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  • 2021-05-14 发布

2013年广东高考理科数学试题及答案

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试卷类型:A ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)题目及答案 本试卷共4页,21题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。‎ ‎5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:主体的体积公式V=Sh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高。‎ 锥体的体积公式为,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1 . 设i为虚数单位,则复数=‎ A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i ‎ ‎2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则CuM=‎ A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}‎ ‎3 若向量=(2,3),=(4,7),则=‎ A (-2,-4) B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)‎ ‎4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A.y=ln(x+2) B.y=- C.y=()x D.y=x+‎ ‎5.已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1‎ ‎6,某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A.12π B.45π C.57π D.81π ‎7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数万恶哦0的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义。若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角,且a·b和b·a都在集合中,则 A. B‎.1 C. D. ‎ 16. 填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。‎ ‎ (一)必做题(9-13题)‎ ‎9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。‎ ‎10. 的展开式中x³的系数为______。(用数字作答)‎ ‎11.已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=-4,则an=____。‎ ‎12.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为 。‎ ‎13.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为 。‎ (二) 选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14,(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为和,则曲线C1与C2的交点坐标为_______。‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=_____________。‎ 三. 解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知函数,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π。‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)设,,,求cos(α+β)的值。‎ ‎17. (本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求得数学期望。‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点 E在线段PC上,PC⊥平面BDE。‎ ‎(1)、证明:BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)、若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ 设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差数列。‎ ‎(1)、求a1的值;‎ ‎(2)、求数列{an}的通项公式。‎ ‎(3)、证明:对一切正整数n,有.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:的离心率e= ,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由。‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设a<1,集合 ‎(1)求集合D(用区间表示)‎ ‎(2)求函数在D内的极值点。‎ ‎2012年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 D C A A B C D C 二、填空题 ‎9.  ; 10. ; 11. 2n-1; 12. y=2x+1; 13. 16;‎ ‎14.  ; 15. ;‎ 三、解答题 ‎16.解:(1)=‎ ‎(2) ‎ ‎17.‎ ‎(1)由得 ‎(2)由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人 ‎ 随机变量的可能取值有0,1,2‎ ‎∴ ‎ ‎18.‎ ‎(1)∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)设AC与BD交点为O,连 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 为二面角的平面角 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 在,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 二面角的平面角的正切值为3‎ ‎19.‎ ‎(1)在中 ‎ 令得:‎ ‎ 令得:‎ 解得:,‎ 又 解得 ‎(2)由 得 又也满足 所以成立 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎(3)‎ ‎(法一)∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎(法二)∵‎ ‎∴ ‎ 当时,‎ ‎………‎ 累乘得: ‎ ‎∴‎ ‎20.‎ ‎(1)由得,椭圆方程为 椭圆上的点到点Q的距离 当①即,得 当②即,得(舍)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 椭圆方程为 ‎(2)‎ 当,取最大值,‎ 点O到直线距离 ‎∴‎ 又∵‎ 解得:‎ 所以点M的坐标为 的面积为 ‎21.‎ ‎(1)记 ‎ ‎ ① 当,即,‎ ② 当,‎ ③ 当,‎ ‎(2)由得 ‎① 当,‎ ② 当,∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ③ 当,则 又∵‎ ‎∴ ‎