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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则 ( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3)
2.若为实数,且,则 ( )
A.-4 B.-3 C.3 D.4
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.向量,,则 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.设是等差数列的前项和,若,则 ( )
A.5 B.7 C.9 D.11
6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
7.已知三点 ,,则外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的 ( ) 第8题图
A.0 B.2 C.4 D.14
9.已知等比数列满足,,则 ( )
A.2 B.1 C. D.
10.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
11.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
12.设函数,则使得成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知函数的图象过点,则________.
14.若x,y满足约束条件则的最大值为________.
15.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为________.
16.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分) 中,是上的点,平分,
(1)求
(2)若,求
18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).
图②
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
19.(本小题满分12分)如图,长方体中,,,,点,分别在,上,.过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆:的离心率为,点在C上.
(1)求的方程;
(2)直线不过原点O且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(I)证明∥.
(II)若AG等于⊙O的半径,且 ,求四边形EBCF的面积
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线 (t为参数,且 ),其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
(I)求与交点的直角坐标;
(II)若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
2015·新课标Ⅱ卷 第8页
1、选A
2、故选D
3、选D
4、选C
5、解:在等差数列中,因为
6、解:如图所示,选D.
7、选B.
8、故选B.
9、解:因为所以,
故选C.
10、解:因为A,B都在球面上,又所以
三棱锥的体积的最大值为,所以R=6,所以球的表面积为
S=π,故选C.
11、解:如图,当点P在BC上时,
当时取得最大值,
以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆,显然,当点P在C,D之间移动时PA+PB<.
又函数不是一次函数,故选B.
12、解:因为函数
故选A.
第二卷
一、 填空题:本大题共4个小题,每小题5分
13、答:a=-2
14、解:当x=3,y=2时,z=2x+y取得最大值8.
15、解:设双曲线的方程为
16、解:
二、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
17、解:(Ⅰ)由正弦定理得
再由三角形内角平分线定理得
(Ⅱ)
18、解:(1)B地区频率分布直方图如图所示
比较A,B两个地区的用户,由频率分布直方图可知:
A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分
B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分
A地区用户评价意见较分散,B地区用户评价意见相对集中。
(2)A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6,
B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25,
所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。
19、解:(I)在AB上取点M,在DC上取点N,使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF,即平面α。
(II)两部分几何体都是高为10的四棱柱,所以体积之比等于底面积之比,即
20、解、(I)如图所示,由题设得
又点的坐标满足椭圆的方程,所以,
联立解得:
(II)设A,B两点的坐标为
上面两个式子相减得:
(定值)
21、解:已知.
(II)由(1)知,当
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22、(I)证明:由切线的性质得AE=AF,所以△AEF是等腰三角形,又AB=AC,
所以∥
(II)解:
23.在直角坐标系中,曲线 (t为参数,且 ),其中,
在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
(I)求与交点的直角坐标;
(II)若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.
解:(I)曲线 的直角坐标方程是
(II)曲线
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲
设 均为正数,且.证明:
(I)若 ,则;
(II)是的充要条件.
24、证明:(I)因为
由题设知
(II)(必要性)
(充分性)若
1、发生以下情形,本协议即终止:(1)、公司因客观原因未能设立;(2)、公司营业执照被依法吊销;(3)、公司被依法宣告破产;(4)、甲乙丙三方一致同意解除本协议。2、本协议解除后:(1)甲乙丙三方共同进行清算,必要时可聘请中立方参与清算;(2)若清算后有剩余,甲乙丙三方须在公司清偿全部债务后,方可要求返还出资、按出资比例分配剩余财产。(3)若清算后有亏损,各方以出资比例分担,遇有股东须对公司债务承担连带责任的,各方以出资比例偿还。