高考数学一轮复习教学案双曲线含解析 14页

双_曲_线 ‎[知识能否忆起]‎ ‎1．双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　∵双曲线方程可化为x2－＝1，‎ ‎∴a2＝1，b2＝.∴c2＝a2＋b2＝，c＝.‎ ‎∴左焦点坐标为.‎ ‎2．(教材习题改编)若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：选C　依题意得a2＋1＝4，a2＝3，‎ 故e＝＝＝.‎ ‎3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)‎ A．4 B．8 C．24 D．48‎ 解析：选C　由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.‎ ‎4．双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．‎ 解析：由题意知＝ ＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________.‎ 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，‎ ‎∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝＝，|k|＝.‎ ‎∴|k|·e＝×＝.‎ 答案： ‎1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．‎ ‎2．渐近线与离心率：‎ －＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．‎ ‎[注意]　当a>b>0时，双曲线的离心率满足10时，e＝(亦称为等轴双曲线)；‎ 当b>a>0时，e>.‎ ‎3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．‎ 双曲线的定义及标准方程 典题导入 ‎[例1]　(1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．‎ ‎[自主解答]　(1)∵－＝1的焦距为10，‎ ‎∴c＝5＝.①‎ 又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②‎ 由①②解得a＝2，b＝.‎ ‎(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，‎ 所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，‎ 又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，‎ 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)2 由题悟法 ‎1．应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．‎ ‎2．双曲线方程的求法 ‎(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．‎ ‎(2)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．‎ ‎(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．‎ 以题试法 ‎1．(2012·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　)‎ A．1 B．17‎ C．1或17 D．以上答案均不对 解析：选B　由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.‎ 双曲线的几何性质 典题导入 ‎[例2]　(2012·浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 　 B. C. D. ‎[自主解答]　设双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－＋＝1.①‎ 双曲线渐近线为y＝±x，‎ 由得Q .‎ 由得P，‎ ‎∴PQ的中点坐标为.‎ 由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.‎ 直线F1B的斜率为k＝，‎ ‎∴PQ的垂直平分线为y－＝－.‎ 令y＝0，得x＝＋c，‎ ‎∴M，∴|F2M|＝.‎ 由|MF2|＝|F1F2|得 ＝＝2c，‎ 即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.‎ ‎[答案]　B 若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜”，求双曲线的离心率的取值范围．‎ 解：根据题意知1＜＜，‎ 即1＜＜ .所以＜e＜2.‎ 即离心率的取值范围为( ，2)．‎ 由题悟法 ‎1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝(m＞0)或m＝，故离心率有两种可能．‎ ‎2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．‎ 以题试法 ‎2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝.‎ ‎(2)(2012·大同模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选B　设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得由此解得m＝3，n2＝24.于是有由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x ‎＝±x.‎ 直线与双曲线的位置关系 典题导入 ‎[例3]　(2012·南昌模拟)已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·＝0.求＋的值．‎ ‎[自主解答]　(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，‎ 双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.‎ ‎∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.‎ ‎∴所求双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得 ∴|OP|2＝x2＋y2＝.‎ 则OQ的方程为y＝－x，‎ 同理有|OQ|2＝＝，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ 由题悟法 ‎1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．‎ ‎2．与中点有关的问题常用点差法．‎ ‎[注意]　根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．‎ 以题试法 ‎3．(2012·长春模拟)F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|,|＝3|,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．‎ 解析：由双曲线的性质可得|,|＝b，则|,|＝3b.在△MF1O中，|,|＝a，|,|＝c，cos ∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即＝，故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎1．(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A　由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得即 解得故双曲线方程为－＝1.‎ ‎2．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)‎ A．在x轴上 B．在y轴上 C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上 解析：选A　∵m＞n＞0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．‎ ‎3．(2012·华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为(　　)‎ A.或 B. C. D.或 解析：选D　∵m2＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，e＝＝＝.当m＝－4时，e＝＝＝.‎ ‎4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. 解析：选B　设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.‎ ‎5．(2013·哈尔滨模拟)已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,·,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：选C　由,·,＝0得,⊥,，设|,|＝m，|,|＝n，不妨设m＞n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，mn＝9，＝，解得∴b＝3，∴a＋b＝7.‎ ‎6．(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|OP|的最小值为(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D．1‎ 解析：选C　依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于.‎ ‎7．(2012·西城模拟)若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝________.‎ 解析：∵双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，‎ ‎∴1＋＝32＝9，可得k＝.‎ 答案： ‎8．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.‎ 解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.‎ 答案：1　2‎ ‎9．(2012·济南模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．‎ 解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.‎ 答案： ‎10．(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)求证：·＝0.‎ 解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，‎ ‎∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴kMF1＝，kMF2＝，‎ kMF1·kMF2＝＝－.‎ ‎∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，‎ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.‎ ‎∴·＝0.‎ ‎11．(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.‎ ‎(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．‎ 解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，‎ 所以a＝3，b＝4，c＝5，‎ 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.‎ ‎(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，‎ cos ∠F1PF2＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 则∠F1PF2＝90°.‎ ‎12．如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知1·2＝0，且|1|＝2|2|.‎ ‎(1)求双曲线的离心率e；‎ ‎(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若1·2＝－，21＋2＝0.求双曲线C的方程．‎ 解：(1)由1·2＝0，得1⊥2，即△F1PF2为直角三角形．设|2|＝r，|1|＝2r，所以(2r)2＋r2＝4c2，2r－r＝2a，即5×(2a)2＝4c2.所以e＝.‎ ‎(2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，‎ 则1·2＝x1x2－4x1x2＝－，‎ 所以x1x2＝.①‎ 由21＋2＝0，得 即x＝，y＝.又因为点P在双曲线－＝1上，‎ 所以－＝1.‎ 又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2.②‎ 由①②得a2＝2，b2＝8.‎ 故所求双曲线方程为－＝1.‎ ‎1．(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|,＋,|＝|,|，则的值为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．1‎ 解析：选A　依题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，不妨设m＞n.则由|,＋,|＝|,|得|,＋,|＝|,－,|＝|,－,|，即|,＋,|2＝|,－,|2，所以,·,＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝，e2＝，所以＋＝＝2，所以＝＝.‎ ‎2．已知双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．‎ 解析：由题意知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理得，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.‎ 所以5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5.‎ 由于e＞1，所以e的取值范围为.‎ 答案： ‎3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4‎ eq (3)，焦点到渐近线的距离为 .‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使,＋,＝t,，求t的值及点D的坐标．‎ 解：(1)由题意知a＝2，故一条渐近线为y＝x，‎ 即bx－2y＝0，则＝，‎ 得b2＝3，故双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，‎ 则得 故t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎1．(2012·岳阳模拟)直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记,＝e1，,＝e2，任取双曲线C上的点P，若,＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________．‎ 解析：可求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则则(a＋b)2－(a－b)2＝1，得ab＝.‎ 答案：ab＝ ‎2．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________________．‎ 解析：根据已知得点P的坐标为，则|PF2|＝，又∠PF1F2＝，则|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎3．(2012·大同模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，‎ 由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，‎ 所以双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，‎ 由题意得 故k2≠且k2＜1，①‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，‎ xA·xB＝，‎ 由,·,＞2得xAxB＋yAyB＞2，‎ 又xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)‎ ‎＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2‎ ‎＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，‎ 于是＞2，即＞0，‎ 解不等式得＜k2＜3，②‎ 由①②得＜k2＜1，‎ 所以k的取值范围为∪.‎