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- 2021-05-13 发布
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函数与导数高考真题
1.2log510+log50.25=
A、0 B、1 C、2 D、4
2.等于( )
A. B.2 C.-2 D.+2
3.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=+2x+b(b为常数),则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
4.设定义在上的函数满足,若,则( )
(A) (B) (C) (D)
75.已知函数,是的反函数,若(),则的值为( )
A. B.1 C.4 D.10
6.设正数a,b满足, 则( )
A.0 B. C. D.1
7.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)
8.已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=
(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1
9.已知以为周期的函数,其中。若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知函数,,若对于任一实数,与至少有一个为正数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
11.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
12.若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有( )
A. B.
C. D.
13.设,若函数有大于零的极值点,则
A. B. C. D.
14.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
15.函数f(x)=的定义域为
A.(- ∞,-4)[∪2,+ ∞] B.(-4,0) ∪(0,1)
C.[-4,0]∪(0,1)] D.[-4,0∪(0,1)
16.对于函数①,②,③,判断如下三个命题的真假:
命题甲:是偶函数;
命题乙:在上是减函数,在上是增函数;
命题丙:在上是增函数.
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )
A.①③ B.①② C.③ D.②
17.设,其中,则是偶函数的充要条件是()
(A) (B) (C) (D)
18.设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为( )
A. B. C. D.
19.将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.
20.函数对于任意实数满足条件,若则_______________。
21.已知t为常数,函数在区间[0,3]上的最大值为2,则
22.直线与曲线有四个交点,则的取值范围是 .
23.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.
24.设,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,的取值的集合为 .
25.方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 .
26.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
27.已知,,若同时满足条件:
①,或,②
则m的取值范围是
28.已知函数,分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则的值为 ;满足的的值是 .
29.设函数,其中在,曲线在点处的切线垂直于轴
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数极值.
30.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)
31.若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
32.已知a>0,bR,函数.
(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,
(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
参考答案
1.C 2.D 3.D
4.C
【解析】∵且 ∴,,
,,,,
∴ ,∴ 故选C
5.A
6.B
【解析】:
7.【答案】C
【解析】定义域 ,当且仅当即上式取等号,故最大值为,最小值为,。
8.A
【解析】试题分析:因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1),因为函数y=x-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,所以只须满足,即,所以.选A。
9.B
【解析】因为当时,将函数化为方程,实质上为一个半椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当
得图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线与第二个椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点时,方程恰有5个实数解,将代入得
令,则有
由
同样由与第二个椭圆由可计算得
综上知。
10.B
【解析】试题分析:当m≤0时,显然不成立,当m=0时,因f(0)=1>0,
当m>0时,若,即时结论显然成立;
若时,只要△=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即4<m<8,
则0<m<8,故选B.
考点:一元二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,以及分析问题解决问题的能力.
点评:解本小题的突破口是因为g(x)=mx显然对任一实数x不可能恒为正数,所以应按和分类研究,g(x)的取值,进而判断出f(x)的取值,从而找到解决此问题的途径.
11.D
【解析】定义在R上的函数是奇函数,,又是周期函数,是它的一个正周期,∴,,∴,则可能为5,选D。
12.D
【解析】用代换x得: ,
解得:,而单调递增且大于等于0,
,选D。
13.B
【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为。
14.D
【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法。最好通过图象求解。
由为奇函数,则,所以,即与x异号,可以画出两个特殊图像和y=x,即答案为D。
15.D
【解析】要使函数有意义,
则有,故D为正确答案。
16.D
【解析】函数①,函数=是偶函数;且在上是减函数,在上是增函数;
但对命题丙:=在x∈(-∞,0)时,为减函数,排除函数①,
对于函数③,函数不是偶函数,排除函数③
只有函数②符合要求,选D。
17.D 18.B
【解析】函数与函数互为反函数,图象关于对称函数上的点到直线的距离为设函数
由图象关于对称得:最小值为,
19.A. 20.
【解析】解:由得,所以,则。
21.1
【解析】显然函数的最大值只能在或时取到,
若在时取到,则,得或
,时,;,时,(舍去);
若在时取到,则,得或
,时,;,时,(舍去)
所以
22.(1,
【解析】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线,由图可知,a的取值必须满足解得.
23.
【解析】函数过定点(0,-2),由数形结合:
24.
【解析】由已知得,单调递减,所以当时,
所以,因为有且只有一个常数符合题意,所以,解得,所以的取值的集合为.
25.
【解析】方程的根显然,原方程等价于,原方程的实根是曲线
与曲线的交点的横坐标;而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与交点为:;所以结合图象可得:
.
26.-8
【解析】因为定义在R上的奇函数,满足,所以,所以, 由
为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如下图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,
不妨设,由对称性知,
,,所以.
【考点定位】本小题考查函数的基本性质,如奇偶性、周期性、对称性,同时考查了数形结合的思想方法.
27. (-4,0)
【解析】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制,导致f(x)在是必须是,当m=0时,不能做到f(x)在时
,所以舍掉,因此,f(x)作为二次函数开口只能向下,故m<0,且此时2个根为,为保证条件成立,只需,和大前提m<0取交集结果为;又由于条件2的限制,可分析得出在恒负,因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能,即-4应该比两个根中较小的来的大,当时,,解得交集为空,舍。当m=-1时,两个根同为,舍。当时,,解得,综上所述,。
28.1,2
【解析】=;
当x=1时,,不满足条件,
当x=2时,,满足条件,
当x=3时,,不满足条件,
∴ 只有x=2时,符合条件。
29.(Ⅰ)因 ,故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即 ,从而 ,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
令,解得(因 不在定义域内,舍去)当 时, 故 在上为减函数;当 时, 故 在上为增函数,故在 处取得极小值
30.【解析】解:(1)由,得.
由得. ……3分
因为,所以,.
由得. ……6分
(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此
. ……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,. ……14分
31.解:(1)由,得。
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得。
(2)∵ 由(1)得, ,
∴,解得。
∵当时,;当时,,
∴是的极值点。
∵当或时,,∴ 不是的极值点。
∴的极值点是-2。
(3)令,则。
先讨论关于 的方程 根的情况:
当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。
当时,∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。
由(1)知。
① 当时, ,于是是单调增函数,从而。
此时在无实根。
② 当时.,于是是单调增函数。
又∵,,的图象不间断,
∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。
③ 当时,,于是是单调减两数。
又∵, ,的图象不间断,
∴在(一1,1 )内有唯一实根。
因此,当时,有两个不同的根满足;当 时
有三个不同的根,满足。
现考虑函数的零点:
( i )当时,有两个根,满足。
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。
( 11 )当时,有三个不同的根,满足。
而有三个不同的根,故有9 个零点。
综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点
32.(Ⅰ)
(ⅰ).
当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
此时的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a.
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,
∵,∴令.
当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
≤|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.
∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴.
则可行域为:和,目标函数为z=a+b.
作图如下:
由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,.
∴所求a+b的取值范围为:.