2)由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，‎ 因为是抛物线的焦点，所以，所以，‎ 所以 ‎，‎ 又因为，，‎ 所以，，成等差数列，即成等差数列，‎ 即成等差数列，所以，，‎ 所以，，‎ 时，，，‎ 时，，，所以所求点的坐标为．‎ ‎……………………………………………………………………………10分 解法二：（1）因为已知抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，，‎ 设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得，‎ 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得，此时两切点横坐标分别为，‎ 在直线的方程中，令得 ‎=为定值，‎ 所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………5分 ‎（2）由（1）知两切线的斜率分别为，则，所以，‎ 连接，则直线斜率为，‎ 又因为直线的斜率，‎ 所以，‎ 所以，又因为，所以，‎ 所以和的面积成等差数列，所以成等差数列，‎ 所以成等差数列，所以，，‎ 所以，，‎ 时，，，‎ 时，，，‎ 所以所求点的坐标为． ………………………………10分 C A B P B1‎ C1‎ A1‎ 第22题图 ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，，动点满足，当时，.‎ ‎（1）求棱的长；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求的值.‎ 解：（1）以点为坐标原点，分别为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ 所以，，， ………………2分 当时，有 解得，即棱的长为. ………………4分 ‎（2）设平面的一个法向量为，‎ 则由，得，即，‎ 令，则，所以平面的一个法向量为，………………6分 又平面与轴垂直，所以平面的一个法向量为，‎ 因二面角的平面角的大小为，‎ 所以，结合，解得. ………………10分 ‎22．（本小题满分10分） 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BA⊥AC，AB＝AC＝A1B＝2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B．（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP＝，并求出二面角P－AB－A1的平面角的余弦值．‎ ‎22．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0, 2, 0)，B(2, 0 , 0)，A1(0,－2, 2)，B1(4, 0 , 2)．从而，＝(0,－2, 2)，＝＝(－2, 2, 0)． ‎ 记与的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝－.‎ 又由异面直线AA1与BC所成角的范围为（0，π），可得异面直线AA1与BC所成的角为60º. ‎ ‎ ………………4分 ‎（2）记平面PAB和平面ABA1的法向量分别为m和n，则由题设可令m＝(x, y, z)，且有平面ABA1的法向量为n＝(0,2,0).设＝λ＝(－2λ, 2λ, 0)，则P(4－2λ, 2λ, 2)．‎ 于是AP＝＝，解得λ＝或λ＝．‎ 又可知λ∈(0, 1)，则λ＝舍去，故有λ＝．从而，P为棱B1C1的中点，则坐标为P(3, 1, 2)． ‎ 由平面PAB的法向量为m，故m⊥且m⊥.‎ 由m·＝0，即(x, y, z)·(3, 1 ,2)＝0，解得3x＋y＋2z＝0； ①‎ 由m·＝0，即(x, y, z)·(－1,－1,－2)＝0，解得－x－y－2z＝0，②‎ 解方程①、②可得，x＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，z＝1，‎ 则有m＝(0,－2, 1) . ‎ 记平面PAB和平面ABA1所成的角为β，则cosβ＝＝＝＝－.‎ 故二面角P－AB－A1的平面角的余弦值是． ………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知点，，动点满足．‎ ‎ (1)求动点的轨迹的方程；‎ ‎ (2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．(1)设，则，，，‎ 由，得，化简得.‎ 故动点的轨迹的方程. …………………………………………………………5分 ‎(2)直线方程为，设， ，．‎ 过点的切线方程设为，代入，得，‎ 由，得，所以过点的切线方程为，……7分 同理过点的切线方程为．所以直线MN的方程为，………9分 又//，所以，得，而，‎ 故点的坐标为． ……………………………………………………………………10分 ‎23．如图，A、B、C是抛物线上三个不同的动点，直线AB过点，直线BC过点，求证：直线AC过一定点，并求该定点坐标．‎ ‎23．解：当时，，‎ ‎∴直线AB方程为．‎ ‎∵，∴直线AB方程为．‎ 当时也符合． ………………………………4分 同理：直线BC：，直线AC：．‎ ‎∵直线AB过，∴．‎ ‎∵直线BC过，∴．‎ ‎∴． ……………………………………………………8分 ‎∴．即．‎ 令得．所以直线AC过一定点．……………………………………10分 ‎（第22题）‎ ‎22． (本小题满分10分)‎ 如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，‎ AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．‎ ‎（1）若，求异面直线PA与CD所成角的余弦 值的大小；‎ ‎（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为，求PA．‎ ‎22．解：连结OC．‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥OC．‎ ‎∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且． ……………2分 如图，建立空间直角坐标系．‎ ‎（1），．‎ ‎，，， ‎ ‎，． …………4分 从而， ．‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为． ……………………………6分 ‎（2）设，则．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．‎ 从而是平面PAB的一个法向量．‎ 不妨设平面PBC的一个法向量为，‎ ‎∵，， ∴‎ 不妨令x=1，则y=1，，则． ………………………8分 由已知，得，化简，得．‎ ‎∴． …………………………………10分 ‎22．已知斜率为的直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A、B两点。设线段AB的中点为M ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若时，点M到直线（为常数，）的距离总不小于，求的取值范围 ‎22. 斜率为1的直线与抛物线交于不同两点，求线段中点的轨迹方程．‎ 22． 解：设直线方程：，‎ 将代入,得,……2分 所以……6分 ‎，,……9分 线段中点的轨迹方程为：.……10分 ‎（第23题图）‎ ‎23．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，异面直线和所成角等于． ‎ ‎(1)求直线和平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎(2)在棱是否存在一点，使二面角的余弦值为?若存在，指出在棱上的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎23．解：以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设,则．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．∴， ．‎ 又，异面直线和所成角等于，‎ ‎∴，即，解得． …………………2分 ‎(1)．设平面的一个法向量为，则由 得 …………………………4分 取，∵，‎ ‎∴直线和平面所成角的正弦值为． …………………………………6分 ‎(2)假设存在．设，且，则，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由 得 ………………………………………8分 取，又平面的法向量，‎ 由，得，解得或(不合题意)．‎ 所以存在这样的点，为的靠近的三等分点． ………………………10分 ‎22．过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点．‎ ‎（1）若切线的斜率分别为，求证：为定值；‎ ‎（2）求证：直线过定点．‎ ‎22．（1）设过作抛物线的切线的斜率为，则切线的方程为，‎ 与方程联立，消去，得. ‎ 因为直线与抛物线相切，所以，‎ 即. 由题意知，此方程两根为，所以(定值).‎ ‎（2）设，由，得.‎ 所以在点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：.‎ 由，化简可得，.‎ 同理，得在点处的切线方程为.‎ 因为两切线的交点为，故,.‎ 所以两点在直线上，即直线的方程为：.‎ 当时,，所以直线经过定点.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交于两点,为抛物线的准线与轴的交点.‎ 第22题图 ‎（1）若求直线的斜率；（2）求的最大值. ‎ ‎22．⑴因为抛物线焦点为，．‎ 当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分 所以设直线的方程为，代入，得，‎ 则，， ①所以，所以，②…4分 因为，所以，将①②代入并整理得，，‎ 所以.………………………………………………………………………………6分 ‎⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为.……………………10分 ‎22. （本小题满分10分）‎ 如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．‎ ‎（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎（第22题）‎ ‎（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎22. 解：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面.‎ 又，且各棱长都相等，∴，，. ‎ 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，，，，‎ ‎∴，，． ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 解得. ‎ 由． ‎ 而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，‎ ‎∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为． …………5分 ‎（2）∵，而 ∴‎ 又∵，∴点的坐标为． ‎ 假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．‎ ‎∵，为平面的法向量，‎ ‎∴由，得． ‎ 又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱中，已知，，．‎ ‎（第22题图）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎（1）求异面直线与夹角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角平面角的余弦值．‎ ‎22．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．‎ ‎（第22题图）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 则，，，，所以，，‎ ‎，．‎ ‎（1）因为，‎ 所以异面直线与夹角的余弦值为．‎ ‎ …………………………4分 ‎（2）设平面的法向量为，‎ 则 即 取平面的一个法向量为；‎ 设平面的法向量为，则 即 取平面的一个法向量为；‎ 则，‎ 所以二面角平面角的余弦值为． …………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.‎ ‎（1）求抛物线的方程;‎ ‎ （2）试问: 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。‎ ‎23．（1）由题设知，，即 所以抛物线的方程为…………………………………………………………2分 ‎（2）．……………………………………5分 所以直线的方程为． ……………………………………………… 6分 设直线方程为，得，‎ 所以．…………………………………………… 7分 得．………………………… 8分 所以,‎ 故为定值2．……………………………10分 ‎22C B A D E 第22题图 ． 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，‎ ‎，90°．‎ ‎　（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎　（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【解】设BE的中点为O，连结AO，DO，‎ 由于AB=AE，BO=OE，‎ 所以AO⊥BE，同理．‎ 又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面平面BCDE=BE，所以AO⊥平面BCDE，‎ 由题意，，所以．‎ 解法一：（1）不妨设，以O为坐标原点，‎ C B A D E 第22题图 O xE yE zE 建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则 ，，，‎ ‎，． ………………3分 所以，，‎ 因为，‎ 所以与的夹角为120°，‎ 所以异面直线AB与DE所成角为60°．………………………………………5分 ‎（2）设平面ACE的法向量为，‎ 因为，，‎ 所以，，所以，且，取，得，‎ 所以，，又平面的法向量为，‎ 设二面角的平面角为，由，‎ 因此，二面角的余弦值为． ……………………………10分 解法二：（1）不妨设，以B为原点，建立如图所示空间直角坐标系B-xyz，‎ C B A D E 第22题图 O xE yE zE 则，，则，，，…3分 则，，‎ 因为，‎ 所以与的夹角为120°，‎ 所以异面直线AB与DE所成角为60°． …………………………………5分 ‎（2）设平面ACE的法向量为，，，‎ 所以， ，解得 设平面的法向量为，，，‎ 所以， ，解得 设二面角的平面角为，则，‎ 因此，二面角的余弦值为． ……………………………10分 ‎22．如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，‎ 均在抛物线上．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值．‎ P A B O 解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为 ‎ 因为点在抛物线上,所以，得．……………………3分 故所求抛物线的方程是 ． ……………………4分 ‎（II）由题：，所以……………………6分 ‎，所以，‎ 所以． ……………………8分 ‎ ……………………10分 ‎18. 已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的直线与相交于、两点，若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求的方程．‎ ‎【解析】 （1）设，代入得．‎ 所以，．‎ 由题设得．解得或．‎ 所以的方程为．‎ ‎（2）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为（）．‎ 代入得．‎ 设，，则，．‎ 故的中点为．．‎ 又的斜率为，所以的方程为．‎ 将上式代入，并整理得．‎ 设，，则，．‎ 故的中点为．．‎ 由于垂直平分，故、、、四点在同一圆上等价于，‎ 从而，‎ 即．‎ 化简得，解得或．‎ 所求直线的方程为：或．‎