江苏高考数学考试说明含试题 24页

‎2018年江苏省高考说明－数学科 一、命题指导思想 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.‎ ‎1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查　　‎ 对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.　　‎ ‎2．重视数学基本能力和综合能力的考查　　‎ 数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.　　‎ ‎（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.　　‎ ‎（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.　　‎ ‎（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.　　‎ ‎（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.　　‎ ‎（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.　　‎ 数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.　　‎ ‎3．注重数学的应用意识和创新意识的考查　　‎ 数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.　　‎ 创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.　　‎ 二、考试内容及要求 数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.‎ 具体考查要求如下：‎ ‎1．必做题部分　　‎ 内 容 要 求 A　　‎ B　　‎ C　　‎ ‎1．集合 集合及其表示　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　‎ ‎ 　‎ 子集　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 交集、并集、补集 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎2．函数概念 与基本初 等函数Ⅰ　　‎ 函数的概念 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 函数的基本性质 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 指数与对数　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 指数函数的图象与性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 对数函数的图象与性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 幂函数　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 函数与方程　　‎ ‎　　‎ ‎√‎ ‎　 　‎ 函数模型及其应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎3．基本初等 函数Ⅱ（三 角函数）、‎ 三角恒等 变换 三角函数的概念　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 同角三角函数的基本关系式　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 正弦函数、余弦函数的诱导公式 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 两角和（差）的正弦、余弦及正切 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 二倍角的正弦、余弦及正切　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎5．平面向量 平面向量的概念 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 平面向量的加法、减法及数乘运算 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 平面向量的坐标表示 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 平面向量的数量积 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 平面向量的平行与垂直 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 平面向量的应用 ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　‎ ‎ 　‎ ‎6．数列 数列的概念 ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 等差数列 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 等比数列 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎7．不等式 基本不等式 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 一元二次不等式 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 线性规划 ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎8．复数 复数的概念　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 复数的四则运算　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 复数的几何意义　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎9．导数及其应用　　‎ 导数的概念　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 导数的几何意义　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 导数的运算　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 利用导数研究函数的单调性与极值　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 导数在实际问题中的应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎10．算法初步 算法的含义　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 流程图　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 基本算法语句　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎11．常用逻辑用语　　‎ 命题的四种形式　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 充分条件、必要条件、充分必要条件　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 简单的逻辑联结词　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 全称量词与存在量词　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎12．推理与证明　　‎ 合情推理与演绎推理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 分析法与综合法　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 反证法　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　‎ ‎ 　‎ ‎13．概率、统计　　‎ 抽样方法　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 总体分布的估计　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 总体特征数的估计　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 随机事件与概率　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 古典概型　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 几何概型　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 互斥事件及其发生的概率　　‎ ‎　　‎ ‎√　 　‎ ‎　 　‎ ‎14．空间几何体　　‎ 柱、锥、台、球及其简单组合体　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 柱、锥、台、球的表面积和体积　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎15．点、线、面 之间的位置关系　　‎ 平面及其基本性质　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 直线与平面平行、垂直的判定及性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 两平面平行、垂直的判定及性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎16．平面解析 几何初步　　‎ 直线的斜率和倾斜角　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 直线方程　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 直线的平行关系与垂直关系　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 两条直线的交点　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 两点间的距离、点到直线的距离　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 圆的标准方程与一般方程　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎17．圆锥曲线 与方程　　‎ 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 ‎ ‎2．附加题部分　　‎ 内 容 要 求 A　　‎ B　　‎ C　　‎ ‎　 　选修系列：不含选修系列中的内容 ‎1．圆锥曲线 与方程　　‎ 曲线与方程　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 顶点在坐标原点的抛物线的标准 方程与几何性质 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎2．空间向量 与立体几何　　‎ 空间向量的概念　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 空间向量共线、共面的充分必要条件　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 空间向量的加法、减法及数乘运算　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 空间向量的坐标表示　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 空间向量的数量积　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 空间向量的共线与垂直　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 直线的方向向量与平面的法向量　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 空间向量的应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎3．导数及其应用　　‎ 简单的复合函数的导数 ‎√‎ ‎4．推理与证明　　‎ 数学归纳法的原理　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 数学归纳法的简单应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎5．计数原理 加法原理与乘法原理 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 排列与组合　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二项式定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎6．概率、统计　　‎ 离散型随机变量及其分布列　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 超几何分布　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 条件概率及相互独立事件 ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 次独立重复试验的模型及二项分布　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎√‎ ‎ 选修系列中个专题 ‎ ‎7．几何证明 选讲　　‎ 相似三角形的判定与性质定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 射影定理　　‎ ‎√　　‎ 圆的切线的判定与性质定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 圆周角定理，弦切角定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 相交弦定理、割线定理、切割线定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 圆内接四边形的判定与性质定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎8．矩阵与变换　　‎ 矩阵的概念　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二阶矩阵与平面向量　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 常见的平面变换　　‎ ‎√ 　‎ ‎　　‎ ‎　 　‎ 矩阵的复合与矩阵的乘法　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二阶逆矩阵　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二阶矩阵的特征值与特征向量　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二阶矩阵的简单应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎9.坐标系与 参数方程　　‎ 坐标系的有关概念　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 简单图形的极坐标方程　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 参数方程　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 直线、圆及椭圆的参数方程　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 参数方程与普通方程的互化　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 参数方程的简单应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎10．不等式选讲　　‎ 不等式的基本性质　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 含有绝对值的不等式的求解　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 不等式的证明（比较法、综合法、分析法）‎ ‎√‎ 算术-几何平均不等式与柯西不等式 ‎√‎ 利用不等式求最大（小）值 ‎√‎ 运用数学归纳法证明不等式 ‎√‎ 三、考试形式及试卷结构 ‎（一）考试形式　　‎ 闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.　　‎ ‎（二）考试题型　　‎ ‎1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.　　‎ ‎2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.　　‎ 填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.　　‎ ‎（三）试题难易比例　　‎ 必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.　　‎ 附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.‎ 四、典型题示例 A.必做题部分 ‎1. 设复数满足（i是虚数单位），则的虚部为_____‎ ‎【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.‎ ‎【答案】‎ ‎2. 设集合，则实数的值为_ ‎ ‎【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.‎ 结束 k←k +1‎ 开始 k←1‎ k2－5k+4>0‎ N 输出k ‎ Y ‎【答案】1.‎ ‎3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．‎ ‎【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，‎ 本题属容易题.‎ ‎【答案】5‎ ‎4. 函数的定义域为　 ‎ ‎【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.‎ ‎【答案】‎ ‎5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间中，其频率分布直方图 如图所示，则在抽测的根中，有_ _根 棉花纤维的长度小于.‎ ‎【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.‎ ‎【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为 ‎,故频数为.‎ ‎6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.‎ ‎【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.‎ ‎【答案】‎ ‎7. 已知函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是________.‎ ‎【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题.‎ ‎【答案】.‎ ‎8.在各项均为正数的等比数列中，若的值是______.‎ ‎【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题.‎ ‎【答案】4.‎ ‎9.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于，其焦点是，，则四边形的面积是______.‎ ‎【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题.‎ D A B C ‎【答案】‎ ‎10.如图，在长方体中，，‎ ‎，则四棱锥的体积为 cm3．‎ ‎【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题.‎ ‎【答案】6.‎ ‎11.设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 .‎ ‎【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.‎ ‎【答案】.‎ ‎12.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中.若，则的值是 .‎ ‎【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题.‎ ‎【答案】‎ ‎13.如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是 .‎ ‎【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识，考查数形结合和等价转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题.‎ ‎【答案】.‎ ‎14. 已知正数满足：则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.‎ ‎【答案】‎ 二、解答题 ‎15．在中，角.已知 ‎（1）求值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力.‎ 本题属容易题.‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）在中，因为，‎ ‎ 故由正弦定理得，于是.‎ ‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)得.所以.‎ 又因为，所以.‎ 从而.‎ 在，‎ 所以.‎ 因此由正弦定理得.‎ ‎16．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC.‎ ‎【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．‎ 本题属容易题 ‎【参考答案】‎ 证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.‎ 又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ ‎（2）因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 平面平面BCD=BD， ‎ 平面BCD，，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，‎ 所以AD⊥平面ABC，‎ 又因为AC平面ABC，‎ 所以AD⊥AC.‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.‎ ‎【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题. ‎ ‎【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， ‎ 解得，于是， ‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ ‎（2）由（1）知，，.‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎ 当时，与相交于，与题设不符.‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程：， ①‎ 直线的方程：. ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得；，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎18. 如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.‎ ‎（1）求新桥的长；‎ ‎（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力..‎ ‎【参考答案】‎ 解法一：‎ (1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，‎ 直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.‎ 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=.‎ 设点B的坐标为(a,b)，则k BC= k AB=‎ 解得a=80，b=120. 所以BC=.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).‎ 由条件知，直线BC的方程为，即 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大，即圆面积最大. ‎ 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.‎ 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.‎ CF=,从而.‎ 因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，‎ 又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半 径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，‎ 故由(1)知，sin∠CFO =所以.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大，即圆面积最大.‎ 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.‎ ‎19. 设函数，其中为实数.‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.‎ ‎【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题．‎ ‎【参考答案】解：(1)令f′(x)＝＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.‎ 综上，有a∈(e，＋∞)．‎ ‎(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞ln a.‎ 因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.‎ 结合上述两种情况，有a≤e－1.‎ ‎①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零点；‎ ‎②当a＜0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点．‎ 另外，当x＞0时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．‎ ‎③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.‎ 当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.‎ 当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．‎ 实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．‎ 另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．‎ 下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.‎ 为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2.设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.‎ 当x＞1时，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，‎ h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，‎ 从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，‎ h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即当x＞e时，ex＞x2.‎ 当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在 ‎[a－1，ea－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．‎ 综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，‎ 当 0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.‎ ‎20. 设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．‎ ‎（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；‎ ‎（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证能力．本题属难题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）当时，‎ 当时，‎ ‎∴时，，当时，‎ ‎∴是“H数列”‎ ‎（2）‎ 对，使，即 取得，‎ ‎∵，∴，又，∴，∴‎ ‎（3）设的公差为d 令，对，‎ ‎，对，‎ 则，且为等差数列 的前n项和，令，则 当时；‎ 当时；‎ 当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，‎ 因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．‎ 的前ｎ项和，令，则 ‎∵对，是非负偶数，∴‎ 即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”‎ 因此命题得证.‎ B．附加题部分 ‎1．选修 几何证明选讲 如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点,若,求证:‎ ‎【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】连结,因为是圆的直径，所以因为是圆的切线，所以,又因为所以于是≌从而即得故 ‎2．选修矩阵与变换 已知矩阵，，求．‎ ‎【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ 设的逆矩阵为，则，即，故，，，，从而的逆矩阵为，所以，．‎ ‎3．选修坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。‎ ‎∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ ‎4．选修不等式选讲 已知是非负实数，求证：‎ ‎【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ 由是非负实数，作差得 当时，从而得 当时，,从而得 所以 ‎5. 如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为.‎ ‎（1）当时，求的长；‎ ‎（2）当时，求的长。‎ ‎【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间 向量解决问题的能力．本题属中等题．‎ ‎【参考答案】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系。‎ 设，则各点的坐标为 所以，.设平面的法向量为 ‎，则,‎ 即，令,则 所以是平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量为,则 即,令,则 所以是平面的一个法向量,从而 ‎(1)因为,所以解得,从而 所以 ‎(2)因为 所以 因为或,所以,解得或.‎ 根据图形和(1)的结论可知,从而的长为.‎ ‎6. 已知函数，记为的导数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的，等式成立．‎ ‎【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。考察探究能力及推理论证能力.本题属难题.‎ ‎【参考答案】‎ ‎(1)解：由已知，得 于是 所以故 ‎(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，‎ 即，类似可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.‎ ‎(i)当n=1时，由上可知等式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k时等式成立, 即.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.‎ 令，可得().‎ 所以().‎