全国卷II含答案高考理科数学 13页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(理)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的一个单调增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列四个数中最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在中，已知是边上一点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）‎ A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 ‎11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）‎ A．9 B．6 C．4 D．3‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ．‎ ‎15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．‎ ‎16．已知数列的通项，其前项和为，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中，已知内角，边．设内角，周长为．‎ ‎（1）求函数的解析式和定义域；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．‎ ‎（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；‎ ‎（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A E B C F S D 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）设，求二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设数列的首项．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，证明，其中为正整数．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(理)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ‎1.答案：D 解析：sin2100 =，选D。‎ ‎2.答案：C 解析：函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(p，)，选C。‎ ‎3.答案：C 解析：设复数z=, (a，b∈R)满足=i，∴ ，，∴ z =，选C。‎ ‎4.答案：D 解析：∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln20，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。‎ ‎7.答案：A 解析：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。‎ ‎8.答案：A 解析：已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。‎ ‎9.答案：C 解析：把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。‎ ‎10.答案：B 解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。‎ ‎11.答案：B 解析：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。‎ ‎12.答案：B 解析：设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，‎ ‎∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B 二、填空题 ‎13.‎ 解析：(1+2x2)(x－)8的展开式中常数项为=－42。‎ ‎14.‎ 解析：在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。‎ ‎15.‎ 解析：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=‎ ‎，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.‎ ‎16.‎ 解析：已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解：（1）的内角和，由得.‎ 应用正弦定理，知 ‎，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 所以，当，即时，取得最大值.‎ ‎18.解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，‎ 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.‎ 则互斥，且，故 ‎ ‎ ‎ ‎ 于是.‎ 解得（舍去）.‎ ‎（2）的可能取值为.‎ 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎19.解法一：‎ ‎（1）作交于点，则为的中点.‎ 连结，又，‎ 故为平行四边形.‎ ‎，又平面平面.‎ 所以平面.‎ ‎（2）不妨设，则为等 腰直角三角形.‎ 取中点，连结，则.‎ 又平面，所以，而，‎ 所以面.‎ 取中点，连结，则.‎ 连结，则.‎ 故为二面角的平面角 ‎.‎ 所以二面角的大小为.‎ 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系.‎ 设，则 ‎，‎ ‎.‎ 取的中点，则.‎ 平面平面，所以平面.‎ ‎（2）不妨设，则.‎ 中点 又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角.‎ ‎.‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎20.解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ 即 .‎ 得圆的方程为.‎ ‎（2）不妨设.由即得 ‎.‎ 设，由成等比数列，得 ‎，‎ 即 .‎ 由于点在圆内，故 由此得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎21.解：（1）由 整理得 .‎ 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 ‎（2）方法一：‎ 由（1）可知，故.‎ 那么，‎ 又由（1）知且，故，‎ 因此为正整数.‎ 方法二：‎ 由（1）可知，‎ 因为，‎ 所以 .‎ 由可得，‎ 即 ‎ 两边开平方得 即 为正整数.‎ ‎22.解：（1）求函数的导数；.‎ 曲线在点处的切线方程为：‎ ‎，‎ 即 .‎ ‎（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ‎.‎ 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根.‎ 记 ，则 .‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；‎ 当时，解方程得，即方程 只有两个相异的实数根.‎ 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 .‎