高考数学数列压轴专项练习集一 14页

‎2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）‎ ‎ ‎ ‎1.已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前n项和．若是数列的前3项，且=16．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列为等差数列，求实数；‎ ‎（3）构造数列若该数列前n项和，求n的值．‎ ‎2.已知数列满足，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设为数列的前n项的和，求；‎ ‎（3）设，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．‎ ‎3.(本题满分12分)设数列的前n项和为,已知,,数列是公差为d的等差数列,.‎ (1) 求d的值;‎ (2) 求数列的通项公式;‎ (3) 求证:.‎ ‎4.设数列的首项，且时，，，，．‎ ‎(1)若，求，，，．‎ ‎(2)若，证明：．‎ ‎(3)若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立．‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+…+an+n=an+1，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎6.设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）．‎ ‎（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．‎ ‎7.在数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）猜想的表达式，并证明你的猜想．‎ ‎8.设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；‎ ‎（3）设数列满足：对任意的正整数，都有 ‎，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.‎ ‎9.已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．‎ ‎（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；‎ ‎（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．‎ ‎10.设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则称{an}是“紧密数列”；‎ ‎（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；‎ ‎（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{an}是否为“紧密数列”；‎ ‎（3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．‎ 试卷答案 ‎1.‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设{an}的公差d≠0．由a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出．‎ ‎（2）Sn==n2．可得=．根据数列{}为等差数列，可得=+，t2﹣2t=0．‎ 解得t．‎ ‎（3）由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An==．数列{An}的前n项和Un=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，可得：该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），根据37=2187，38=6561．进而得出．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．‎ ‎∴，即，4a1+=16，‎ 解得a1=1，d=2，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎∴b1=1，b2=3，公比q=3．‎ ‎∴bn=3n﹣1．‎ ‎（2）Sn==n2．∴ =．‎ ‎∵数列{}为等差数列，‎ ‎∴=+，t2﹣2t=0．‎ 解得t=2或0，经过验证满足题意．‎ ‎（3）由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An==‎ ‎．数列{An}的前n项和Un=﹣n=﹣n．‎ 数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，‎ ‎∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），‎ ‎∵37=2187，38=6561．‎ ‎∴取k=8，可得前=36项的和为： =1700，‎ 令Tn=1821=1700+，解得m=5．‎ ‎∴n=36+5=41．‎ ‎2.‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．结合a1=﹣1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；‎ ‎（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；②当n=2k﹣1时，由Sn=S2k﹣a2k求解；‎ ‎（3）由（1）得（仅b1=0且{bn}递增）．结合k＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．‎ 又a1=﹣1，a2=1，‎ ‎∴，‎ 即a5+a6=2；‎ ‎（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）‎ ‎===．‎ ‎②当n=2k﹣1时，Sn=S2k﹣a2k=‎ ‎==．‎ ‎∴ ；‎ ‎（3）由（1），得（仅b1=0且{bn}递增）．‎ ‎∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．‎ ‎①当k≥j+2时，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，‎ 则=，‎ 此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．‎ ‎②当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，‎ 则=，‎ 又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．‎ 若i≤j﹣2，则bi≤bj﹣2，得，‎ 得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．‎ 从而2bj=bj﹣1+bj+1，得，‎ 化简，得3j﹣2=1，解得j=2．‎ 从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．‎ ‎3.‎ ‎…………………………………………………………3分 ‎………………………………………………8分 ‎………………………………………………12分 ‎4.见解析 解：Ⅰ∵得，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，∴，‎ ‎，∴．‎ Ⅱ证明：①当时，，∴，‎ ‎②当，，∴，‎ 综上，时，．‎ ⅡⅠ解：①若，由Ⅰ知，所以，‎ ‎∴当时，对所有的，成立．‎ ‎②若，则，且，‎ ‎，∴，‎ ‎∴当时，对所有的，成立，‎ ‎③若，则，∴，‎ ‎∴时，对所有的，成立，‎ 综上，若，则，，‎ 若，则，，‎ 若，则，．‎ ‎5.‎ ‎【考点】数列的求和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用递推式可得：an+1=2an+1，变形利用等比数列的定义即可证明；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由点（Tn+1，Tn）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得bn=n．利用不等式，可得Rn=，利用“错位相减法”可得：．对n分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+an+n=an+1，‎ 得a1+a2+a3+…+an﹣1+n﹣1=an（n≥2），‎ 两式相减得an+1=2an+1，‎ 变形为an+1+1=2（an+1）（n≥2），‎ ‎∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），‎ ‎∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∵点（Tn+1，Tn）在直线上，‎ ‎∴，‎ 故是以为首项，为公差的等差数列，‎ 则，∴，‎ 当n≥2时，，‎ ‎∵b1=1满足该式，∴bn=n．‎ ‎∴不等式，‎ 即为，‎ 令，则，‎ 两式相减得，‎ ‎∴．‎ 由恒成立，即恒成立，‎ 又，‎ 故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；‎ 当n≥4时，单调递增；当n=4时，；‎ 则的最小值为，所以实数m的最大值是．‎ ‎6.‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；‎ ‎（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，‎ ‎∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，‎ ‎∴a2==25．‎ ‎（另解：a2=1+3+5+7+9=25）‎ ‎（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），‎ 据题意有an==10n+5．‎ ‎（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）‎ ‎（3）Sn=5n（n+2）．　（8分）‎ ‎∵==•＜，‎ ‎∴++…+＜++…+‎ ‎=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜　（13分）‎ ‎【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎7.（Ⅰ） (3分) ‎ ‎ （6分）‎ ‎（Ⅱ）猜想， （7分）‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎1)当n=1时，猜想正确； （8分）‎ ‎2）假设当n=k时猜想正确，即 那么即n=k+1时猜想也正确. （12分）‎ 根据1），2）可知，对任意都有 （13分）‎ 略 ‎8.‎ ‎（1）数列是各项均为正数的等比数列，，，‎ 又，，，； ………… 4分 ‎（2）（ⅰ）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，‎ ‎①若，则，，，‎ ‎ . ………… 6分 ‎②若，则，，左边为偶数，等式不成立，‎ ‎③若，同理也不成立，‎ 综合①②③，得，所以必要性成立. …………8分 ‎（ⅱ）充分性：设，，‎ 则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，‎ 所以充分性也成立.‎ 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 ‎（3）因为，‎ 即，（*）‎ 当时，，（**）‎ 则（**）式两边同乘以2，得，（***）‎ ‎（*）－（***），得，即，‎ 又当时，，即，适合，.………14分 ‎，，‎ 时，，即；‎ 时，，此时单调递减，‎ 又，，，，. ……………16分 ‎9.‎ ‎【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小．‎ ‎【分析】（1）根据已知，，n∈N*．我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；‎ ‎（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；‎ 当n=2时，，，‎ 所以f（2）＜g（2）；‎ 当n=3时，，，‎ 所以f（3）＜g（3）．‎ ‎（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：‎ ‎①当n=1，2，3时，不等式显然成立．‎ ‎②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，‎ 即即++…+＜，‎ 那么，当n=k+1时，，‎ 因为，‎ 所以．‎ 由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．‎ ‎10.‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；‎ ‎（2）由题意，an=a1+（n﹣1）d， ==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；‎ ‎（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，‎ ‎∴x的取值范围是[2，3]；‎ ‎（2）由题意，an=a1+（n﹣1）d，∴==1+，‎ 随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，‎ ‎∴{an}是“紧密数列”；‎ ‎（3）由题意得，等比数列{an}的公比q 当q≠1时，所以an=a1qn﹣1，Sn=， =，‎ 因为数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，所以， ≤2，解得，‎ 当q=1时，an=a1，Sn=na1，则 =1， =1+∈（1，]，符合题意，‎ ‎∴q的取值范围是．‎