高考数学全国卷理试题及答案 14页

‎2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ 一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分 ‎1．已知集合，,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若为实数且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4．已知等比数列满足a1=3， =21，则 （ ）‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎5．设函数,（ ）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ ‎8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎9．已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎10．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）‎ ‎11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．‎ ‎15．的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．‎ ‎16．设是数列的前n项和，且，，则________．‎ 三、解答题 ‎17．（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎（Ⅰ） 求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求和的长．‎ ‎18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．‎ ‎19．（本题满分12分）如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ D D1‎ C1‎ A1‎ E F A B C B1‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．（本题满分12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ ‎21．（本题满分12分）设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．‎ G A E F O N D B C M ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ） 若等于的半径，且，求四边形的面积．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）．求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）．若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）若，则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件．‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】由已知得，故，故选A．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2．B ‎【解析】由已知得，所以，解得，故选B．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎3．D ‎【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．‎ 考点：正、负相关．‎ ‎4．B ‎【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．‎ 考点：等比数列通项公式和性质．‎ ‎5．C ‎【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．‎ 考点：分段函数．‎ ‎6．D ‎【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．‎ 考点：三视图．‎ ‎7．C ‎【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．‎ 考点：圆的方程．‎ ‎8．B ‎【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．‎ 考点：程序框图．‎ ‎9．C ‎【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．‎ 考点：外接球表面积和椎体的体积．‎ ‎10．B ‎【解析】由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．‎ 考点：函数的图象和性质．‎ ‎11．D ‎【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，‎ ‎，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．‎ 考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．‎ ‎12．A ‎【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．‎ 考点：导数的应用、函数的图象与性质．‎ ‎ 13．‎ ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．‎ 考点：向量共线．‎ ‎14．‎ ‎【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．‎ 考点：线性规划．‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ 考点：二项式定理．‎ ‎16．‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ 考点：等差数列和递推关系．‎ ‎17．【解析】（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得 ‎，．‎ ‎．由（Ⅰ）知，所以．‎ ‎18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；‎ 表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；‎ 表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；‎ 表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．‎ 则与独立，与独立，与互斥，．‎ ‎．‎ 由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．故，‎ ‎，，，故．‎ ‎19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：‎ ‎（Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）设直线，，，．‎ 将代入得，故，‎ ‎．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎（Ⅱ）四边形能为平行四边形．‎ 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．‎ 由（Ⅰ）得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是 ‎．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ ‎21．【解析】（Ⅰ）．‎ 若，则当时，，；当时，，．‎ 若，则当时，，；当时，，．‎ 所以，在单调递减，在单调递增．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．‎ ‎22．【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．‎ 因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．‎ ‎23．【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与 交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎24．【解析】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．‎ ‎（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．‎