2015高考数学人教A版本（5-3平面向量的数量积）一轮复习学案 13页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(2013·湖北理，6)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＝(2,1)，＝(5,5)，‎ ‎∴·＝2×5＋1×5＝15，||＝5，所求投影为||cos<，>＝＝＝，故选A.‎ ‎2．(文)若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有(　　)‎ A．c⊥a B．c⊥b C．c∥b D．c∥a ‎[答案]　A ‎[解析]　c·a＝|a|2＋a·b＝1＋1×2×cos120°＝0.‎ 故c⊥a.‎ ‎(理)(2013·山东师大附中模拟)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝(　　)‎ A．9 B. C．3 D．7‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　|a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×＝1，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋‎2a·b＝4＋1＋2＝7，‎ 所以|a＋b|＝，选B.‎ ‎3．(文)(2013·辽宁理，9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB 为直角三角形，则必有(　　)‎ A．b＝a3‎ B．b＝a3＋ C．(b－a3)(b－a3－)＝0‎ D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　依题意，a≠0.因为△ABC是直角三角形，则O不可能为直角顶点，若∠A为直角，则有b＝a3；若∠B为直角，则有⊥，·＝(a，a3)·(a，a3－b)＝a2＋a3(a3－b)＝0，所以b＝a3＋，选C.‎ ‎(理)(2013·北京四中期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 ‎[答案]　C ‎[解析]　由(＋)·(－)＝0得·＝0，即BC⊥AC，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形，选C.‎ ‎4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·等于(　　)‎ A．0　 　 　　B.　　 　C.　　　D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵A、B、C是⊙O上三点，∴||＝||＝||＝r　(r>0)，‎ ‎∵＋＝，∴·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，故选A.‎ ‎5．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于(　　)‎ A．30° B．120°‎ C．150° D．30°或150°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝.又a·b<0，‎ ‎∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°，选C.‎ ‎6．(文)(2013·上海徐汇一模)设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)‎ A．－2 B.－2‎ C．－1 D．1－ ‎[答案]　D ‎[解析]　(a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)‎ ‎≥1－|c||a＋b|＝1－＝1－.‎ ‎(理)已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为(　　)‎ A．4 B．2 C．2 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a·(b－a)＝a·b－|a|2＝a·b－4＝2，‎ ‎∴a·b＝6，|a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λa·b＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－)2＋3≥3，∴|a－λb|≥，故选D.‎ 二、填空题 ‎7．(文)(2013·山东潍坊联考)向量a，b满足(a－b)·(‎2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a，b的夹角等于________．‎ ‎[答案]　120°‎ ‎[解析]　由(a－b)·(‎2a＋b)＝－4得，‎ ‎2|a|2－a·b－|b|2＝－4，即a·b＝－4，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 所以〈a，b〉＝120°.‎ ‎(理)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　(a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b ‎＝2，‎ 又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，‎ 所以a与b的夹角为.‎ ‎8．(2013·巢湖质检)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　－2＝·＝||||cosA ‎＝||·||×(－)，‎ 得||·||＝4，‎ 由三角形重心性质可得＋＝3.‎ ‎9||2＝||2＋||2＋2· ‎≥2||·||＋2·＝2×4＋2×(－2)＝4，‎ 所以||min＝.‎ ‎9．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．‎ ‎(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．‎ ‎(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.‎ ‎[答案]　m∈R且m≠　 ‎[解析]　(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．‎ ‎∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，‎ ‎∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.即实数m≠，满足条件．‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，‎ ‎∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.‎ 三、解答题 ‎10．(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若sinA＋sinC的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由m∥n知＝，‎ 即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知，‎ cosB＝，得B＝.‎ ‎(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋)‎ ‎＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA ‎＝sin(A＋)，‎ ‎∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈(0，)，‎ ‎∴A＋∈(，)，∴sin(A＋)∈(，1]，‎ ‎∴sinA＋sinC的取值范围为(，]．‎ ‎(理)(2013·浙江重点中学联谊学校期中)已知a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且θ∈[0，]．‎ ‎(1)求的最值；‎ ‎(2)是否存在k的值使|ka＋b|＝|a－kb|?‎ ‎[解析]　(1)由已知得 a·b＝coscos－sinsin＝cos2θ，‎ ‎∵θ∈[0，]，‎ ‎∴|a＋b|＝＝＝2cosθ，‎ ‎∴＝＝cosθ－，‎ 令cosθ＝t，t∈[，1]，‎ ‎∴cosθ－＝t－，(t－)′＝1＋>0，‎ ‎∴y＝t－为增函数，其最大值为，最小值为－，‎ ‎∴的最大值为，最小值为－.‎ ‎(2)假设存在k的值满足题设条件，则|ka＋b|2＝3|a－kb|2.‎ ‎∵|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，‎ ‎∴cos2θ＝，‎ ‎∵θ∈[0，]，∴－≤cos2θ≤1，‎ ‎∴－≤≤1，‎ ‎∴2－≤k≤2＋或k＝－1.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵＝＋＝＋ ，‎ ‎∴·＝(＋ )·＝·＋ ·，‎ 又∵AB⊥AD，∴·＝0，‎ ‎∴·＝ ·＝||·||·cos∠ADB ‎＝||·cos∠ADB＝·||＝.‎ ‎(理)(2012·大纲全国理，6)△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b ‎[答案]　D ‎[解析]　‎ ‎∵a·b＝0，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ 又|a|＝1，|b|＝2，‎ ‎∴AB＝，∴CD＝，‎ ‎∴BD＝，AD＝.‎ 即ADBD＝41.‎ ‎∴＝＝(－)＝(a－b)．故选D.‎ 本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D的位置．‎ ‎12．(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)‎ A．最大值为8 B．最小值为2‎ C．是定值6 D．与P的位置有关 ‎[答案]　C ‎[解析]　以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，‎ A(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，‎ 设P(x,0)，－1≤x≤1，则＝(x，－)，‎ ‎∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C.‎ ‎(理)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，‎ ‎∴|m|＝|a＋tb|＝ ‎＝＝.‎ 又∵当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0，‎ ‎∴cosθ＝－，∴θ＝.故选C.‎ ‎13．(2013·天津月考)若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　因为c＝a－()b，所以a·c＝a·[a－()b]＝a2－a2＝0，所以a⊥c，即向量a与c的夹角为，选D.‎ 二、填空题 ‎14．(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.‎ ‎[答案]　18‎ ‎[解析]　过C作BD的平行线，与AP的延长线交于Q点，则AQ＝2AP＝6，则·＝||·||cos〈，〉＝||||＝3×6＝18.‎ ‎15．(文)(2013·长春三校调研)△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，且·＝2，则BC＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵AB＝3，AC＝2，·＝2，∴cosA＝，∴利用余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝32＋22－2×3×2×＝5，∴BC＝.‎ ‎(理)(2013·天津新华中学月考)平面上的向量与满足||2＋||＝4，且·＝0，若点C满足＝＋，则||的最小值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由＝＋得||2‎ ‎＝(＋)2＝||2＋·＋||2‎ ‎＝||2＋||2‎ ‎＝(4－||)＋||2＝||2－||＋ ‎＝(||2－||)＋ ‎＝(||－)2＋≥，‎ 所以||≥＝，即||的最小值为.‎ 三、解答题 ‎16．(文)(2012·东北三校联考)已知向量m＝(2，－1)，n＝(sin，cos(B＋C))，A、B、C为△ABC的内角，其所对的边分别为a、b、c.‎ ‎(1)当m·n取得最大值时，求角A的大小；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当a＝时，求b2＋c2的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)m·n＝2sin－cos(B＋C)＝－2sin2＋2sin＋1＝－2(sin－)2＋，‎ ‎∵00)的图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，若·＝0，则ω的值为(　　)‎ A. B. C．4 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵·＝0，∴PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝＝8，∴ω＝.‎ ‎2．(2013·德州乐陵一中月考)关于平面向量a，b，c有下列三个命题：‎ ‎①若a·b＝a·c，则b＝c；‎ ‎②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；‎ ‎③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.‎ 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎[答案]　②‎ ‎[解析]　∵a·b＝a·c，∴a·(b－c)＝0，∴a⊥(b－c)，不一定有b＝c，则①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b时，6＋2k＝0，∴k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，∴a与a＋b的夹角为30°，因此③错误，故真命题的序号为②.‎ ‎3．(2012·东北三校二模)已知M、N为平面区域内的两个动点，向量a＝(1,3)，则·a的最大值是________．‎ ‎[答案]　40‎ ‎[解析]　作出不等式组表示的平面区域如图，由于a＝(1,3)，直线AB：3x－y－6＝0，显见a是直线AB的一个方向向量，由于M、N是△ABC围成区域内的任意两个点，故当M、N分别为A、B点时，·a取最大值，求得A(0，－6)，B(4,6)，∴＝＝(4,12)，∴·a＝40.‎