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- 2021-05-13 发布
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必考解答题——模板成形练(二)
立体几何
(建议用时:60分钟)
1.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.
(1)求证:BD⊥AA1;
(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.
证明 (1)在四边形ABCD中,因为BA=BC,DA=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,
又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.
(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为BC中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,DA=DC=1,
所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥DC,因为DC⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,所以AE∥平面DCC1D1
2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,BC⊥平面PAB,∠APB=90°,PB=BC,N为PC的中点.
(1)若M为AB的中点,求证:MN∥平面ADP;
(2)求证:平面BDN⊥平面ACP.
证明 (1)设AC∩BD=G,连接NG,MG,易知G是AC,BD的中点,
又N是PC的中点,M为AB的中点,
∴NG∥PA,MG∥AD,
∴平面GMN∥平面APD.又MN⊂平面GMN,∴MN∥平面APD.
(2)∵BC⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,∴BC⊥PA,
∵∠APB=90°,∴BP⊥PA.
∵BC∩BP=B,∴PA⊥平面PBC,∴BN⊥PA.
∵PB=BC,点N为PC的中点,∴BN⊥PC.
∵PC∩PA=P,∴BN⊥平面ACP.
又BN⊂平面BDN,∴平面BDN⊥平面ACP.
3. 如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,E,F分别是AB,PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
证明 (1)取PD的中点G,连接AG,FG.因为FG为△PCD的中位线,
所以FG∥CD,且FG=CD,
又AE∥CD,且AE=CD,
所以AE∥FG,且AE=FG,
故四边形AEFG为平行四边形,所以EF∥AG.
又AG⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
(2)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.在矩形ABCD中,AD⊥CD,
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
因为AG⊂平面PAD,所以CD⊥AG.
又EF∥AG,所以EF⊥CD.
4. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,M分别为AB,DE的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,连接A′C,A′B,F为A′C的中点,A′C=4.
(1)求证:平面A′DE⊥平面BCD;
(2)求证:FB∥平面A′DE.
证明 (1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成,∴△A′DE≌△ADE.
∵∠ABC=120°,四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=60°.又∵AD=AE=2,
∴△A′DE和△ADE都是等边三角形.连接A′M,MC.
∵M是DE的中点,∴A′M⊥DE,A′M=.
在△DMC中,MC2=DC2+DM2-2DC·DM·cos 60°=42+12-2×4×1·cos 60°,∴MC=.
在△A′MC中,A′M2+MC2=()2+()2=42=A′C2.
∴△A′MC是直角三角形,∴A′M⊥MC.
又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M,∴A′M⊥平面BCD.
又∵A′M⊂平面A′DE,
∴平面A′DE⊥平面BCD.
(2)取DC的中点N,连接FN,NB.
∵A′C=DC=4,F,N分别是A′C,DC的中点,
∴FN∥A′D.
又∵N,E分别是平行四边形ABCD的边DC,AB的中点,
∴BN∥DE.
又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N,
∴平面A′DE∥平面FNB.
∵FB⊂平面FNB,∴FB∥平面A′DE.