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  • 2021-05-13 发布

函数与导数历年高考真题

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函数与导数高考真题 ‎1.2log510+log50.25=‎ A、0 B、1 C、2 D、4‎ ‎2.等于( )‎ A. B.2 C.-2 D.+2‎ ‎3.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=+2x+b(b为常数),则f(-1)=‎ ‎(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3‎ ‎4.设定义在上的函数满足,若,则( )‎ ‎(A)   (B)   (C)   (D)‎ 75.已知函数,是的反函数,若(),则的值为( )‎ A. B.1 C.4 D.10‎ ‎6.设正数a,b满足, 则( )‎ A.0 B. C. D.1‎ ‎7.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎8.已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=‎ ‎(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1‎ ‎9.已知以为周期的函数,其中。若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数,,若对于任一实数,与至少有一个为正数,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎11.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为 ‎ (A)0 (B)1 (C)3 (D)5‎ ‎12.若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎13.设,若函数有大于零的极值点,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎14.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎15.函数f(x)=的定义域为 A.(- ∞,-4)[∪2,+ ∞] B.(-4,0) ∪(0,1)‎ C.[-4,0]∪(0,1)]        D.[-4,0∪(0,1)‎ ‎16.对于函数①,②,③,判断如下三个命题的真假:‎ 命题甲:是偶函数;‎ 命题乙:在上是减函数,在上是增函数;‎ 命题丙:在上是增函数.‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是(  )‎ A.①③ B.①② C.③ D.②‎ ‎17.设,其中,则是偶函数的充要条件是()‎ ‎(A)  (B)  (C)  (D)‎ ‎18.设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎19.将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎20.函数对于任意实数满足条件,若则_______________。‎ ‎21.已知t为常数,函数在区间[0,3]上的最大值为2,则 ‎ ‎22.直线与曲线有四个交点,则的取值范围是 .‎ ‎23.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.‎ ‎24.设,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,的取值的集合为 .‎ ‎25.方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是               .‎ ‎26.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 ‎27.已知,,若同时满足条件:‎ ‎①,或,②‎ 则m的取值范围是 ‎ ‎28.已知函数,分别由下表给出 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 则的值为 ;满足的的值是 .‎ ‎29.设函数,其中在,曲线在点处的切线垂直于轴 ‎(Ⅰ)求a的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数极值. ‎ ‎30.已知函数.‎ ‎(1)若,求的取值范围;(6分)‎ ‎(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)‎ ‎31.若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。已知是实数,1和是函数的两个极值点.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)设函数的导函数,求的极值点;‎ ‎(3)设,其中,求函数的零点个数.‎ ‎32.已知a>0,bR,函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,‎ ‎(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;‎ ‎(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;‎ ‎(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.C 2.D 3.D ‎4.C ‎【解析】∵且 ∴,,‎ ‎,,,,‎ ‎∴ ,∴ 故选C ‎5.A ‎6.B ‎【解析】:‎ ‎ ‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】定义域 ,当且仅当即上式取等号,故最大值为,最小值为,。‎ ‎8.A ‎【解析】试题分析:因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1),因为函数y=x-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,所以只须满足,即,所以.选A。‎ ‎9.B ‎【解析】因为当时,将函数化为方程,实质上为一个半椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当 得图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线与第二个椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点时,方程恰有5个实数解,将代入得 令,则有 由 同样由与第二个椭圆由可计算得 综上知。‎ ‎10.B ‎【解析】试题分析:当m≤0时,显然不成立,当m=0时,因f(0)=1>0,‎ 当m>0时,若,即时结论显然成立;‎ 若时,只要△=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即4<m<8,‎ 则0<m<8,故选B.‎ 考点:一元二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,以及分析问题解决问题的能力.‎ 点评:解本小题的突破口是因为g(x)=mx显然对任一实数x不可能恒为正数,所以应按和分类研究,g(x)的取值,进而判断出f(x)的取值,从而找到解决此问题的途径.‎ ‎11.D ‎【解析】定义在R上的函数是奇函数,,又是周期函数,是它的一个正周期,∴,,∴,则可能为5,选D。‎ ‎12.D ‎【解析】用代换x得: ,‎ 解得:,而单调递增且大于等于0,‎ ‎,选D。‎ ‎13.B ‎【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为。‎ ‎14.D ‎【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法。最好通过图象求解。‎ 由为奇函数,则,所以,即与x异号,可以画出两个特殊图像和y=x,即答案为D。‎ ‎15.D ‎【解析】要使函数有意义,‎ 则有,故D为正确答案。‎ ‎16.D ‎【解析】函数①,函数=是偶函数;且在上是减函数,在上是增函数;‎ 但对命题丙:=在x∈(-∞,0)时,为减函数,排除函数①,‎ 对于函数③,函数不是偶函数,排除函数③‎ 只有函数②符合要求,选D。‎ ‎17.D 18.B ‎【解析】函数与函数互为反函数,图象关于对称函数上的点到直线的距离为设函数 由图象关于对称得:最小值为,‎ ‎19.A. 20.‎ ‎【解析】解:由得,所以,则。‎ ‎21.1‎ ‎【解析】显然函数的最大值只能在或时取到,‎ 若在时取到,则,得或 ‎,时,;,时,(舍去);‎ 若在时取到,则,得或 ‎,时,;,时,(舍去)‎ 所以 ‎22.(1,‎ ‎【解析】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线,由图可知,a的取值必须满足解得.‎ ‎23.‎ ‎【解析】函数过定点(0,-2),由数形结合:‎ ‎24.‎ ‎【解析】由已知得,单调递减,所以当时,‎ 所以,因为有且只有一个常数符合题意,所以,解得,所以的取值的集合为.‎ ‎25.‎ ‎【解析】方程的根显然,原方程等价于,原方程的实根是曲线 与曲线的交点的横坐标;而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与交点为:;所以结合图象可得:‎ ‎.‎ ‎26.-8‎ ‎【解析】因为定义在R上的奇函数,满足,所以,所以, 由 为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如下图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,‎ 不妨设,由对称性知,‎ ‎,,所以.‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的基本性质,如奇偶性、周期性、对称性,同时考查了数形结合的思想方法.‎ ‎27. (-4,0)‎ ‎【解析】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制,导致f(x)在是必须是,当m=0时,不能做到f(x)在时 ‎,所以舍掉,因此,f(x)作为二次函数开口只能向下,故m<0,且此时2个根为,为保证条件成立,只需,和大前提m<0取交集结果为;又由于条件2的限制,可分析得出在恒负,因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能,即-4应该比两个根中较小的来的大,当时,,解得交集为空,舍。当m=-1时,两个根同为,舍。当时,,解得,综上所述,。‎ ‎28.1,2‎ ‎【解析】=;‎ 当x=1时,,不满足条件,‎ 当x=2时,,满足条件,‎ 当x=3时,,不满足条件,‎ ‎∴ 只有x=2时,符合条件。‎ ‎29.(Ⅰ)因 ,故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即 ,从而 ,解得 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎ 令,解得(因 不在定义域内,舍去)当 时, 故 在上为减函数;当 时, 故 在上为增函数,故在 处取得极小值 ‎ ‎30.【解析】解:(1)由,得.‎ 由得. ……3分 因为,所以,.‎ 由得. ……6分 ‎(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此 ‎. ……10分 由单调性可得.‎ 因为,所以所求反函数是,. ……14分 ‎31.解:(1)由,得。‎ ‎∵1和是函数的两个极值点,‎ ‎∴ ,,解得。‎ ‎(2)∵ 由(1)得, ,‎ ‎∴,解得。‎ ‎∵当时,;当时,,‎ ‎∴是的极值点。‎ ‎∵当或时,,∴ 不是的极值点。‎ ‎∴的极值点是-2。‎ ‎(3)令,则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况:‎ 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时,∵, ,‎ ‎∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。‎ 由(1)知。‎ ‎① 当时, ,于是是单调增函数,从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时.,于是是单调增函数。‎ 又∵,,的图象不间断,‎ ‎∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。‎ 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。‎ ‎③ 当时,,于是是单调减两数。‎ 又∵, ,的图象不间断,‎ ‎∴在(一1,1 )内有唯一实根。‎ 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足。‎ 现考虑函数的零点:‎ ‎( i )当时,有两个根,满足。‎ 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。‎ ‎( 11 )当时,有三个不同的根,满足。‎ 而有三个不同的根,故有9 个零点。‎ 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点 ‎32.(Ⅰ)‎ ‎(ⅰ).‎ 当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,‎ 此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;‎ 当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,‎ 此时的最大值为:‎ ‎=|2a-b|﹢a;‎ 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;‎ ‎(ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a.‎ 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,‎ ‎∵,∴令.‎ 当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,‎ 此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;‎ 当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,‎ ‎≤|2a-b|﹢a;‎ 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.‎ 即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,‎ ‎∴|2a-b|﹢a≤1.‎ 取b为纵轴,a为横轴.‎ 则可行域为:和,目标函数为z=a+b.‎ 作图如下:‎ 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,.‎ ‎∴所求a+b的取值范围为:.‎