2018北京卷理科数学高考真题 10页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=‎ ‎（A）{0，1} （B）{–1，0，1}‎ ‎（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}‎ ‎（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为 这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ‎（A）1 （B）2 ‎ ‎（C）3 （D）4‎ ‎（6）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为 ‎（A）1 （B）2‎ ‎（C）3 （D）4‎ ‎（8）设集合则 ‎（A）对任意实数a， （B）对任意实数a，（2，1）‎ ‎（C）当且仅当a<0时，（2，1） （D）当且仅当时，（2，1）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎（10）在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．‎ ‎（11）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．‎ ‎（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________． ‎ ‎（13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．‎ ‎（14）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–． （Ⅰ）求∠A；‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎ （16）（本小题14分）‎ 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B−CD−C1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．‎ ‎（17）（本小题12分）‎ 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立．‎ ‎（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数=[]．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；‎ ‎（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记 M（）=．‎ ‎（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；‎ ‎（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，‎ M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎（1）A （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）C （8）D 二、填空题 ‎（9） （10） （11） （12）3 ‎ ‎（13）=sinx（答案不唯一） （14）‎ 三、解答题 ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．‎ 由正弦定理得=，∴sinA=．‎ ‎∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．‎ 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，‎ ‎∴AC边上的高为．‎ ‎（16）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，‎ ‎∵CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴四边形A1ACC1为矩形．‎ 又E，F分别为AC，A1C1的中点，‎ ‎∴AC⊥EF．‎ ‎∵AB=BC．‎ ‎∴AC⊥BE，‎ ‎∴AC⊥平面BEF．‎ ‎（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．‎ 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．‎ ‎∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．‎ 如图建立空间直角坐标系E-xyz．‎ 由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．‎ ‎∴，‎ 设平面BCD的法向量为，‎ ‎∴，∴，‎ 令a=2，则b=-1，c=-4，‎ ‎∴平面BCD的法向量，‎ 又∵平面CDC1的法向量为，‎ ‎∴．‎ 由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），‎ ‎∴，∴，∴与不垂直，‎ ‎∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．‎ ‎（17）（共12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．‎ 故所求概率为 ‎（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，‎ 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．‎ 故所求概率为P（）=P（）+P（）‎ ‎=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．‎ 由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．‎ 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．‎ ‎（Ⅲ）>>=>>．‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为=[]，‎ 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex ‎=［ax2–（2a+1）x+2］ex．‎ f ′(1)=(1–a)e．‎ 由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．‎ 此时f (1)=3e≠0．‎ 所以a的值为1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．‎ 若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；‎ 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．‎ 所以f (x)在x=2处取得极小值．‎ 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，‎ 所以f ′(x)>0．‎ 所以2不是f (x)的极小值点．‎ 综上可知，a的取值范围是（，+∞）．‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），‎ 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．‎ 由得．‎ 依题意，解得k<0或0