高考湖南文科数学试题及答案word解析版 5页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2014年湖南，文1，5分】设命题，则为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选B．‎ ‎（2）【2014年湖南，文2，5分】已知集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得，故选C．‎ ‎（3）【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即，故选D．‎ ‎（4）【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C、D选项．由二次函数的图像可得选项B在是单调递减的，根据排除法选A．因为函数在是单调递减的且在是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A在是单调递减的，故选A．‎ ‎（5）【2014年湖南，文5，5分】在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】在上符合的区间为，因为的区间长度为5且区间的区间长度为3，所以根据几何概型的概率计算公式可得，故选B．‎ ‎（6）【2014年湖南，文6，5分】若圆与圆外切，则（ ）‎ ‎ （A）21 （B）19 （C）9 （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以且圆 ‎ 的圆心为，半径为，根据圆和圆外切的判定可得 ‎，故选C．‎ ‎（7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，运行程序如下：，，当时，，‎ 则，故选D．‎ ‎（8）【2014年湖南，文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、‎ 加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直 ‎ 角三角形）所对应的内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径，则，故选B．‎ ‎（9）【2014年湖南，文9，5分】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则时，的符号不确定，的单调性不确定．设，则时，，在上单调递减，‎ ‎，故选C． ‎ ‎（10）【2014年湖南，文10，5分】在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】点D的轨迹是以为圆心的单位圆，设，‎ 则．‎ 因为的取值范围是，‎ 故，故选D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（11）【2014年湖南，文11，5分】复数（为虚数单位）的实部等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得所以，的实部为．‎ ‎（12）【2014年湖南，文12，5分】在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立，消可得．‎ ‎（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】作出不等式组表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数 在点处取得最大值7．‎ ‎（14）【2014年湖南，文14，5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直 线的距离相等．若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设知机器人在以点为焦点的抛物线上，且与抛物线无交点，方程无实根，则且或， 所以．‎ ‎（15）【2014年湖南，文15，5分】若是偶函数，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为偶函数，所以 ‎．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（16）【2014年湖南，文16，12分】已知数列的前项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）当时，，当时，，∴．‎ ‎（2）由题意得：，∴数列的前项和为 ‎ ．‎ ‎（17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：‎ 其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败．‎ ‎（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平 均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；‎ ‎（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．‎ 解：（1）甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为．‎ ‎ 方差为；‎ 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为．‎ ‎ 方差为 ‎ ，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．‎ ‎（2）记{恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是 ‎ 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得．‎ ‎（18）【2014年湖南，文18，12分】如图，已知二面角的大小为60°，菱形 在面内，两点在棱上，60°，是的中点，面，垂足为 ‎．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值．‎ 解：（1）∵，，∴．∵四边形问菱形，，连结，则为正 三角形．又为的中点，∴．而，∴平面． ‎ ‎（2）∵，∴是直线，所成的角． 由（1）知，平面， ‎ ‎∴，，∴是二面角的平面角，∴．‎ 设，则，，．连结，则，‎ ‎∴异面直线，所成的角的余弦值为．‎ ‎（19）【2014年湖南，文19，13分】如图，在平面四边形中，，，，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长．‎ 解：（1）在中，．即，，‎ ‎（舍去），设，，即，．‎ ‎（2），，， ，‎ ‎ 在中，，．‎ ‎（20）【2014年湖南，文20，13分】如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且 ‎？证明你的结论．‎ 解：（1）设的焦距为，则，∴．在上，∴，．‎ 由椭圆定义知，，∴，，‎ ‎∴的方程分别为．‎ ‎（2）不存在符合题设条件的直线．‎ ‎①若轴，∵与只有一个公共点，∴的方程为或．当时，易得，‎ ‎， ，此时．‎ ‎②若不垂直轴，设，代入双曲线方程整理得．‎ ‎ 当与有两个交点，时，，，‎ 于是，‎ 再将代入椭圆方程整理得，‎ ‎ ∵与只有一个公共点，∴由，可得，于是有 ‎∴，即．‎ 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．‎ ‎（21）【2014年湖南，文21，13分】已知函数． ‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有．‎ 解：（1），令，则． 当时，，‎ 当时，，∴的单调减区间为， ‎ 的单调增区间为．‎ ‎（2）由（1）知，在区间上单调递减，∵，∴．‎ ‎ 当时，∵，‎ ‎ 且的图像是连续不断的，∴在区间内至少有一个实根，‎ 又在区间上是单调的，∴．由此可得 ‎ 综上可知，对一切，都有．‎