三年高考函数与导数汇编 31页

‎2007-2009各地高考函数与导数解答题汇编（文科）‎ 一、导数的基本应用 ‎（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 ‎ 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法 ‎ 第一组 ‎ 本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧 ‎【例题】（2009江西理17/22）设函数. 求（1）函数的单调区间；（2）略. ‎ 解： 函数定义域为，, ‎ 由,得 .因为当时或时,；当时,；‎ 所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .‎ ‎【例题】（2008北京理18/22）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．‎ 解：．‎ 令，得．‎ 当，即时，，所以函数在和上单调递减．‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增，‎ 时，函数在和上单调递减．‎ 时，函数在和上单调递减，在上单调递增．‎ ‎ 第二组 ‎ 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 ‎【例题】（2009北京文18/22）设函数.‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ 解：∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ 点评：此题是2010届文科考试说明的样题，题目考查了对导函数零点进行分类的能力，旨在帮助学生巩固研究函数单调性的基本方法.‎ ‎【例题】（2009天津理20/22）已知函数其中.‎ ‎（II）当时，求函数的单调区间与极值.‎ ‎ ‎ 以下分两种情况讨论.‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ 点评：此题与上一题考点相同，计算量略增，旨在帮助学生进一步提升对此类问题的认识和处理能力.‎ ‎【例题】（2008福建文21/22）已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值.‎ 解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，……… ①‎ 由，得，则；‎ 而图象关于轴对称，所以－，所以，‎ 代入①得 .于是.‎ 由得或，故的单调递增区间是，；‎ 由得，故的单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或.‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ f'(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 增 极大值 减 极小值 增 由此可得：当时，在内有极大值，无极小值；‎ 当时，在内无极值；‎ 当时，在内有极小值，无极大值；‎ 当时，在内无极值.‎ 综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.‎ 点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.‎ ‎【例题】（2009安徽文21/21）已知函数，a＞0，‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)设a=3，求在区间[1，]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.‎ 解：（Ⅰ）由于,令得 ① 当，即时，恒成立，∴在上都是增函数.‎ ② 当，即时，‎ 由得或 ‎∴或或 又由得，∴ 综上,当在上都是增函数；‎ 当在及上都是增函数，‎ 在是减函数.‎ ‎（2）当时，由（1）知，在[1，2]上是减函数，在[上是增函数.‎ 又 ‎∴函数在区间[1，]上的值域为.‎ 点评：‎ ‎（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；‎ ‎（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题.‎ ‎（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围 基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 ‎【例题】（2008湖北文17/21）已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9．‎ ‎ （Ⅰ）求m的值；‎ ‎ （Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．‎ 解：（Ⅰ），则或，‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎(,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 从而可知，当时，函数取得极大值9，‎ 即, ∴ .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 依题意知， ∴ 或.‎ 又 ，‎ 所以切线方程为，或，‎ 即 ，或.‎ 点评：‎ （1） 本题第一问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大；‎ （2） 本题第二问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.‎ ‎【例题】（2009四川文20/22）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.‎ ‎（I）求函数的解析式；‎ ‎（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.‎ 解：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即 ……①‎ 又，由已知得……②‎ 联立①②，解得.所以函数的解析式为 ‎ ‎（II）因为 令 当函数有极值时，方程有实数解.则，得.‎ ‎①当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值 ‎②当时，有两个实数根情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在时，函数有极值；‎ 当时，有极大值；当时，有极小值；‎ 点评：‎ （1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.‎ （2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.‎ ‎★【例题】（2008全国Ⅱ文21/22） 设，函数．‎ ‎（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）．‎ 因为是函数的极值点，所以，即，因此．‎ 经验证，当时，是函数的极值点． ‎ ‎（Ⅱ） 由题设，．‎ 当在区间上的最大值为时，‎ ，即．故得 反之，当时，对任意，‎ ，‎ 而，故在区间上的最大值为．‎ 综上，的取值范围为．‎ 点评：‎ （1） 本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.‎ （1） 本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.‎ ‎★【例题】（2009陕西理20/22）已知函数，其中 ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围. ‎ 解:（Ⅱ）∵∴ ‎ ‎①当时，在区间∴的单调增区间为 ‎②当时，由 ‎∴‎ ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，所以.‎ 当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值 所以，不成立.‎ 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 点评：‎ （1） 本题第三问是求函数最值的逆向问题，解题时根据单调性研究的分类标准，将验证参数取值范围是否成立，是计算量较小，但不容易发现的方法.‎ （2） 本题若用一般方法，则可将问题转化为f(x)≥1的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.‎ ‎（三）导数的几何意义 ‎（2008海南宁夏文21/22）设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.‎ 解：（Ⅰ）方程可化为，当时，；‎ 又，于是，解得， 故 ‎（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为 ，即 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；‎ 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；‎ 所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；‎ 故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值6.‎ 二、导数应用的变式与转化 ‎（一）函数的零点存在与分布问题 问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法 特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理 ‎ 第一组 二次函数 （1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；‎ （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；‎ （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫.‎ ‎【例题】（2009江西文17/22）设函数． ‎ ‎（1）略；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围.‎ ‎ 解：因为 当时, ;当时, ;当时, ;‎ ‎ 所以 当时,取极大值 ; ‎ ‎ 当时,取极小值 ;‎ ‎ 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.‎ 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.‎ ‎【例题】（2009广东文21/21）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 ‎（1）若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；‎ ‎（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ 解：（1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ，解得 ‎ 又在取极小值，∴，解得 ‎ ，解得；所以， ‎ 设，则 ‎ ,解得；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （2）由，得 ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，有两个零点；‎ 若，，有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解，即,有一零点 点评：‎ （1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；‎ （2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题.‎ ‎【例题】（2009重庆文19/21）已知为偶函数，曲线过点，‎ ‎．（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；（2）略 解: 由偶函数性质得，，即，解得 又曲线过点,得有 ‎∵从而,‎ 曲线有斜率为0的切线，故有实数解.即有实数解.‎ ‎∵此时有解得 ‎ ‎ ∴实数的取值范围:‎ 点评：本题是以导数几何意义为载体的，研究二次函数零点的分布的问题，注意问题的转化.‎ ‎【例题】(07广东文21/21)已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.‎ 解：若 , ,显然函数在上没有零点. ‎ 若，令 , 解得 ‎ ①当 时, 恰有一个零点在上;‎ ‎ ②当，即时，在上也恰有一个零点.‎ ‎ ③当在上有两个零点时, 则 ‎ 或 解得或，综上，所求实数的取值范围是或.‎ 点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题.‎ ‎【例题】（2009浙江文21/22）已知函数 ．‎ ‎（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；‎ ‎（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ 解:（Ⅰ）由题意得 ‎ 又 ，解得，或 ‎ （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 ‎ 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 ‎ 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎ ，即：‎ ‎ 整理得：，解得 ‎ 第二组 三次函数 （1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；‎ （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；‎ （3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解.‎ 补注：此处缺原型题 ‎【例题】（2009陕西文20/22）已知函数 ‎（I）求的单调区间；‎ ‎（II）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，‎ 求m的取值范围.‎ 解：（1）‎ 当时，对，有所以的单调增区间为 当时，由解得或，由解得，‎ 所以的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）因为在处取得极大值，‎ 所以 所以 由解得.‎ 由（1）中的单调性可知，‎ 在处取得极大值1，在处取得极小值-3.‎ 因为直线与函数的图象有三个不同的交点，‎ 所以的取值范围是.‎ 点评：‎ （1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；‎ （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；‎ （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.‎ ‎【例题】（2007全国II理22/22）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明： 解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．‎ ‎（2）如果有一条切线过点，则存在，使．‎ 若过点可作曲线的三条切线，‎ 则方程有三个相异的实数根．‎ 记，则．‎ 当变化时，变化情况：‎ ‎0‎ g'(x)‎ ‎0‎ ‎0‎ g(x) ‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．‎ 综上所述，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，‎ 则即．‎ 点评：‎ （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；‎ （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；‎ （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.‎ ‎（二）不等式恒成立与存在解问题 问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法 特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究 ‎【例题】（2009江西文17/22）设函数． ‎ ‎（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）略 解：, 因为,, 即恒成立, ‎ 所以 , 得，即的最大值为 点评：本题是二次函数在实数集上的恒成立问题，因其条件特殊，故用特殊方法求解.‎ ‎【例题】（2008安徽文20/22）设函数为实数.‎ ‎（Ⅰ）略；（Ⅱ）若对任意都成立，求实数的取值范围.‎ 解：法一（变量转换，最值控制法）：对任意都成立.‎ ‎ 即对任意都成立 ‎ 设，则对任意，为单调递增函数 ‎ 所以对任意，恒成立的充分必要条件是.‎ ‎ 即 ，， 于是的取值范围是 法二（变量分离法）：由题设知：对任意都成立，‎ ‎ 即对任意都成立.‎ 于是对任意都成立，即.解得的取值范围是.‎ 点评：变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用.‎ ‎【例题】（2008山东文21/22）设函数，已知和为的极值点．‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅲ）设，试比较与的大小．‎ 解：（Ⅱ）因为，，所以，‎ 令，解得，，．‎ 因为 当时，；当时，．‎ 所以 在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，‎ 故，‎ 令，则．‎ 令，得，因为时，，‎ 所以在上单调递减．故时，；‎ 因为时，，所以在上单调递增．‎ 故时，．‎ 所以对任意，恒有，又，因此，‎ 故对任意，恒有．‎ 点评：本题是恒成立问题的一个变式应用.‎ ‎（2007湖北理20/21）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．‎ ‎（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：f(x )≥ g(x)，其中x > 0．‎ 解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．‎ ，，由题意，．‎ 即由得：，或（舍去）．‎ 即有．‎ 令，则． ‎ 于是当，即时，；当，即时，．‎ 故在为增函数，在为减函数，‎ 于是在的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则．‎ 故在为减函数，在为增函数，‎ 于是函数在上的最小值是．‎ 故当时，有，即当时，．‎ 点评：‎ （1） 本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法；‎ （2） 第二问是恒成立问题的应用.‎ 补注：此处缺存在性问题 ‎（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系 （1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究；‎ （2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；‎ ‎（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性.‎ ‎【例题】（2009天津文21/22）设函数 ‎（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且.若对任意的，恒成立，求m的取值范围.‎ 解：（2），令，得到 因为，当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 极大值 在和内减函数，在内增函数.‎ 函数在处取得极大值，且=‎ 函数在处取得极小值，且=‎ ‎（3）解：由题设， ‎ 所以方程=0由两个相异的实根，故，‎ 且，解得 因为 若，而，不合题意 若则对任意的有 则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 综上，m的取值范围是 点评：.‎ 四、其它形式的问题 ‎【例题】（2008陕西文22/22）设函数其中实数．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记 的最小值为，求的值域；‎ ‎（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ） ，又，‎ 当时，；当时，，‎ 在和内是增函数，在内是减函数．‎ ‎（Ⅱ）由题意知 ，即恰有一根（含重根）．‎ ≤，即≤≤，又， ．‎ 当时，才存在最小值，．‎ ，∴.∴的值域为．‎ ‎（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．‎ 由题意得，解得≥；‎ 当时，在和内是增函数，在内是增函数．‎ 由题意得，解得≤；‎ 综上可知，实数的取值范围为．‎ ‎【例题】（2008湖南文21/21）已知函数有三个极值点.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围.‎ 解：（I）因为函数有三个极值点，‎ 所以有三个互异的实根.‎ ‎ 设则 ‎ 当时， 在上为增函数；‎ ‎ 当时， 在上为减函数；‎ ‎ 当时， 在上为增函数；‎ ‎ 所以函数在时取极大值，在时取极小值.‎ ‎ 当或时，最多只有两个不同实根.‎ ‎ 因为有三个不同实根，所以且.‎ ‎ 即，且，解得且 故.‎ ‎ （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.‎ ‎ 不妨设为（），则 ‎ 所以的单调递减区间是,.‎ ‎ 若在区间上单调递减，‎ 则, 或,‎ ‎ 若，则.由（I）知，,于是 ‎ 若,则且.由（I）知， ‎ 又当时，；‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 因此，当时， 所以且 即故或 反之, 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎2009年 ‎（2009江西理17/22）‎ ‎（2009天津理20/22）‎ ‎（2009陕西理20/22）‎ ‎（2009北京文18/22）‎ ‎（2009安徽文21/21）‎ ‎（2009江西文17/22）‎ ‎（2009广东文21/21）‎ ‎（2009四川文20/22）‎ ‎（2009陕西文20/22）‎ ‎（2009天津文21/22）‎ ‎（2009浙江文21/22）‎ ‎（2009重庆文19/21）‎ ‎2008年 ‎（2008北京理18/22）‎ ‎（2008福建文21/22）‎ ‎（2008湖北文17/21）‎ ‎（2008全国Ⅱ文21/22）‎ ‎（2008安徽文20/22）‎ ‎（2008山东文21/22）‎ ‎（2008陕西文22/22）‎ ‎（2008湖南文21/21）‎ ‎2007年 ‎（2007全国II理22/22）‎ ‎（2007湖北理20/21）‎ ‎(07广东文21/21)‎ ‎（2008辽宁文22/22）设函数在，处取得极值，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ 解：．① 2分 ‎（Ⅰ）当时，；‎ 由题意知为方程的两根，所以．‎ 由，得． 4分 从而，．‎ 当时，；当时，．‎ 故在单调递减，在，单调递增． 6分 ‎（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，‎ 所以．从而，‎ 由上式及题设知． 8分 考虑，． 10分 故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．‎ 又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．‎ 所以，即的取值范围为． 14分