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- 2021-05-13 发布
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用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略
高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化,直线、圆和圆锥曲线的参数方程,参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程,推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现,此外在高考数学的选择题和填空题中,用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果,必须引起教与学的足够。因此,对常见题型及解题策略进行探讨。
一、极坐标与直角坐标的互化
1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程:对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等.
2.直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤:
(1)运用ρ=,tan θ=(x≠0);
(2)在[0,2π)内由tan θ=(x≠0)求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).
解题时必须注意:
① 确定极坐标方程,极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.
② 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0,0≤θ<2π,使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.
③ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点:
Ⅰ.注意ρ,θ的取值范围及其影响.
Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
例如、(2015年全国卷)在直角坐标系中。直线:,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I) 求,的极坐标方程;
(II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积
解:(Ⅰ)因为,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为
(Ⅱ)将代入,得
,解得,故
,即
由于的半径为1,所以的面积为
二、简单曲线的极坐标方程及应用
1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.
2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.
3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性.
例如、(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。
解:
(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.
联立 解得 或
所以与交点的直角坐标为和
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中
因此的极坐标为,的极坐标为
所以
当时,取得最大值,最大值为4
三、简单参数方程及应用
1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:
① 准确把握参数形式之间的关系;
② 注意参数取值范围对曲线形状的影响.
2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.
3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.
例如、(2014年全国卷)坐标系与参数方程已知曲线:,直线:(为参数).
(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
解:(Ⅰ)曲线的参数方程为(为参数)
直线的普通方程为
(Ⅱ)曲线上任意一点到的距离为
则,其中为锐角,且
当时,取得最小值,最小值为
四、参数方程与极坐标方程的综合应用
第一步:消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程;
第二步:将曲线C1的普通方程化为极坐标方程;
第三步:将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
第四步:将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;
第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.
例如、(2017年全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)−=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解:⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得:
即的轨迹方程为;
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是.
五、极坐标方程解圆锥曲线问题
如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时,设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。
例如、(2007重庆理改编)中心在原点的椭圆,点是其左焦点,在椭圆上任取三个不同点使.
证明:为定值,并求此定值.
解 :以点为极点建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为:,设点对应的极角为,则点与对应的极角分别为、,、与的极径就分别是
、 与 ,
因此
,而在三角函数的学习中,我们知道
因此为定值
六、参数方程解圆锥曲线问题
1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量,注意参数几何意义和取值范围。
2.消去参数,用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。
例如、(2016年天津卷)设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知,
其中为原点,为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若,且≤,求直线的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)设,由,即,可得,又,所以,因此,所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)设直线的斜率为(),则直线的方程为
.设,由方程组,消去,整理得.
解得,或,由题意得,从而.
由(Ⅰ)知,,设,有,.由,得,所以,解得.因此直线的方程为.
设,由方程组消去,解得.在中,,即,化简得,即,解得或.
所以,直线的斜率的取值范围为.