高考数学解题策略 85页

前 言 高考数学试题是由选择题、填空题、解答题三部分构成，每个考生只记最后的总分。在录取投挡排序中首先看挡分，挡分相同，再按语文、数学、英语的单科顺序排序。因此，只有在每一科中都取得自己的最高分（不论是哪类题型、什么难度）才是每个考生的最佳考试策略。如何实现这一目标呢？下面是我们为你提供的一些应试策略，若能对你有所帮助，那是对我们的最大鼓励与鞭策。‎ 心理暗示：人难我难我不畏难，人易我易我不大意。‎ 答题顺序；六先六后因人因卷选方案。‎ ‎①先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，也别死缠烂打。啃得动就啃，啃不动就闪。大概的标准：一道选择题、填空题2分钟以内不知如何做，5分钟以内拿不下，或一道解答题5分钟以内不知如何做， 10到15分钟以内解决不了就该考虑换一道了。‎ ‎②先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。‎ ‎③先同后异，就是说，先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力，‎ ‎④先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。‎ ‎⑤先点后面，近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面 ‎⑥先高后低。在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题；估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。‎ 答题节奏：慢快得当见成效 审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，匆忙看题往往造成一些关键条件没有看清，或对题目意思理解有偏差，不到位，甚至产生一些主观臆断、先入为主的错误想法，而造成思路堵塞，只有字斟句酌，连同标点符号也不放过，才能综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。尤其是新题更须多看，细看。而思路一旦形成，则应尽量快速完成。一方面，避免第一感觉模糊，另一方面，避免时间的无谓浪费。‎ 运算原则：确保准确，一次成功 数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小21道题，时间紧张，不允许做大量细致的解后检验，因此要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。‎ 取舍之道： 舍小取大，舍难保会。‎ 当断不断必受其乱！适当的舍弃是为了更好的收获！‎ 第一讲、选择题的解题策略 ‎1.解答选择题的基本策略是准确、迅速。‎ ‎2.对于选择题的答题时间，应该控制在不超过25分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。‎ ‎3.高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。‎ ‎4.在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。‎ ‎（一）数学选择题的解题方法 ‎1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。‎ 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为（ 　）‎ 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。‎ ‎ 故选A。‎ ‎2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。‎ ‎（1）特殊值 例2、若sinα>tanα> ()，则α∈（ ）‎ A．(，) B．（，0）　　C．（0，） D．（，）‎ 解析：因，取α=－代入sinα>tanα>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。‎ ‎（2）特殊函数 例3、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间 [－7，－3]上是（ ）[来源:学科网]‎ A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5‎ C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5‎ 解析：构造特殊函数f(x)=x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。‎ ‎（3）特殊数列 例4、已知等差数列满足，则有（　　　）‎ A、　　B、　　C、　　D、‎ 解析：取满足题意的特殊数列，则，故选C。[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎（4）特殊位置 例5、过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、 ‎ 解析：考虑特殊位置PQ⊥OP时，，所以，故选C。‎ ‎（5）特殊点 例6、设函数，则其反函数的图像是　（ ）‎ ‎　　　A、　　　　　　　B、　　　　　　　　C、　　　　　　　　　D、‎ 解析：由函数，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4‎ ‎，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f－1(x)的图像上，观察得A、C。又因反函数f－1(x)的定义域为，故选C。‎ ‎（6）特殊方程 例7、双曲线b2x2－a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos等于（ ）‎ A．e B．e‎2 ‎ C． D．‎ 解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为－=1，易得离心率e=,cos=，故选C。‎ ‎（7）特殊模型 例8、如果实数x,y满足等式(x－2)2+y2=3，那么的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：题中可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=，可将问题看成圆(x－2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。‎ ‎3、数形结合法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。‎ 例9、已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则（　）‎ A．α<β B．sinα>sinβ ‎ C．tanα>tanβ D．cotαcosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。‎ ‎4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一 去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。‎ 例10、方程的解( )‎ A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）‎ 解析：若，则，则；若，则，则；若，则，则；若,则，故选C。 ‎ ‎5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。‎ 例11、给定四条曲线：①，②，③，④,其中与直线仅有一个交点的曲线是( )‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④‎ 解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。‎ ‎6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。‎ ‎（1）特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。‎ 例12、设球的半径为R, P、Q是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是　（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。‎ ‎（2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。‎ 例13、的三边满足等式，则此三角形必是（）‎ ‎　　　A、以为斜边的直角三角形　　B、以为斜边的直角三角形 ‎　　　C、等边三角形　　　　　　　　D、其它三角形 解析：在题设条件中的等式是关于与的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有，即，从而C被淘汰，故选D。‎ ‎7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。‎ ‎（二）选择题的几种特色运算 ‎1、借助结论——速算 例14、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积 为（　　）‎ A、 B、 C、 D、‎ 解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。‎ ‎2、借用选项——验算 例15、若满足，则使得的值最小的是 （ ）‎ A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4）‎ 解析：把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且的值最小，故选B。‎ ‎3、极限思想——不算[来源:学科网]‎ 例16、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为，侧面与底面所成的二面角的平面角为，则的值是　　　　（　　）‎ A、1　　　B、‎2　‎　　　C、－1　　　D、‎ 解析：当正四棱锥的高无限增大时，，则故选C。‎ ‎4、平几辅助——巧算 例17、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）‎ A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以A（1，2）为圆心，1为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，2为半径作圆B。由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。‎ ‎5、活用定义——活算 例18、若椭圆经过原点，且焦点F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为　（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 解析：利用椭圆的定义可得故离心率故选C。‎ ‎6、发现隐含——少算 例19、交于A、B两点，且，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是，它过定点（0，2），只有C项满足。故选C。‎ ‎（三）选择题中的隐含信息之挖掘 ‎1、挖掘“词眼”‎ 例20、过曲线上一点的切线方程为（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ 错解：，从而以A点为切点的切线的斜率为–9，即所求切线方程为故选C。‎ 剖析：上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处的切线”，事实上当点A为切点时，所求的切线方程为，而当A点不是切点时，所求的切线方程为故选D。‎ ‎2、挖掘背景 例21、已知，为常数，且，则函数必有一周期为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）‎ A、2 B、‎3‎ C、4 D、5‎ 分析：由于，从而函数的一个背景为正切函数tanx，取，可得必有一周期为4。故选C。‎ ‎3、挖掘范围 例22、设、是方程的两根，且，则的值为　　　　　　　　　（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 错解：易得 ‎，从而故选C。‎ 剖析：事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知.从而，故故选A。‎ ‎4、挖掘伪装 例23、若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ 分析：“对任意的x1、x2，当时，”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“有意义”。事实上由于在时递减，从而由此得a的范围为。故选D。‎ ‎5、挖掘特殊化 例24、不等式的解集是（ ）‎ A、 B、 C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}[来源:Zxxk.Com]‎ 分析：四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。‎ ‎6、挖掘修饰语 例25、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ）‎ A、72种 B、36种 C、144种 D、108种 分析：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为。故选A。‎ ‎7、挖掘思想 例26、方程的正根个数为（ ）‎ A、0 B、‎1 ‎ C、2 D、3‎ 分析：本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标。‎ 事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。‎ ‎（四）选择题解题的常见失误 ‎1、审题不慎 例27、设集合M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合中的元素的个数为　　（ ）‎ ‎ 　　A、0 B、‎1 ‎ C、2 D、0或1或2‎ 误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，所以中的元素的个数为0或1或2。故选D。‎ 剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M，P就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。‎ ‎2、忽视隐含条件 例28、若、分别是的等差中项和等比中项，则的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 误解：依题意有， ①　　②‎ 由①2-②×2得，，解得。故选C。‎ 剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由，得，所以不合题意。故选A。‎ ‎3、概念不清 例29、已知，且，则m的值为（ ）‎ A、2 B、‎1 ‎ C、0 D、不存在 误解：由，得，方程无解，m不存在。故选D。‎ 剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即，则，是以两直线的斜率都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。当m=0时，显然有；若时，由前面的解法知m不存在。故选C。‎ ‎4、忽略特殊性 例30、已知定点A（1，1）和直线，则到定点A的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）‎ A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。‎ 剖析：本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线上。故选D。‎ ‎6、转化不等价 例31、函数的值域为　　　　　　　　　　　（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数，所以，故选A。‎ 剖析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由，两边平方得，这样的转化不等价，应加上条件，即 ‎，进而解得，，故选D。‎ ‎（五）解选择题的原则与策略 ‎1、解题基本策略：‎ 从熟题入手，仔细审题，吃透题意、反复析题，去伪存真、善抓关键，全面分析、讲究方法，小题小做，小题巧做，跳过拦路虎，回头收拾它，做开了就不怕了，反复检查，认真核对。‎ ‎2、基本原则：‎ ‎①能画图的多画图，‎ ‎②有范围的，多试试特值。‎ ‎③要充分发挥选项的作用；‎ ‎④有时把选项代进去验证也是不错的选择。‎ ‎（六）强化练习：‎ ‎1、已知在[0，1]上是的减函数，则a的取值范围是（ ）‎ A．（0，1） 　　B．（1，2）　　　C．（0，2） D．[2，+∞）‎ ‎2、一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）‎ A．－24 B．‎84 ‎ C．72 D．36‎ ‎3、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ）‎ A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③‎ ‎4、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜＋3|=　　　　　　（　　）‎ ‎ A．　　B．　　　C． D．4‎ ‎5、已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（ ）‎ A．4 B．‎5 ‎ C．6 D．7‎ ‎6、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）‎ A．（1， B．（0， C．[，] 　D．（， 7、已知，则等于 （ ）‎ A、 B、 C、 D、　　‎ ‎8、设a,b是满足ab<0的实数，那么（ ）‎ A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b| C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|‎ ‎9. 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C）1 （D）‎ ‎10. 设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第二讲、填空题解题策略 填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。‎ 填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型，因此，记住平时作业与考练中的典型结论是非常必要的。‎ 一、题型特点 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。‎ 不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。‎ 填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确定是一种独立的题型，有其固有的特点。‎ 二、考查功能 ‎1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当 同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。‎ ‎2．填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。‎ 在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。‎ 三、常见思想方法 同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。‎ 一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。‎ ‎【例1】 已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=0、b1= -4，用Sk、S′k、分别表示数列{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k =0，则ak+bk的值为 。‎ ‎【解】直接应用等差数列求和公式Sk=，得+=0，又a1+b1= -4, ∴ak+bk=4。‎ ‎【例2】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）。‎ ‎【解】 三名主力队员的排法有A33种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有A72种排法，故共有排法数A‎33A72=252种。‎ 【例3】 如图14-1，E、F分别为正方体的面ADD‎1A1、‎ 面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影 可能是 （要求：把可能的图的序号都填上）。‎ ‎【解】 正方体共有3 组对面，分别考察如下：‎ （1） 四边形BFD1E在左右一组面上的射影是图③。‎ 因为B点、F点在面AD1上的射影分别是A点、E点。（2）四边形BFD1E在上下及前后两组面上的射影是图②。因为D1点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD中点、BC中点；B点、E点、F点在面DC1上的射影分别是C点、DD1的中点、CC1的中点。故本题答案为②③。‎ 二、数形结合法——借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。‎ ‎【例4】 若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是 。‎ ‎【解】 令y1=,y2=k(x-2),由图14-3可知kABb>1，则logab,logba,logabb的大小关系是 。‎ ‎【解】 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则logab=,logba=2,logabb=,‎ ‎∴logabb0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 。‎ ‎【解】 ∵抛物线y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。‎ ‎8．特殊模型法 ‎【例13】 已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题：‎ ‎①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；‎ ‎③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；‎ ‎④若nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β；‎ ‎⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β；‎ 则其中正确的命题是 。（把你认为正确的命题序号都填上）。‎ ‎【解】 依题意可构造正方体AC1，如图14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。‎ 四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。‎ ‎【例14】 如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥‎ ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 。‎ ‎【解】 根据题意可将右图补形成一正方体，在正方体中易求得60°。‎ 五、典型结论法：是指从课本或习题中总结出来的典型结论， 但又不是课本的定理的“真命题”，用于解答选择题及填空题具有起点高、 速度快、准确性强等优点。‎ 四、强化练习 ‎1．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于 。‎ ‎2．从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 种不同的摆放方法（用数字作答）‎ ‎3．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB与CD所成角的大小是 。‎ ‎4．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各棱长皆为2，则此三棱锥的体积为 。‎ ‎5．已知三个不等式：‎ ‎①ab>0,②-<-,③bc>ad 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成 个正确的命题。‎ ‎6．设函数f(x)的反函数为h(x)，函数g(x)的反函数为h(x+1)，已知f(2)=5,f(5)= -2,f(-2)=8，那么g(2),g(5),g(8),g(-2)中，一定能求出具体数值的是 。‎ ‎7．A点是圆C：x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点，A点关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C上，则实数a= 。‎ ‎8．已知向量a与向量b的夹角为60°，且|a|=3,|b|=2,c=‎3a+5b,d=ma-3b，若c与d垂直，则m的值为 。‎ ‎9．以椭圆+=1的中心O为顶点，以椭圆的左准线l1为准线的抛物线与椭圆的右准线l2交于A、B两点，则|AB|的值为 。‎ ‎10．已知sinαcosα=,α∈(,)，则cosα-sinα的值为 。‎ ‎11．已知椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q∈{x|x是正实数集})，有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|= 。‎ ‎12．参数方程(θ是参数)所表示的曲线的焦点坐标是 。‎ ‎13．(1+x)6(1-x)4展开式中x3的系数是 。‎ ‎14．已知tanα=2,tan(α-β)= -，那么tanβ= 。‎ ‎15．不等式3<（）x-2的解集为 。‎ ‎16．已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面α上的射影，给出下面两组四个论断：‎ 第一组：①a⊥b,②a∥b;‎ 第二组：③c⊥d,④c∥d。‎ 分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题： 。‎ ‎17．函数y=f(x)的图像与y=2x的图像关于直线y=x对称，则函数y=f(4x-x2)的递增区间是 。‎ ‎18．过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，则△OPQ的面积等于 。‎ ‎19．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为 （写出一个可能值）。‎ ‎20．从5名礼仪小姐、4名翻译中任选5名参加一次经贸洽谈活动，其中礼仪小姐、翻译均不少于2人的概率是 。‎ ‎21．定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：‎ ‎①f(x)是周期函数；‎ ‎②f(x)的图像关于直线x=1对称；‎ ‎③f(x)在[0，1]上是增函数；‎ ‎④f(x)在[1，2]上是减函数；‎ ‎⑤f(2)=f(0)。‎ 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。‎ 第三讲、解答题解题策略 一、解答题的地位 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，必须写出详细解答过程的主要步骤。这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、题解决问题的能力，分值占75分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)．从历年高考题看解答题的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷结果看 “会而不得全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．‎ 二、解答题的解答技巧 解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．‎ ‎(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．‎ ‎(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对这些不会做的题目可以采取以下策略：‎ ‎①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可以得到一半以上．‎ ‎②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，但第(1)问的条件第(2)问也满足，可把第(1)问的结论当作“已知”，求解第(2)问，跳一步再解答．‎ ‎③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．阅卷老师都喜欢“锦上添花”而不喜欢“雪中送炭”。‎ ‎④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．‎ ‎⑤放弃解答：高考是全面考查考生基础知识、基本技能及综合应用所学知识解决实际实际问题的能力，即综合能力；故我们不应太在意某一具体问题的得失，学会放弃某一无法在规定时间内完成的问题，而去把会做的不失分，不仅是正确的，更是明智的选择。‎ 三、求解解答题的一般步骤 第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？)这是解题的开始，一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式，而应从各个不同的侧面、角度来识别题目的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于解题方法的选择和解题步骤的设计．‎ 第二步：(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程．)根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法．要注意“熟题找差异，生题找联系”。‎ 第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能力．评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪步，所以卷面上讲究规范书写．‎ 第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经验等．)(1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程，一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺利则好，若觉得解答别扭则十有八九错了，这就要认真查看演算过程．(2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合．‎ 我省高考数学解答题在高考中其题量已基本稳定在6题，分值占总分的50%，前三道题为基础题，不会太难，力求全对，后三道题大都是分层把关、并设有最后压轴一至两问，在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。下面选出历年常考的问题分八个专题分析：‎ 第1节、解答题解题策略（一）——三角函数 三角函数解答题是高考中常考题，在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考试题中的送分题．‎ 一、知识储备：‎ 要想做好三角函数解答题，考生必须要熟练记忆诱导公式,同角关系式，三角函数在各个象限的符号，图象及及性质，两角和、差的三角函数公式及二倍角公式，正、余弦定理和面积公式。熟悉特殊角的三角函数值。掌握一些技巧，培养自己的观察能力，寻找角与角之间联系的能力都将有助于高考三角函数题的解答。‎ 二、类型与特点：‎ ‎1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、定义域、值域及有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。‎ ‎2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式及三角形内角和定理、正、余弦定理和面积公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.‎ ‎3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.‎ 三、常用解题思想方法：‎ ‎1．三角函数恒等变形的基本策略。‎ ‎（1）常值代换：特别是 “‎1”‎的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tan45°=sin90°=cos0°等。‎ ‎（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角α=（α+β）－β，β=－等。‎ ‎（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。‎ ‎（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。‎ ‎（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。‎ ‎2．证明三角等式的思路和方法。‎ ‎（1）思路：进行化名、化角、化形、化数，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。‎ ‎（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法等。‎ ‎3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。‎ ‎4．解答三角高考题的策略。‎ ‎（1）发现差异：观察角、名、形、数及函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。‎ 主要思路：1、化为同角或同名，2、变为多项非积式，‎ ‎3、次齐降次辅助角，一个函数来思考；不齐二次函数来处理；‎ ‎4、考察角的范围，正确写出解过程。‎ ‎（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。‎ ‎（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。‎ 四、常见题型 ‎ （一）次齐一个函数型 例1．（08北京）‎ 已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 因为函数的最小正周期为，且，‎ 所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此，即的取值范围为．‎ 例2．（08安徽）已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域 解：（1）‎ 由 函数图象的对称轴方程为 ‎ ‎（2）‎ 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以 当时，取最大值 1‎ 又 ，当时，取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 ‎（二）不齐二次函数型 例3．在中，的对边的边长分别为且成等比数列.‎ ‎(1) 求角B的取值范围;‎ ‎(2) 若关于B的不等式恒成立，求的取值范围.‎ 解：（1） ‎ 当且仅当时， 故 ‎（2 ） ‎ ‎＝‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故原不等式恒成立，即得 的取值范围为. ‎ ‎（三）解三角形等综合型 例4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（‎2a－c）cosB=bcosC.‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎20070316‎ ‎（Ⅱ）设的最大值是5，求k的值.‎ 解：（I）∵(‎2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC ‎ 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)‎ ‎∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，又∵01，∴t=1时，取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.‎ 例5．（2009福建卷理）（本小题满分13分）‎ 如图，某市拟在长为‎8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120‎ ‎（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；‎ ‎（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ ‎ 解：（Ⅰ）依题意，有，，又，。‎ 当 是，‎ ‎ 又 ‎（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，‎ 设∠PMN=，则0°<<60°‎ 由正弦定理得 ‎,‎ 故 ‎0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 ‎（四）三角方程不等式型 例6．（2009福建卷文）（本小题满分12分）‎ 已知函数其中，‎ ‎ （I）若求的值； ‎ ‎ （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ 解：（I）由得 ‎ 即又 ‎（Ⅱ）由（I）得，‎ ‎ 依题意，‎ ‎ 又故 ‎ 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 ‎ ‎ ‎ 是偶函数当且仅当 ‎ 即 ‎ 从而，最小正实数 五、强化训练 ‎1．（10湖南）已知函数．求函数的最大值；‎ ‎2．.在中，分别为角的对边，且满足 ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值．‎ ‎3．（08全国二）在中，，． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设的面积，求的长 ‎4．（13湖南）已知函数。‎ ‎（I）若是第一象限角，且。求的值；‎ ‎（II）求使成立的x的取值集合。‎ 此外三角函数综合合问题还可用导数法处理，这一点将在导数专题中研究。‎ ‎5．（08山东）已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.‎ 第2节、解答题解题策略（二）——概率与统计 概率与统计解答题是高考中必考题，在高考试题中，多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而概率与统计解答题是高考中的主要得分点．‎ 一、知识储备：‎ 首先通过回归课本熟悉本部分的知识点（也即考点），做到心中有数，从而才能从容应对.另外还应做好以下几方面的准备:‎ ‎（1）概率与统计题目特点与实际生活密切相关，应立足基础知识和基本方法的复习，通过对基本概念，基本方法的学习，发现解题规律以提高解题能力.‎ ‎（2）熟悉相关知识点：即“抽样方法与用样本估计总体、互斥事件的概率加法公式、古典概率模型与几何概率模型、离散型随机变量及其分布列（理科）、条件概率与概率的独立性（理科）、随机变量的数字特征、正态分（理科）布”的相关内容。‎ 二、规范解答：‎ 答题规范能增加阅卷老师对考生的信任，能得到阅卷老师信任就会相信你的解答没有问题，也就会给你高分或满分；在解答不正确的情况下也会给你更多的步骤分，因此规范答题是每个考生的必修课。在概率与统计解答题中，很多考生在解题时，几乎没有过程，答案对时也可能不得高分，答错就更不用说了；所以，这类解答题就更加强调答题规范。‎ 概率题的答题步骤：‎ （1） 用字母A等表示事件，‎ （2） 指出相关问题的基本事件的个数m或区域(最好画图)。‎ （3） 指出所求事件所含的基本事件的个数n或区域(用阴影表示)。‎ （4） 求事件A的概率P（A）=‎ 分布列相关题的答题步骤（理科）：‎ （1） 用字母ξ、η等表示随机变量（已有就省），‎ （2） 指出ξ、η等随机变量的所有可能取值，‎ （3） 分别求出ξ、η等随机变量每一个取值的可能性即概率，‎ （4） 用表格列出其分布列 （1） 期望和方差的计算必须写出公式后再给出签案。‎ 三、常用解题思想方法：‎ ‎（1）抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷，提高分析问题和解决问题的能力.‎ ‎（2）加强数学思想方法的训练，分类讨论，数形结合，转换化归等思想.‎ ‎（3）离散有限数个个，连续无限画图解；互斥相加独立乘，正难则反用对立。‎ 四、常见模型 例1．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望（理科）．‎ 解：（Ⅰ）对于甲：‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 对于乙：‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．‎ 例2（理科）．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；‎ ‎（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．‎ 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．‎ ‎（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，，‎ 又，故．‎ ‎（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．‎ 支出 ，‎ 盈利 ，‎ 盈利的期望为 ，‎ 由知，，‎ ‎．‎ ‎（元）．‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元．‎ 例3．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列（理科）．‎ 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，‎ 则．‎ 所以，的分布列是 ‎1‎ ‎3‎ 例4（理科）．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；‎ ‎（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.‎ 解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ 例5．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;‎ ‎（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望（理科）.‎ 解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，‎ 且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以， 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的期望 五、强化训练 ‎1．已知关于的一元二次函数 ‎（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；‎ ‎（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。‎ ‎2.某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：‎ 血型 A B AB O 人数 ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；‎ ‎（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；‎ ‎（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A,O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望（理科）． ‎ ‎3.下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点或6点，甲盒放一球；若掷出2点，3点，4点或5点，乙盒放一球，设掷n次后，甲、乙盒内的球数分别为x、y.‎ ‎（1）当n=3时，求x=3，y=0的概率；‎ ‎（2）当n=4时，设，求的分布列及数学期望E（理科）.‎ ‎4.甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．‎ ‎ (1)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；‎ ‎ (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布和数学期望（理科）．‎ ‎5.在两只口袋中均有个红球和个白球，先从袋中任取个球转放到袋中，再从袋中任取一个球转放到袋中，结果袋中恰有一个红球的概率是多少 ?‎ 第3节、解答题解题策略（三）——数列 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.‎ 一、知识储备：‎ ‎(1)理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视。‎ ‎(2)解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与函数、方程、不等式、解析几何等其他知识的综合。‎ ‎(3)重视递推数列和数列推理题的复习。‎ ‎(4)数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决。‎ 二、命题趋势：‎ ‎（1）有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质。‎ ‎（2）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　‎ ‎（3）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。‎ ‎（4）与导数、平面向量、概率等新知识相结合也不可忽视。‎ 三、常用解题思想方法：‎ 不管数列与哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是考生重点掌握的，这是解决好数列问题的重中之重。对数列自身来讲，主要有以下题型：‎ ‎1、求数列的通项公式，‎ 主要方法有：‎ ‎（1）利用与的关系（基本思路：两步一综述）‎ ‎（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造数列（熟记几类常见的递推关系）‎ ‎2、求数列的前n项和，‎ 主要方法有：‎ ‎（1）倒序相加法（2）错位相减法（3）裂并项法 ‎（4）分组法（5）周期求和法（6）公式法 ‎3、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。‎ ‎4、判断的增减性可比较相邻两项来分析。‎ 四、考题举例 例1． 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解：由题意知，且，‎ 两式相减得，即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 例2．设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得．‎ 因此，所求通项公式为 ‎，．①‎ ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是．‎ 例3（理科）．设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 解析：（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 ‎1.若存在某满足，则由⑵知：‎ ‎2.若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ 五、强化训练 ‎1.已知数列满足：，且 ‎（1）设，证明数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列、的通项公式；‎ ‎（3）设，为数列的前项和，证明.‎ ‎2.设是正项数列的前项和，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论．‎ ‎（3）设，且数列的前项和为，试比较与的大小．‎ ‎3.已知数列满足关系：‎ ‎， ‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）设是数列的前n项和，当时，是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由。‎ ‎4.已知正项数列满足对一切,有，其中.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 求证: 当时, .‎ ‎5．某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）. ‎ ‎（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；‎ ‎（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？‎ ‎6.设等差数列前项和满足，且，S2=6；函数，且 ‎（1）求A； ‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若 第4节、解答题解题策略（四）——立体几何 在高考解答题中立体几何解答题属于常规题、中档题，既可用传统的几何方法处理，又可以用向量方法（理科）解决。因而，复习应紧扣教材，熟练掌握课本中的每一个概念、每一个定理的种种用途，突破画图、读图、识图、用图的道道难关，注意总结证明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握距离、面积、体积等的转化和计算方法，在做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提升空间想象能力及分析问题和解决问题的能力。 一、知识储备：‎ ‎（1）掌握线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质，尤其要注意平行链和垂直链知识之间的转化。‎ ‎（2）掌握空间角和距离的求法。在空间角中，异面直线所成角要注意定义法和补形法；线面角要注意定义法和点面距离法；二面角要注意定义法和射影面积法。至于空间距离，要着重注意线面距离、面面距离转化为点面距离，点面距离的求法以及等体积转化求点面距离。‎ ‎（3）注意立体几何常用的思想方法和解题技巧：方程思想（特别适用于解探索性问题）、转化思想、空间问题平面化思想。‎ ‎（4）掌握空间向量的基础知识和基本方法，特别是建系法。‎ 二、命题趋势：‎ 以棱柱、棱锥或平面图形的翻折等简单几何体为载体考查平行、垂直的判定和性质、角和距离的计算、表面积和体积的计算。试题的设置一般两问或者三问，近几年大多是两问。若设置两问，则第一问往往考查平行、垂直的判定和性质（尤其垂直是重点）；第二问考查空间角的计算（尤其二面角是重点）；出现第三问，则一般考查空间距离的计算（尤其是点面距离）或者体积的计算，体积经常也是以求空间距离为核心。其中空间角和距离的计算往往转化到三角形中进行。另外还要注意立体几何探索性问题的出现，主要是探索空间点的存在性。其中，第一问主要考查传统法，第二、三问则侧重于向量法。‎ 三、常用解题思想方法：‎ ‎1．平行、垂直位置关系的论证的策略: （1）由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 （2）利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 2．空间角的计算方法与技巧: 主要步骤：一作、二证、三计算；若用向量，那就是一证、二计算。 （1）两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法： （2）直线和平面所成的角：①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，‎ 找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。②用公式计算. （3）二面角：①平面角的作法：（i）定义法；（ii）三垂线定理及其逆定理法；（iii）垂面法。 ②平面角的计算法：（i）找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算； （ii）射影面积法 ；（iii）向量法要注意大小范围。. 3． 空间距离的计算方法与技巧（常用向量法）: （1）求点到直线的距离：作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。 （2）求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情况高考不做要求）。 （3）求点到平面的距离：一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 4． 熟记一些常用的小结论，诸如：正三角形、正四面体的相关结论；弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。 5．平面图形的翻折、立体图形的展开（表、侧面展开图求最值）等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。 6．与球有关的题型，只要求出球的半径即可。‎ 四、考题举例 ‎【例1】（2011湖南）如图5，在圆锥中，已知=，的直径,是的中点，为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面 平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值。‎ ‎【例2】（2012湖南）如图5，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.‎ ‎（1）证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，‎ A B C D P E 图5‎ 求四棱锥P－ABCD的体积.‎ ‎【例3】（2010山东）如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．‎ 五、强化训练 ‎1、（2011山东）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，．‎ ‎（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的大小．‎ ‎2、（2008山东）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．‎ P B E C D F A ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎3、（2010浙江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点． (1)求证：BF∥平面A′DE；‎ ‎(2)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．‎ ‎4、(2011·湖北理)如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．‎ ‎(1)当时，求证：；‎ ‎(2)设二面角的大小为,求的最小值．‎ ‎5、（福建理18）如图，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；‎ ‎6、（2011浙江）如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2‎ ‎（Ⅰ）证明：AP⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。‎ 第5节、解答题解题策略（五）——解析几何 在高考解答题中解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一。 一、知识储备：‎ ‎（1）熟练掌握基础知识及灵活应用，掌握直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、性质；‎ ‎（2）突出抓好高考考查的重点、热点内容以及方法的复习，如轨迹问题、对称问题、参数范围问题、最值问题、弦长问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题、向量和解析几何综合问题等；‎ ‎（3）重视运算能力的培养，尽可能达到优化解题思维、简化解题过程的目的。‎ 二、命题趋势：‎ ‎（1）坚持了注重通性通法、淡化特殊技巧的命题原则，又适度地体现了灵活运用的空间，还集中考查了考生的运算能力，真正做到了有效检测考生对解析几何知识所蕴含的数学思想和方法的掌握程度。‎ ‎（2）以圆锥曲线为载体，高考题一般设置两问，第一问经常考查圆锥曲线的方程、定义、轨迹、离心率等基础知识；第二问经常研究直线与圆锥曲线的位置关系，弦长、焦点弦长、中点弦、参数范围、最值问题等。‎ ‎（3）结合平面向量，有时还结合导数知识（例如切线问题），构成知识交汇问题，综合考查分析和解决问题的能力。‎ ‎（4）直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的热点问题，特别是具有某种共性的两直线与圆锥曲线位置关系问题。‎ 三、常用解题思想方法：‎ ‎（1）小题小做，多用圆锥曲线定义、性质和平面几何知识；‎ ‎（2）大题注重通性通法，强化运算代换能力，加强意志品质培养，注意分步、踩点得分；‎ ‎（3）有向量背景的问题，注意图形特征及意义，一般都是坐标表示，实施数与形的转化。‎ ‎（4）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数 ‎（5）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥.‎ ‎（6）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。‎ ‎（7）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 ‎<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;‎ ‎<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值 ‎（8）求曲线的方程问题 ‎<1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决；‎ ‎<2>曲线的形状未知-----求轨迹方程 ‎（9） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：设两点所在的直线，联立方程这两点的中点，中点在已知直线上。‎ ‎（10）定值问题 可先由特殊情况发现规律，再说明一般性；也可直接由一般情况求解后总结。‎ ‎（11）在解决直线和圆锥曲线问题上，肯定要联立方程组并消元，然后要分析问题所给的条件和求解进行选择：一、若所给的条件和求解能很好转化为两根之积与和，则利用判别式判别符号和韦达定理；二、若所给的条件和求解不便转化为两根之积与和或消元后的方程易求解，则直接解方程。接下来就是解释条件和求解，其间会用到不等式，函数的值域或定义域、导数等. 即“解几莫留题面上，条件求解定方向”。‎ 四、考题举例 ‎【例1】（08湖南）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）‎ 存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.‎ ‎（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；‎ ‎(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？‎ 若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.‎ 解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 ‎（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,‎ 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.‎ 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则 k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 ‎ 又点P（x0,0）在直线上，所以 ‎ 而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，‎ 整理得 （·）‎ 则是方程（·）的两个实根，且 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8) ‎ 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.‎ 若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,‎ l有最大值2(x0-1).‎ 若23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2（x0-1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.‎ 例2（08安徽）设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2) 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ，（1） ‎ ‎，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎（1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 五、强化训练 ‎1、(2010天津)已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程：‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且,求的值。‎ ‎2、已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．‎ ‎(1)若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；‎ ‎(2)在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3、已知动点P到定直线的距离与到定点F（0，1）的距离的差为1.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若O为原点，A、B是动点P的轨迹上的两点，‎ 且的面积S△AOB＝m · tan∠AOB，试求的最小值；‎ ‎(3)求证：在（2）的条件下，直线AB恒过一定点. 并求出此定点的坐标.‎ ‎4、已知F1,F2是椭圆的左、右焦点,点P（1，）在椭圆上,线段PF2与轴的交点M满足．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过F1作不与轴重合的直线,与圆相交于A、B．并与椭圆相交于C、D．当,且时,求△F2CD的面积S的取值范围．‎ 第6节、解答题解题策略（六）——导数综合运用 利用导数解题是高考解答题中的必考题，在高考试题中，多为压轴题，一般为两问，也有三问。第一问主要为导数的简单应用，不会很难，是主要得分点力争拿下，第二问为导数的综合应用，但仍以函数为载体，考查函数图象、极(最)值、单调性等性质的综合应用。第三问多为前两问所得性质及函数、数列、导数及不等式交汇试题的综合应用，但如何应用，往往要在融合问题的各个方面，一般无现成思路，只有少数考生能完成，是大多数考生必须放弃，否则必是无功而返。若是只有两问时，第三问的考查内容也可能在第二问中出现，但不会有单设第三问难。‎ 一、知识储备：‎ ‎（1）夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度；‎ ‎（2）掌握好各类函数的结构特征和基本性质，并能将其用于解决具体问题之中．‎ ‎（3）“回归”课本，浓缩所学的知识，即：‎ 导正原增负为减，导零未必是极点，极点导值必为零，左右同号极不立，左正右负极大值，左负右正极小值，所有极值两端值，最大最小是最值，切点导值线斜率，至此函数草图成。‎ ‎（4）熟记常见函数的求导公式和求导法则：‎ 求导公式常数零，常方减1乘原方，变方不变乘底自，对数真倒除底自，正弦余弦负正弦。‎ 求导法则要牢记，加减可换余不同，积和商差母平方，①导②不导交换；复合逐变导数积。‎ 二、命题趋势：‎ ‎（1）导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等．‎ ‎（2）导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题．‎ ‎（3）导数与函数模型的交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力．‎ ‎（4）在导数与解析几何交汇点命题：主要考查对导数的几何意义，切线的斜率，导数与函数单调性，最（极）值等综合运用知识的能力。‎ ‎（5）在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数单调性，奇偶性，解不等式等知识融合在一起。即考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容。‎ ‎（6）在导数与数列、不等式交汇点命题：利用导数建立一个新的性质，并用这个性质解题。‎ 三、常用解题思想方法：‎ ‎（1）正确求出原函数的导函数，找出导函数的零点（f(x)=0的解），列出随x变化的导函数、原函数的变化表，确定函数的单调性和极（最）值，初步（或草稿）绘出函数草图。‎ ‎（2）形成函数思想，真正树立函数观念和变量意识，并能主动利用导数、方程、不等式处理问题，让他们能够在具体问题中顺利实施有效的化归与转化．重视逻辑推理，加强逻辑命题的结构分析和命题转化训练(如当且仅当、存在、恒成立、能成立等语言涵义理解)‎ ‎（3）加强实际运用，提高综合应用能力．多研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含参数字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法、放缩法等常见的证明方法．‎ 四、考题举例 ‎【例1】（08辽宁卷22）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．‎ 本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）． 2分 故当时，，‎ 时，‎ 所以在单调递增，在单调递减． 4分 由此知在的极大值为，没有极小值． 6分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）当时，‎ 由于，‎ 故关于的不等式的解集为． 10分 ‎（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有 ‎． 12分 又时，．‎ 且．‎ 取整数满足，，且，‎ 则，‎ 即当时，关于的不等式的解集不是．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．‎ ‎【例2】（08全国一）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ 解：（1）求导：‎ 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减，‎ 递增 ‎（2），且解得：‎ ‎【例3】 (10湖北）已知函数的图象在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）用表示出，；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ 解：（Ⅰ），则，‎ ‎ 点在直线上，则，那么，‎ ‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）记，‎ ‎ 则．‎ ‎ ①当时，，那么时，‎ ‎ 那么在时为增函数，则，‎ ‎ 那么恒成立，则在上恒成立．‎ ‎ ②当时，，‎ 那么时，时，‎ 知此时，‎ 由题意应有．‎ 以下证明在时无解，‎ 记，，‎ 因为，则，则，‎ 则在时为增函数，那么，‎ 说明总有，即，‎ 那么不等式在时无解．‎ 由①②的讨论知在上恒成立，的取值范围是．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上成立，‎ ‎ 则在上成立，因为，‎ ‎ 则，则，‎ ‎ 分别取，则，，‎ ‎ ，…，，‎ ‎ 以上个式子相加，‎ 则，‎ 则，‎ 所以．‎ ‎【例4】(2011陕西)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．‎ ‎(1)求g(x)的单调区间和最小值；‎ ‎(2)讨论g(x)与g的大小关系；‎ ‎(3)是否存在x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)解：由题设易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，‎ 所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，‎ 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，‎ 所以最小值为g(1)＝1.(4分)‎ ‎(2)解　g＝－ln x＋x，设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，则h′(x)＝－，‎ 当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g，‎ 当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0，‎ 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，‎ 当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)＞g，‎ 当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，即g(x)＜g.(9分)‎ ‎(3)解：满足条件的x0不存在．‎ 证明如下：假设存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立，‎ 即对任意x＞0，有ln x＜g(x0)＜ln x＋，(*)‎ 但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有ln x1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，‎ 因此，不存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立．(14分)‎ 五、强化训练 ‎1.已知函数 ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。‎ ‎2.设函数，其中为常数．‎ ‎（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；‎ ‎（Ⅲ）若,试利用（II）求证：n3时，恒有。‎ ‎3.已知函数 （1） 求在处的切线方程 （2） 若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；‎ （3） 求方程的根的个数.‎ O ‎4.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设 ‎（1）将（O为坐标原点）的面积表示成的函数；‎ ‎（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值.‎ 第7节、解答题解题策略（七）——综合应用题 在湖南高考试题中，除了概率应用题外，理科数学还会有一道建模应用题。这类问题往往题干较长，文字表述较多，从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。(2)准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性。(3)隐含性：注意题设条件的隐含性。审题是基础，不要怕慢，慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。‎ 一、常见题型：‎ 在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型和创新型型问题等等。‎ Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决；‎ ‎（1）根据题意，熟练地建立函数模型；‎ ‎（2）运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型。‎ Ⅱ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解；‎ Ⅲ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律。‎ 二、解应用题的一般步骤是（四步法）：‎ ‎（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；‎ ‎（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；‎ ‎（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；‎ ‎（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，‎ 作出解释或验证.‎ ‎　　三、思想方法 ‎“三化”：(1)问题具体化(包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。‎ ‎“三转”：(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3)数形转换能力。解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。‎ ‎　　“三思”：(1)思路：由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。(2)思想：高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。(3)思辩：即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。‎ ‎“三联”：(1)联系相关知识，(2)连接相似问题，(2)联想类似方法。‎ 四、考题举例 ‎【例1】（12湖南文）‎ ‎【例2】（07福建）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12－x)2万件.‎ ‎（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).‎ ‎［解析］（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为:‎ ‎ L=(x－3－a)(12－x)2，x∈［9，11］.‎ ‎（Ⅱ）L′(x)=(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)=(12－x)(18+‎2a－3x).‎ 令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.‎ ‎∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤ .在x=6+a两侧L′的值由正变负.‎ 所以:（1）当8≤6+ a＜9即3≤a＜ 时，‎ Lmax=L(9)=(9－3－a)(12－9)2=9(6－a).‎ ‎（2）当9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5时，‎ Lmax=L(6+a)=(6+ a－3－a)［12－(6+ a)］2=4(3－a)3，‎ 所以Q(a)=‎ 答：若3≤a＜ ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6－a)（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3－ a)3（万元）.‎ ‎【例3】（10福建）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎【例4】（12湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.‎ ‎ 已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件. 该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.‎ ‎（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；‎ ‎（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ 解：（1）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有：T1(x)＝＝，T2(x)＝，T3(x)＝，其中x，kx，200－(1＋k)x均为1到200之间的正整数.‎ ‎ （2）完成订单任务的时间为＝max{ T1(x)，T2(x)，T3(x)}，‎ 其定义域为{02时，T1(x)>T2(x)，由于k为正整数，∴k≥3，此时，‎ ‎≥＝.‎ 记T(x)＝，＝max{T1(x)，T(x)}，易知，T(x)是增函数，则 ‎＝max{ T1(x)，T3(x)}≥max{ T1(x)，T(x)}＝＝max{，}， ‎ 由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当＝时，取最小值，解得x＝，‎ 由于36<<37，而＝T1(36)＝>，＝T(37)＝>，‎ 此时，完成订单任务的最短时间大于.‎ ‎③当k<2时，T1(x)0;‎ 综上分析可知a∈（0,）。‎ 点评：这也是一道结论探索型问题，结论不唯一，应从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论。‎ 例3．已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.‎ 分析：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力.‎ 解析：（1）∵f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(–x)=－f(x)，即，∴－bx+c=－bx–c，∴c=0，‎ ‎∴f(x)=.由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，‎ 当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.‎ ‎∴x＞0时，当且仅当 即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2 ①‎ 又f(1)＞，∴＞,∴5b＞‎2a+2 ②‎ 把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=‎ ‎（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，‎ P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0‎ 解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()，‎ 进而相应Q点坐标为Q（）或Q()，‎ 过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求。‎ 点评：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证。‎ 题型2：探索问题“观察——猜测——证明”‎ 例4．（2011上海文，23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。‎ ‎（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；‎ ‎（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；‎ ‎（3）求数列的前项和（）。‎ 解：⑴ 三项分别为。‎ ‎⑵ 分别为 ‎⑶ ，，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 。‎ ‎。‎ 例5、（2011陕西理，13）观察下列等式 ‎1=1‎ ‎2+3+4=9‎ ‎3+4+5+6+7=25‎ ‎4+5+6+7+8+9+10=49‎ ‎……‎ 照此规律，第个等式为 .‎ ‎【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．‎ ‎【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，‎ ‎ 行数 等号左边的项数 ‎1=1 1 1‎ ‎2+3+4=9 2 3‎ ‎3+4+5+6+7=25 3 5‎ ‎4+5+6+7+8+9+10=49 4 7‎ ‎…… …… ……‎ 所以，‎ 即 ‎【答案】‎ 题型3：探究问题之“特殊—一般—特殊”‎ 例6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：‎ ‎①当x∈R时，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x；‎ ‎②当x∈(0,2)时，f(x)≤；‎ ‎③f(x)在R上的最小值为0。‎ 求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 分析：本题先根据题设求出函数f（x）解析式，然后假设t存在，取x=1得t的范围，再令x=m求出m的取值范围，进而根据t的范围求出m的最大值。‎ 解法一：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ‎ ∴ 即b=‎‎2a 由③知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0；‎ 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1。‎ ‎∴f(1)=1，即a+b+c=1，‎ 又a-b+c=0，∴a=、b=、c=，‎ ‎∴f(x)=，‎ 假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x，‎ 取x=1时，有f(t+1)≤1(t+1)2+(t+1)+≤1-4≤t≤0，‎ 对固定的t∈[－4,0]，取x=m，有：‎ f(t+m)≤m(t+m)2+(t+m)+≤mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0，‎ ‎≤m≤ ∴m≤≤=9，‎ 当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0，‎ ‎∴m的最大值为9。‎ 解法二：∵f(x-4)=f(2-x)，‎ ‎∴函数的图象关于x=－1对称，∴ ，b=‎2a。‎ 由③知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0；‎ 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1。‎ ‎∴f(1)=1，即a+b+c=1，又a-b+c=0‎ ‎∴a= b= c=∴f(x)==(x+1)2 ，‎ ‎ 由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立 ‎ ∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时，恒成立；‎ ‎ 令 x=1有t2+4t≤0-4≤t≤0‎ 令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时，恒有解；‎ 令t= -4得，m2-‎10m+9≤01≤m≤9，‎ 即当t= -4时，任取x∈[1,9]恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0，‎ ‎∴ mmin=9。‎ 点评：本题属于存在性探索问题，处理这道题的方法就是通过x的特殊值得出t的大致范围，然后根据t的范围，再对x取特殊值，从而解决问题。‎ 题型4：探究性问题之“联想类比”‎ 例7．（2011年湖北理，15）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种，（结果用数值表示）‎ 解析：当n=6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C=10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C=4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有1+6+10+4=21种方案．‎ 将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为第一问事件的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的着色方案有26－21=43种．‎ 点评：本题主要考查排列组合、计数原理等内容，考查了类比推理能力．‎ 题型5：探究性问题之“赋值推断”‎ 例8．（2011年江西文，10）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.‎ 今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）‎ 答案：A 根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A。‎ 题型6：探究性问题之“几何意义法”‎ 例9．设x、y为实数，集合A＝{(x,y)|y2―x―1=0},B={{(x,y)|16x2+8x―2y+5=0},‎ C={(x,y)|y＝kx+b}，问是否存在自然数k,b使（A∪B）∩C＝φ？‎ 分析：此题等价于是否存在自然数k，b，使得直线y＝kx+b与抛物线y2―x―1=0和16x2+8x―2y+5=0都没有交点。‎ 解析：因为抛物线y2―x―1=0和16x2+8x―2y+5=0在y轴上的截距分别为1、，所以取b=2，由无实数解，得，从而k=1，‎ 此时方程组无实数解.故存在k=1，b=2满足（A∪B）∩C＝φ.‎ 点评：与集合运算有关的一类探索性问题，它的题设往往都具有鲜明的几何意义。‎ 题型7：开放型题目 例10．（概率模型）（2011年重庆文）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （I）没有人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （II）每个片区的房源都有人申请的概率。‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题。‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24‎ 种。记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有种.‎ 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 题型8：新概念新定义（数学素养考查型）‎ 例11．对于数集，其中，，定义向量集 ‎. 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ （1）若x＞2，且，求x的值；‎ ‎ （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；‎ ‎[解]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ‎ ‎ 所以x=2b，从而x=4. ‎ ‎ （2）证明：取.设满足.‎ ‎ 由得，所以、异号.‎ ‎ 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，‎ 故1ÎX. ‎ 假设，其中，则.‎ 选取，并设满足，即，‎ 则、异号，从而、之中恰有一个为-1.‎ 若=-1，则，矛盾；‎ 若=-1，则，矛盾.‎ 所以x1=1. ‎ 随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展和新课程改革的不断深入，高考命题将更加关注“探索性问题”和“创新题型”。从最近几年来高考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题和创新题型仍将是高考命题“孜孜以求的目标”。进行探索性问题和创新题型的训练，是强化学生数学修养，形成良好数学意识的好方法。‎ 四、强化训练 ‎1．（优化问题）（2007年四川理9文11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）‎ ‎（A）36万元 （B）31.2万元 ‎（C）30.4万元 （D）24万元 ‎2.（2004年高考江苏卷）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：‎ x ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎6‎ ‎0‎ ‎-4‎ ‎-6‎ ‎-6‎ ‎-4‎ ‎0‎ ‎6‎ 则不等式ax2+bx+c>0的解集是 。‎ ‎3．（2010陕西文）观察下列等式：‎ ‎13＋23＝（1＋2）2，‎ ‎13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，‎ ‎13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，‎ 根据上述规律，第四个等式为 ‎ ‎4．(2003年上海市春季高考题）设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得的值是 。‎ ‎5．（13重庆改）对正整数，记…，，，．‎ 若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”． 则能使能分成两个不相交的稀疏集的并的的最大值为 ．‎ ‎6．（社会经济问题）（2011湖北理，17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式;‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）‎ 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。‎ ‎7.（2003高考上海理科卷）已知数列（n为正整数）是首项是a1，‎ 公比为q的等比数列。‎ ‎ （1）求和：‎ ‎（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.‎ ‎（3）设q≠1，Sn是等比数列的前n项和，‎ 求：‎