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  • 2021-05-14 发布

2000高考数学全国卷及答案理

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‎2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎(1) 设集合A和B都是自然数集合N,映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素,则在映射下,象20的原象是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) 3‎ ‎(C) 4‎ ‎(D) 5‎ ‎(2) 在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) 3‎ ‎(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,,,这个长方体对角线的长是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) 3‎ ‎(C) 6‎ ‎(D) ‎ ‎(4) 已知,那么下列命题成立的是 ( )‎ ‎(A) 若、是第一象限角,则 ‎(B) 若、是第二象限角,则 ‎(C) 若、是第三象限角,则 ‎(D) 若、是第四象限角,则 ‎(5) 函数的部分图像是 ( )‎ ‎(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算:‎ 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 ‎5%‎ 超过500元至2000元的部分 ‎10%‎ 超过2000元至5000元的部分 ‎15%‎ ‎…‎ ‎…‎ 某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于 ( )‎ ‎(A) 800~900元 ‎(B) 900~1200元 ‎(C) 1200~1500元 ‎(D) 1500~2800元 ‎(7) 若,P=,Q=,R=,则 ( )‎ ‎(A) RPQ ‎(B) PQ R ‎(C) Q PR ‎(D) P RQ ‎(8) 以极坐标系中的点为圆心,1为半径的圆的方程是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(10) 过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(11) 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则等于 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(12) 如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ 第II卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线.‎ ‎(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答) ‎ ‎(14) 椭圆的焦点为、,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是________‎ ‎(15) 设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=_______‎ ‎(16) 如图,E、F分别为正方体的面、面 的中心,则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______.(要求:把可能的图的序号都填上)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17) (本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(I) 当函数取得最大值时,求自变量的集合;‎ ‎(II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?‎ ‎(18) (本小题满分12分)‎ 如图,已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形,且===.‎ ‎(I) 证明:⊥BD;‎ ‎(II) 假定CD=2,=,记面为,面CBD为,求二面角 的平面角的余弦值;‎ ‎ (III) 当的值为多少时,能使平面?请给出证明.‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 设函数,其中.‎ ‎(I) 解不等式;‎ ‎(II) 求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.‎ ‎(20) (本小题满分12分)‎ ‎(I) 已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;‎ ‎(II) 设、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.‎ ‎(21) (本小题满分12分)‎ 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.‎ ‎(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=;‎ ‎ 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=;‎ ‎(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?‎ ‎(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天)‎ ‎(22) (本小题满分14分)‎ 如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围.‎ ‎2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分.‎ ‎(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.‎ ‎(13)252 (14)- (15) (16)②③‎ 三.解答题 ‎(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)‎ y=cos2x+sinxcosx+1‎ ‎=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1‎ ‎=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+‎ ‎=sin(2x+)+ ——6分 y取得最大值必须且只需 ‎2x+=+2kπ,k∈Z,‎ 即 x=+kπ,k∈Z. ‎ 所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为 ‎{x|x=+kπ,k∈Z } ——8分 ‎(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换:‎ ‎(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;‎ ‎(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;‎ ‎(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;‎ ‎(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像;综上得到函数y=cos2x+sinxcosx+1的图像. ——12分 ‎(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力,满分12分.‎ ‎(Ⅰ)证明:连结A‎1C1、AC、AC和BD交于O,连结C1O.‎ ‎∵ 四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴ AC⊥BD,BD=CD.‎ 又∵∠BCC1=∠DCC1,C‎1C= C‎1C,‎ ‎∴ △C1BC≌△C1DC ‎∴ C1B=C1D,‎ ‎∵ DO=OB ‎∴ C1O⊥BD, ——2分 但AC⊥BD,AC∩C1O=O,‎ ‎∴ BD⊥平面AC1,‎ 又C‎1C平面AC1‎ ‎∴ C‎1C⊥BD. ——4分 ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AC⊥BD,C1O⊥BD,‎ ‎∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.‎ 在△C1BC中,BC=2,C‎1C=,∠BCC1=60º,‎ ‎∴ C1B2=22+()2-2×2××cos60º= ——6分 ‎∵ ∠OCB=30º,‎ ‎∴ OB=BC=1.‎ ‎∴C1O2= C1B2-OB2=,‎ ‎∴ C1O=即C1O= C‎1C.‎ 作 C1H⊥OC,垂足为H.‎ ‎∴ 点H是OC的中点,且OH=,‎ 所以cos∠C1OC==. ——8分 ‎(Ⅲ)当=1时,能使A‎1C⊥平面C1BD 证明一:‎ ‎∵ =1,‎ ‎∴ BC=CD= C‎1C,‎ 又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,‎ 由此可推得BD= C1B = C1D.‎ ‎∴ 三棱锥C-C1BD是正三棱锥. ——10分 设A‎1C与C1O相交于G.‎ ‎∵ A‎1 C1∥AC,且A‎1 C1∶OC=2∶1,‎ ‎∴ C‎1G∶GO=2∶1.‎ 又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,‎ ‎∴ 点G是正三角形C1BD的中心,‎ ‎∴ CG⊥平面C1BD.‎ 即A‎1C⊥平面C1BD. ——12分 证明二:‎ 由(Ⅰ)知,BD⊥平面AC1,‎ ‎∵ A‎1 C平面AC1,∴BD⊥A‎1 C. ——10分 当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形,‎ 同BD⊥A‎1 C的证法可得BC1⊥A‎1C,‎ 又BD⊥BC1=B,‎ ‎∴ A‎1C⊥平面C1BD. ——12分 ‎(19)‎ 本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即 ‎≤1+ax,‎ 由此得1≤1+ax,即ax≥0,其中常数a>0.‎ 所以,原不等式等价于 即 ——3分 所以,当0<a<1时,所给不等式的解集为{x|0};‎ 当a≥1时,所给不等式的解集为{x|x≥0}. ——6分 ‎(Ⅱ)在区间[0,+∞]上任取x1、x2,使得x1<x2.‎ f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)‎ ‎ =-a(x1-x2)‎ ‎ =(x1-x2)(-a). ——8分 ‎(ⅰ)当a≥1时 ‎∵ <1‎ ‎∴ -a<0,‎ 又x1-x2<0,‎ ‎∴ f(x1)-f(x2)>0,‎ 即f(x1)>f(x2).‎ 所以,当a≥1时,函数f(x)在区间上是单调递减函数. ——10分 ‎(ii)当02pq,又a1、b1不为零,‎ 因此c1·c3,故{cn}不是等比数列. ——12分 ‎(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力,满分12分.‎ 解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300. ——4分 ‎(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t)‎ 即h(t)= ——6分 当0≤t≤200时,配方整理得 h(t)=-(t-50)2+100,‎ 所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;‎ 当20087.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. ——12分 ‎(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力,满分14分. ‎ 解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xoy,则CD⊥y轴.‎ 因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称. ——2分 依题意,记A(-c,0),C(,h),E(x0, y0),其中c=|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高.‎ 由定比分点坐标公式得 x0== ,‎ ‎.‎ 设双曲线的方程为,则离心率.‎ 由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎, ①‎ ‎. ② ——7分 由①式得 , ③‎ 将③式代入②式,整理得 ‎,‎ 故 . ——10分 由题设得,.‎ 解得.‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为. ——14分