2015高考数学（理）（几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质）一轮复习学案 10页

第十三章　选修系列4‎ 学案73　几何证明选讲 ‎(一)相似三角形的判定及有关性质 导学目标： 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．‎ 自主梳理 ‎1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段__________．‎ 推论1　平行于三角形一边的直线截其他两边(或________________)，所得的对应线段__________．‎ 推论2　平行于三角形的一边，并且和其他两边________的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应________．‎ 推论3　三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．‎ ‎3．相似三角形的判定 判定定理1　对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________的两个三角形相似．‎ 判定定理2　对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且____________相等的两个三角形相似．‎ 判定定理3　对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例的两个三角形相似．‎ ‎4．相似三角形的性质 ‎(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；‎ ‎(2)相似三角形周长的比等于相似比；‎ ‎(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ ‎5．直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在____________与斜边的______，斜边上的高的________等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．‎ 自我检测 ‎1．如果梯形的中位线的长为‎6 cm，上底长为‎4 cm，那么下底长为________cm.‎ ‎2．如图，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，则下列四个结论正确的是(填序号)________．‎ ‎①＝；②＝；③＝；④＝.‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________.‎ ‎4．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝‎5 cm，AC＝‎4 cm，BC＝‎7 cm，则BD＝________cm.‎ ‎　　　‎ ‎　　　 第4题图　　　　　　第5题图 ‎5．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.‎ 探究点一　确定线段的n等分点 例1　已知线段PQ，在线段PQ上求作一点D，使PD∶DQ＝2∶1.‎ 变式迁移1　已知△ABC，D在AC上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上．‎ 探究点二　平行线分线段成比例定理的应用 例2　在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD＝CE，DE的延长线交BC的延长线于点F.求证：＝.‎ 变式迁移2 如图，已知AB∥CD∥EF，AB＝a，CD＝b(00，舍去负根)，所以斜边的长为5，故斜边上的中线的长为.‎ ‎5．15‎ 解析　∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝，‎ ‎∵OE∥AD，∴＝＝，‎ ‎∴OE＝AD＝×12＝，‎ 同理可求得OF＝BC＝×20＝，‎ ‎∴EF＝OE＋OF＝15.‎ ‎6．2‎ 解析　连接DE，因为AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形，则DE＝AB＝BE＝DC.又因为DG⊥CE于G，所以DG平分CE，故EG＝2.‎ ‎7．6‎ 解析　设DE＝x，∵DE∥AC，‎ ‎∴＝，解得BE＝.‎ ‎∴＝＝＝.‎ 又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝，‎ 解得x＝6.‎ ‎8. 解析　连接DE，延长QP交AB于N，‎ 则 得PQ＝BC.‎ ‎9．证明　由三角形的内角平分线定理得，‎ 在△ABD中，＝，①‎ 在△ABC中，＝，②(3分)‎ 在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，‎ 即＝.③(6分)‎ 由①③得：＝，④(9分)‎ 由②④得：＝.(11分)‎ ‎10．证明　延长AD至G，使DG＝MD，连接BG、CG.‎ ‎∵BD＝DC，MD＝DG，‎ ‎∴四边形BGCM为平行四边形．(4分)‎ ‎∴EC∥BG，FB∥CG，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴＝，(8分)‎ ‎∴EF∥BC.(12分)‎ ‎11．证明　∵BO∥PM，‎ ‎∴＝，(2分)‎ ‎∵DO∥PS，‎ ‎∴＝，∴＝.(4分)‎ 即＝，由BO∥PR 得＝.(6分)‎ 由DO∥PN得＝.(8分)‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴＝.∴PM·PN＝PR·PS.(12分)‎