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- 2021-05-13 发布
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2014年湖北省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2014•湖北)i为虚数单位,()2=( )
A.
﹣1
B.
1
C.
﹣i
D.
i
2.(5分)(2014•湖北)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84,则实数a=( )
A.
2
B.
C.
1
D.
3.(5分)(2014•湖北)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.(5分)(2014•湖北)根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
﹣3.0
A.
a>0,b>0
B.
a>0,b<0
C.
a<0,b>0
D.
a<0,b<0
5.(5分)(2014•湖北)在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A.
①和②
B.
③和①
C.
④和③
D.
④和②
6.(5分)(2014•湖北)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:
①f(x)=sinx,g(x)=cosx;
②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1;
③f(x)=x,g(x)=x2,
其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
7.(5分)(2014•湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.(5分)(2014•湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A.
B.
C.
D.
9.(5分)(2014•湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.
B.
C.
3
D.
2
10.(5分)(2014•湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
A.
[﹣,]
B.
[﹣,]
C.
[﹣,]
D.
[﹣,]
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
11.(5分)(2014•湖北)设向量=(3,3),=(1,﹣1),若(+λ)⊥(﹣λ),则实数λ= .
12.(5分)(2014•湖北)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等四段弧,则a2+b2= .
13.(5分)(2014•湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b= .
三、解答题
14.(2014•湖北)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,﹣f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.
(1)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;
(2)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数;
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
15.(2014•湖北)如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB= .
16.(2014•湖北)已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 .
17.(11分)(2014•湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10﹣,t∈[0,24)
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
18.(12分)(2014•湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
19.(12分)(2014•湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2)
(Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;
(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
20.(12分)(2014•湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<X<80
80≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
21.(14分)(2014•湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
22.(14分)(2014•湖北)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间;
(Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数和最小数;
(Ⅲ)将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
2014年湖北省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
计算题;数系的扩充和复数.
分析:
可先计算出的值,再计算平方的值.
解答:
解:由于,所以,()2=(﹣i)2=﹣1
故选A.
点评:
本题考查复数代数形式的计算,属于容易题
2.(5分)
考点:
二项式定理的应用.菁优网版权所有
专题:
二项式定理.
分析:
利用二项式定理的展开式的通项公式,通过x幂指数为﹣3,求出a即可.
解答:
解:二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中x﹣3项的系数为84,
所以Tr+1==,
令﹣7+2r=﹣3,解得r=2,
代入得:,
解得a=1,
故选:C.
点评:
本题考查二项式定理的应用,特定项的求法,基本知识的考查.
3.(5分)
考点:
充要条件;集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有
专题:
集合;简易逻辑.
分析:
通过集合的包含关系,以及充分条件和必要条件的判断,推出结果.
解答:
解:由题意A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC,可得“A∩B=∅”;若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,
∴U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件.
故选:C.
点评:
本题考查集合与集合的关系,充分条件与必要条件的判断,是基础题.
4.(5分)
考点:
线性回归方程.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
通过样本数据表,容易判断回归方程中,b、a的符号.
解答:
解:由题意可知:回归方程经过的样本数据对应的点附近,是减函数,所以b<0,且回归方程经过(3,4)与(4,3.5)附近,所以a>0.
故选:B.
点评:
本题考查回归方程的应用,基本知识的考查.
5.(5分)
考点:
简单空间图形的三视图.菁优网版权所有
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论.
解答:
解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②,
故选:D.
点评:
本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力,是基础题.
6.(5分)
考点:
微积分基本定理.菁优网版权所有
专题:
综合题;导数的综合应用.
分析:
利用新定义,对每组函数求积分,即可得出结论.
解答:
解:对于①:[sinx•cosx]dx=(sinx)dx=cosx=0,∴f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数;
对于②:(x+1)(x﹣1)dx=(x2﹣1)dx=()≠0,∴f(x),g(x)不为区间[﹣1,1]上的一组正交函数;
对于③:x3dx=()=0,∴f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,
∴正交函数有2组,
故选:C.
点评:
本题考查新定义,考查微积分基本定理的运用,属于基础题.
7.(5分)
考点:
几何概型;简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何槪型的概率公式即可得到结论.
解答:
解:平面区域Ω1,为三角形AOB,面积为,
平面区域Ω2,为四边形BDCO,
其中C(0,1),
由,解得,即D(,),
则三角形ACD的面积S==,
则四边形BDCO的面积S=,
则在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为,
故选:D.
点评:
本题主要考查几何槪型的概率计算,利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键.
8.(5分)
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
根据近似公式V≈L2h,建立方程,即可求得结论.
解答:
解:设圆锥底面圆的半径为r,高为h,则L=(2πr)2,
∴=(2πr)2h,
∴π=.
故选:B.
点评:
本题考查圆锥体积公式,考查学生的阅读理解能力,属于基础题.
9.(5分)
考点:
椭圆的简单性质;余弦定理;双曲线的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论.
解答:
解:设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,(a>a1),半焦距为c,
由椭圆和双曲线的定义可知,
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,
椭圆和双曲线的离心率分布为e1,e2
∵∠F1PF2=,
∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,①
在椭圆中,①化简为即4c2=4a12+3r1r2,
即,②
在双曲线中,①化简为即4c2=4a22+r1r2,
即,③
联立②③得,=4,
由柯西不等式得(1+)()≥(1×+)2,
即()=
即,d当且仅当时取等号,
故选:A
点评:
本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键.难度较大.
10.(5分)
考点:
函数恒成立问题;函数奇偶性的判断;函数最值的应用.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:
把x≥0时的f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值,由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),可得2a2﹣(﹣4a2)≤1,求解该不等式得答案.
解答:
解:当x≥0时,
f(x)=,
由f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得f(x)>﹣a2;
当a2<x<2a2时,f(x)=﹣a2;
由f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得f(x)≥﹣a2.
∴当x>0时,.
∵函数f(x)为奇函数,
∴当x<0时,.
∵对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),
∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得:.
故实数a的取值范围是.
故选:B.
点评:
本题考查了恒成立问题,考查了函数奇偶性的性质,运用了数学转化思想方法,解答此题的关键是由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x)得到不等式2a2﹣(﹣4a2)≤1,是中档题.
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
11.(5分)(2014•湖北)
考点:
数量积判断两个平面向量的垂直关系.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用.
分析:
根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系,即可得到结论.
解答:
解:∵向量=(3,3),=(1,﹣1),
∴向量||=3,||=,向量•=3﹣3=0,
若(+λ)⊥((﹣λ)),
则(+λ)•((﹣λ)=,
即18﹣2λ2=0,
则λ2=9,
解得λ=±3,
故答案为:±3,
点评:
本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用,比较基础.
12.(5分)(2014•湖北)
考点:
直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,即==cos45°,由此求得a2+b2的值.
解答:
解:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,
∴==cos45°=,∴a2+b2=2,
故答案为:2.
点评:
本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,得到∴==cos45°=,是解题的关键,属于基础题.
13.(5分)
考点:
程序框图.菁优网版权所有
专题:
计算题;算法和程序框图.
分析:
给出一个三位数的a值,实验模拟运行程序,直到满足条件,确定输出的a值,可得答案.
解答:
解:由程序框图知:例当a=123,第一次循环a=123,b=321﹣123=198;
第二次循环a=198,b=981﹣189=792;
第三次循环a=792,b=972﹣279=693;
第四次循环a=693,b=963﹣369=594;
第五次循环a=594,b=954﹣459=495;
第六次循环a=495,b=954﹣459=495,
满足条件a=b,跳出循环体,输出b=495.
故答案为:495.
点评:
本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
三、解答题
14.(2014•湖北)
考点:
平均值不等式.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
(1)设f(x)=,(x>0),在经过点(a,)、(b,﹣)的直线方程中,令y=0,求得x=c=,
从而得出结论.
(2)设f(x)=x,(x>0),在经过点(a,a)、(b,﹣b)的直线方程中,令y=0,求得x=c=,从而得出结论.
解答:
解:(1)设f(x)=,(x>0),则经过点(a,)、(b,﹣)的直线方程为=,
令y=0,求得x=c=,
∴当f(x)=,(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数,
故答案为:.
(2)设f(x)=x,(x>0),则经过点(a,a)、(b,﹣b)的直线方程为=,
令y=0,求得x=c=,
∴当f(x)=x(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数,
故答案为:x.
点评:
本题主要考查新定义,用两点式求直线的方程,属于中档题.
15.(2014•湖北)
考点:
与圆有关的比例线段.菁优网版权所有
专题:
选作题;几何证明.
分析:
利用切割线定理可得QA2=QC•QD,可求QA,可得PA,利用圆的切线长定理,可得PB.
解答:
解:∵QA是⊙O的切线,
∴QA2=QC•QD,
∵QC=1,CD=3,
∴QA2=4,
∴QA=2,
∴PA=4,
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PB=PA=4.
故答案为:4.
点评:
本题考查圆的切线长定理,考查切割线定理,考查学生的计算能力,属于基础题.
16.(2014•湖北)
考点:
点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与C2交点的直角坐标.
解答:
解:把曲线C1的参数方程是(t为参数),消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 (x≥0,y≥0).
曲线C2的极坐标方程是ρ=2,化为直角坐标方程为x2+y2=4.
解方程组 ,求得 ,∴C1与C2交点的直角坐标为(,1),
故答案为:(,1).
点评:
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,求两条曲线的交点,属于基础题.
17.(11分)
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10﹣2sin(t+),t∈[0,24),利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值,可得实验室这一天的最大温差.
(Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由f(t)>11,求得sin(t+)<﹣,即 ≤t+<,解得t的范围,可得结论.
解答:
解:(Ⅰ)∵f(t)=10﹣=10﹣2sin(t+),t∈[0,24),
∴≤t+<,故当t+=时,函数取得最大值为10+2=12,
当t+=时,函数取得最小值为10﹣2=8,
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃.
(Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由(Ⅰ)可得f(t)=10﹣2sin(t+),
由10﹣2sin(t+)>11,求得sin(t+)<﹣,即 ≤t+<,
解得10<t<18,即在10时到18时,需要降温.
点评:
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征,两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,三角不等式的解法,属于中档题.
18.(12分)
考点:
等差数列的性质;数列的求和.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(Ⅰ)设出数列的公差,利用等比中项的性质建立等式求得d,则数列的通项公式可得.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式,表示出Sn根据Sn>60n+800,解不等式根据不等式的解集来判断.
解答:
解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4,
当d=0时,an=2,
当d=4时,an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2.
(Ⅱ)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,
当an=4n﹣2时,Sn==2n2,
令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0,
解得n>40,或n<﹣10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41,
综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n,
当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41
点评:
本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.要求学生对等差数列和等比数列的通项公式,求和公式熟练记忆.
19.(12分)
考点:
与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定.菁优网版权所有
专题:
综合题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(Ⅰ)建立坐标系,求出=2,可得BC1∥FP,利用线面平行的判定定理,可以证明直线BC1∥平面EFPQ;
(Ⅱ)求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量,利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,建立方程,即可得出结论.
解答:
(Ⅰ)证明:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴,建立坐标系,则B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ),
∴=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,λ),=(1,1,0)
λ=1时,=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,1),
∴=2,
∴BC1∥FP,
∵FP⊂平面EFPQ,BC1⊄平面EFPQ,
∴直线BC1∥平面EFPQ;
(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为=(x,y,z),则,
∴取=(λ,﹣λ,1).
同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ﹣2,2﹣λ,1),
若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则
•=λ(λ﹣2)﹣λ(2﹣λ)+1=0,∴λ=1±.
∴存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.
点评:
本题考查直线与平面平行的证明,考查存在性问题,解题时要合理地化空间问题为平面问题,注意向量法的合理运用.
20.(12分)
考点:
离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
(Ⅰ)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4年中,至少有1年的年入流量超过120的概率;
(Ⅱ)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到.
解答:
解:(Ⅰ)依题意,p1=P(40<X<80)=,,,
由二项分布,未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率为
=
(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位,万元)
(1)安装1台发电机的情形,
由于水库年入流总量大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000,
(2)安装2台发电机的情形,
依题意,当 40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000﹣800=4200,
因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=,
当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8,
由此得Y的分布列如下
Y
4200
10000
P
0.2
0.8
所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.
(2)安装3台发电机的情形,
依题意,当 40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000﹣1600=3400,
因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2,
当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7,
当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此,P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,
由此得Y的分布列如下
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
点评:
本题主要考查了数学期望和二项分布,再求最大利润时,需要分类讨论,属于中档题.
21.(14分)
考点:
轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(Ⅰ)设出M点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设出直线l的方程为y﹣1=k(x+2),和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程,求出判别式,再在直线y﹣1=k(x+2)中取y=0得到.然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0<0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
解答:
解:(Ⅰ)设M(x,y),依题意得:|MF|=|x|+1,即,
化简得,y2=2|x|+2x.
∴点M的轨迹C的方程为;
(Ⅱ)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).
依题意,可设直线l的方程为y﹣1=k(x+2).
由方程组,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0.
①当k=0时,此时y=1,把y=1代入轨迹C的方程,得.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点().
②当k≠0时,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判别式为△=﹣16(2k2+k﹣1).
设直线l与x轴的交点为(x0,0),
则由y﹣1=k(x+2),取y=0得.
若,解得k<﹣1或k>.
即当k∈时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若或,解得k=﹣1或k=或.
即当k=﹣1或k=时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.
当时,直线l与C1有两个公共点,与C2无公共点.
故当k=﹣1或k=或时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若,解得﹣1<k<﹣或0<k<.
即当﹣1<k<﹣或0<k<时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点.
此时直线l与C恰有三个公共点.
综上,当k∈∪{0}时,直线l与C恰有一个公共点;
当k∪{﹣1,}时,直线l与C恰有两个公共点;
当k∈时,直线l与轨迹C恰有三个公共点.
点评:
本题考查轨迹方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,体现了分类讨论的数学思想方法,重点是做到正确分类,是中档题.
22.(14分)
考点:
导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有
专题:
综合题;导数的综合应用.
分析:
(Ⅰ)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可得到单调增、减区间;
(Ⅱ)由e<3<π,得eln3<elnπ,πlne<πln3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π.再根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π,从而六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<π及(Ⅰ)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即,由此进而得到结论;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,又由(Ⅱ)知,,得πe<eπ,故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)可得0<x<e时,.,令x=,有ln<,从而2﹣lnπ,即得lnπ.①,由①还可得lnπe>lne3,3lnπ>π,由此易得结论;
解答:
解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=,∴f′(x)=,
当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;
当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).
(Ⅱ)∵e<3<π,
∴eln3<elnπ,πlne<πln3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π.
于是根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π,
故这六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.
由e<3<π及(Ⅰ)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即,
由,得lnπ3<ln3π,∴3π>π3;
由,得ln3e<lne3,∴3e<e3.
综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,
又由(Ⅱ)知,,得πe<eπ,
故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.
由(Ⅰ)知,当0<x<e时,f(x)<f(e)=,即.
在上式中,令x=,又,则ln<,
从而2﹣lnπ,即得lnπ.①
由①得,elnπ>e(2﹣)>2.7×(2﹣)>2.7×(2﹣0.88)=3.024>3,即elnπ>3,亦即lnπe>lne3,
∴e3<πe.
又由①得,3lnπ>6﹣>6﹣e>π,即3lnπ>π,
∴eπ<π3.
综上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π,即6个数从小到大顺序为3e,e3,πe,eπ,π3,3π.
点评:
本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,难度较大.