- 306.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1.不等式x-2y>0表示的平面区域是( ).
解析 将点(1,0)代入x-2y得1-2×0=1>0.
答案 D
2.设实数x,y满足不等式组若x,y为整数,则3x+4y的最小值是( ).
A.14 B.16 C.17 D.19
解析 线性区域边界上的整点为(3,1),因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2),对于点(4,1),3x+4y=3×4+4×1=16;对于点(3,2),3x+4y=3×3+4×2=17,因此3x+4y的最小值为16.
答案 B
3. 设变量x,y满足则2x+3y的最大值为( )
A. 20 B.35 C. 45 D. 55
解析 画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D.
答案 D
4.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg,生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg,B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )
A.500元 B.700元
C.400元 D.650元
解析 设每天生产甲乙两种产品分别为x,y件,则x,y满足
利润z=30x+20y.
不等式组所表示的平面区域如图,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.
答案 D
5.设实数x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>0,
b>0)的最大值为12,则+的最小值为( ).
A. B. C. D.4
解析 由可行域可得,当x=4,y=6时,目标函数z=ax+by取得最大值,∴4a+6b=12,即+=1.∴+=·=++≥+2=.
答案 A
6.已知不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则k的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
解析 如图所示,画出可行域,直线y=kx-3k过定点(3,0),由数形结合,知该直线的斜率的最大值为k=0,最小值为k==-.
答案 C
7.设双曲线4x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域(包含边界)为D,P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x-y的最小值为( )
A.-2 B.-
C.0 D.-
解析 曲线4x2-y2=1的两条渐近线方程为2x-y=0,2x+y=0,与直线x=围成的三角形区域如图中的阴影部分所示,所以目标函数z=x-y在点P(,2)处取得最小值为z=-2=-.
答案
二、填空题
8.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=________.
解析 由题意可得解得m=-3.
答案 -3
9.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a的值为________.
解析 等式组表示的区域为图中阴影部分.
又因为ax-y+1=0恒过定点(0,1),
当a=0时,不等式组
所表示的平面区域的面积为,不合题意;当a<0时,所围成的区域面积小于,所以a>0,此时所围成的区域为三角形,其面积为S=×1×(a+1)=2,解之得a=3.
答案3
10.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2
的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________百万元.
解析 可设需购买A矿石x万吨,B矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为:目标函数为z=3x+6y,作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值为zmin=3×1+6×2=15(百万元).
答案 15
11.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为________.
解析 根据得可行域如图所示;
根据z=x+2y得y=-+,平移直线y=-,在M点z取得最小值.根据得
此时z=4+2×(-5)=-6.
答案 -6
12.若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是________.
解析 画出可行域,目标函数可化为y=-x+z,根据图象判断,当目标函数的斜率-1<-
<2时,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,这时a的取值范围是(-4,2).
答案 (-4,2)
三、解答题
13.设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长}.
(1)求出x,y所满足的不等式;
(2)画出点(x,y)所在的平面区域.
解析 (1)已知条件即
化简即
(2)区域如下图.
14.画出2x-3<y≤3表示的区域,并求出所有正整数解.
解析 先将所给不等式转化为
而求正整数解则意味着x,y还有限制条件,
即求的整数解.所给不等式等价于
依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).
对于2x-3<y≤3的正整数解,再画出表示的平面区域.
如图(2)所示:
可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.
15.若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.
解析 作出线性约束条件对应的可行域如图所示,在此条件下,要使ax+by
≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超过1即可.
令z=ax+by,则y=-x+.
因为a≥0,b≥0,则-1<-≤0时,b≤1,或-≤-1时,a≤1.
此时对应的可行域如图,
所以以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的面积为1.
16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童S这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足
即让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在(4,3)处取得最小值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.