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  • 2021-05-13 发布

高考数学复习题库73二元一次不等式组与简单的线性规划问题更多关注高中学习资料库

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‎7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、选择题 ‎1.不等式x-2y>0表示的平面区域是(  ).‎ ‎ ‎ 解析 将点(1,0)代入x-2y得1-2×0=1>0.‎ 答案 D ‎2.设实数x,y满足不等式组若x,y为整数,则3x+4y的最小值是(  ).‎ A.14 B.‎16 ‎ C.17 D.19‎ 解析 线性区域边界上的整点为(3,1),因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2),对于点(4,1),3x+4y=3×4+4×1=16;对于点(3,2),3x+4y=3×3+4×2=17,因此3x+4y的最小值为16.‎ 答案 B ‎3. 设变量x,y满足则2x+3y的最大值为( )‎ A. 20 B.35 C. 45 D. 55‎ 解析 画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D.‎ 答案 D ‎4.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料‎2 kg、B原料‎4 kg,生产乙产品每件需用A原料‎3 kg、B原料‎2 kg.A原料每日供应量限额为‎60 kg,B原料每日供应量限额为‎80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为(  )‎ A.500元 B.700元 ‎ C.400元 D.650元 解析 设每天生产甲乙两种产品分别为x,y件,则x,y满足 利润z=30x+20y.‎ 不等式组所表示的平面区域如图,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.‎ 答案 D ‎5.设实数x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>0,‎ b>0)的最大值为12,则+的最小值为(  ).‎ A. B. C. D.4‎ 解析 由可行域可得,当x=4,y=6时,目标函数z=ax+by取得最大值,∴‎4a+6b=12,即+=1.∴+=·=++≥+2=.‎ 答案 A ‎6.已知不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则k的取值范围是(  ).‎ A. B. C. D. 解析 如图所示,画出可行域,直线y=kx-3k过定点(3,0),由数形结合,知该直线的斜率的最大值为k=0,最小值为k==-.‎ 答案 C ‎7.设双曲线4x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域(包含边界)为D,P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x-y的最小值为(  )‎ A.-2 B.- C.0 D.- 解析 曲线4x2-y2=1的两条渐近线方程为2x-y=0,2x+y=0,与直线x=围成的三角形区域如图中的阴影部分所示,所以目标函数z=x-y在点P(,2)处取得最小值为z=-2=-.‎ 答案 ‎ 二、填空题 ‎8.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=________.‎ 解析 由题意可得解得m=-3.‎ 答案 -3‎ ‎9.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a的值为________.‎ 解析 等式组表示的区域为图中阴影部分.‎ 又因为ax-y+1=0恒过定点(0,1),‎ 当a=0时,不等式组 所表示的平面区域的面积为,不合题意;当a<0时,所围成的区域面积小于,所以a>0,此时所围成的区域为三角形,其面积为S=×1×(a+1)=2,解之得a=3.‎ 答案3‎ ‎10.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:‎ a b/万吨 c/百万元 A ‎50%‎ ‎1‎ ‎3‎ B ‎70%‎ ‎0.5‎ ‎6‎ 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2‎ 的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________百万元.‎ 解析 可设需购买A矿石x万吨,B矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为:目标函数为z=3x+6y,作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值为zmin=3×1+6×2=15(百万元).‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案 15‎ ‎11.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为________.‎ 解析 根据得可行域如图所示;‎ 根据z=x+2y得y=-+,平移直线y=-,在M点z取得最小值.根据得 此时z=4+2×(-5)=-6.‎ 答案 -6‎ ‎12.若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是________.‎ 解析 画出可行域,目标函数可化为y=-x+z,根据图象判断,当目标函数的斜率-1<- ‎<2时,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,这时a的取值范围是(-4,2).‎ 答案 (-4,2) ‎ 三、解答题 ‎13.设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长}.‎ ‎(1)求出x,y所满足的不等式;‎ ‎(2)画出点(x,y)所在的平面区域.‎ 解析 (1)已知条件即 化简即 ‎(2)区域如下图.‎ ‎14.画出2x-3<y≤3表示的区域,并求出所有正整数解.‎ 解析 先将所给不等式转化为 而求正整数解则意味着x,y还有限制条件,‎ 即求的整数解.所给不等式等价于 依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).‎ 对于2x-3<y≤3的正整数解,再画出表示的平面区域.‎ 如图(2)所示:‎ 可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.‎ ‎15.若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.‎ 解析 作出线性约束条件对应的可行域如图所示,在此条件下,要使ax+by ‎≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超过1即可.‎ 令z=ax+by,则y=-x+.‎ 因为a≥0,b≥0,则-1<-≤0时,b≤1,或-≤-1时,a≤1.‎ 此时对应的可行域如图,‎ 所以以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的面积为1.‎ ‎16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童S这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?‎ 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足 即让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在(4,3)处取得最小值.‎ 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.‎